专题讲座五 行列式的计算
方法
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专题讲座五 行列式的计算方法 1.递推法 例1 求行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为 ；主对角线上方第一条次对角线的元全为 ，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即 为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。 解 把类似于 ，但为k阶的三对角线型行列式记为 。 把（1）的行列式按第一列展开，有两项，一项是 另一项是 上面的行列式再按第一行展开，得 乘一个n – 2 阶行列式，这个n – 2 阶行列式和原行列式 的构造相同，于是有递推关系： （2） 移项，提取公因子β： 类似地： （递推计算） 直接计算 若 ；否则，除以 后移项： 再一次用递推计算： ∴ ， 当β≠α （3） 当β = α，从 从而 。 由（3）式，若 。 ∴ 注 递推式（2）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程. 注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式 （3） 和三对角线型行列式 （4） 有相同的递推关系式 （5） （6） 注意 两个序列 和 的起始值 相同，递推关系式（5）和（6）的构造也相同，故必有 由（4）式， 的每一行都能提出一个因子a ，故 等于 乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的 。前面算出 ，故 例2 计算n阶范德蒙行列式行列式 解: 即n阶范德蒙行列式等于 这n个数的所有可能的差 的乘积 2．拆元法 例3：计算行列式 解 ①×（x + a） ②×（x – a） 3．加边法 例4 计算行列式 分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法. 解 4．数学归结法 例5 计算行列式 解： 猜测： 证明 （1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形： 故命题对一切自然数n成立。 5.消去法求三对角线型行列式的值 例6 求n阶三对角线型行列式的值： （1） 的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的元全为0。 解 用消去法，把 中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的 倍，于是第二行变为 其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的 倍，则第三行变为 再从第四行减去第三行的 倍，则第四行变为 类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的 倍，则第n行变为 最后所得的行列式为 （2） 上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为 93） 又主对角线下方的元全为0。故 的值等于（3）中各数的连乘积，即 。 注3 一般的三对角线型行列式 （4） 也可以按上述消去法把次对角线元 全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。 6 乘以已知行列式 例7 求行列式的值： 称为循环行列式，各行自左到右均由 循环排列而得，并使主对角线元全为 解 设1的立方根为 ，即 其中i是虚数单位，又 右乘以行列式 则 （1） 用 ，得 故（1）的行列式的第一列可由提出公因子 ，提后的元顺次为 ，类似地，（1）的行列式的第二列和第三列可提出公因子 和 于是 因 互不相等，帮它们所构成的凡德蒙行列式 的值不为零，可以从上式的左右两边约去，得 。 注4 在n阶的一般情形，设1的n次方根为 则得行列式的值为 这里的 是由 构成的n阶循环行列式： 7 利用线性代数方程组的解 例8 求n阶行列式的值： （1） 的构造是：第i行的元顺次为 又第n行的元顺次为 。 解 （1）的行列式与凡德蒙行列式 （2） 的比值可以看成线性代数方程组 （3） 的解 。如能解出 ，乘以凡德蒙行列式（2），即是原行列式 但方程组（3）又可以看成n次多项式方程 （4） （t是未知数， 看作系数）有n个根 用根与系数的关系，即得 ∴ 8 递推方程组方法 例9 求行列式的值： （1） 是n阶行列式（在右下角用（n）表示），其结构是：主对角线元全为x ；主对角线上方的元全为y , 下方的元全为z 。 解 从 （1）的行列式的第一列减第二列，第二列减第三列，…，第n – 1列减第n列，得 （2） 上面的行列式按第一行展开，有两项，一项是（x – y）乘一个n – 1阶行列式，这个n – 1阶行列式和（2）中的n阶行列式的构造相同，即上述展开的第一项可表示为 ；展开的另一项是 故递推式 （3） 若z = y，则上式化为 （4） 类似地有 又 故可对（4）式递推计算如下： 上面得到原行列式当z = y时的值。下面讨论z≠y的情形。 把（1）的行列式的y与z对调，这相当于原行列式的行与列互换，这样的做法，行列式的值不变。于是y和z对调后， 的值不变，这时（3）式变为 （5） 从（3）与（5）（递推方程组）消去 ，即（3）式乘以（x – z），（5）乘以（x – y），相减得 ∴ 注5 当z = y时，行列式 也可以用极限计算： 又行列式 当z = y时可以用余式定理来做。
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