直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系莲山课件http://www.5ykj.com/ 第三讲　直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题 1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 (　　) A．3 B．2 C．2 D．4 解析：设椭圆方程为＋＝1，将x＝－y－4代入整理得： 4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0可求a＝，则2a＝2. 答案：C 2．(2009·山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若...

莲山课件 http://www.5ykj.com/ 第三讲　直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题 1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 (　　) A．3 B．2 C．2 D．4 解析：设椭圆方程为＋＝1，将x＝－y－4代入整理得： 4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0可求a＝，则2a＝2. 答案：C 2．(2009·山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 (　　) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得： y＝－.∴×·＝4，∴a2＝64，∴a＝±8. 答案：B 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝ |AF|，则△AFK的面积为 (　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析： ∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0) 设A(x0，y0), 过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)． ∵|AK|＝|AF|，又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2， ∴由BK2＝AK2－AB2，得y＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)， ∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B. 答案：B A．1 B. C. D．2 解析：由e＝＝＝得a＝2b，a＝c，b＝. 由，得(3＋12k2)y2＋6cky－k2c2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝① y1y2＝② 由＝3得y1＝－3y2③ 联立①②③得k＝. 答案：B 5．(2010·安徽蚌埠)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0， ∴直线与双曲线右支有两个不同交点，解得－0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B 两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 解析：设直线AB的方程为y＝x－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．把y＝x－代入y2＝2px整理得2＝2px x2－3px＋＝0. 则x1＋x2＝3p，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p. 由已知条件4p＝8，p＝2. 答案：2 解析：由消去y得：(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝， y1＝1－x1，y2＝1－x2， ∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0， ∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0， ∴－＋1＝0， ∴a2＋b2＝2a2b2，又∵a>b>0，∴＋＝2. 答案：2 答案：2 三、解答题 10．在平面直角坐标系xOy中，经过点 (0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围； (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1. 整理得x2＋2kx＋1＝0① 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于 Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>. 即k的取值范围为∪. (2)设P(x1，y1)，Q(x2， y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③ 而A(,0),B(0,1)，＝(－，1)．所以+与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝. 由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k. ②当k≠0时，可设l的方程y＝kx＋m(k≠0)，联立方程组消去y，整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0. 直线l和椭圆C有两个不同的交点．则Δ＝36k2m2－12(1＋3k2)(m2－1)>0，即1＋3k2－m2>0. 设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0的两根， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. 则PQ中点N(x0，y0)的坐标为 x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝，即N. 又∵||＝||，∴⊥，∴k·kAN＝－1，即k·＝－1， ∴m＝，代入1＋3k2－m2>0，得1＋3k2－2>0(k≠0)，∴k2<1， ∴k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②，得k的取值范围是 (－1,1)． (1)若|k|≤2，求离心率e的取值范围； (2)若|k|＝2，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程．解：(1)直线l的方程为y＝k(x－c)，则点M(0，－ck)． ∵点B分的比λ＝2， ∴xB＝c，yB＝－. ∴＋＝1， ∴k2＝＝－＝4e2＋－13. ∵k2≤24，∴4e4－37e2＋9≤0. 解之≤e2≤1，也即≤e<1. (2)∵k＝2，∴e＝. ∴a＝2c，b＝c. ∴椭圆方程为＋＝1.将直线y＝2(x－c)代入椭圆方程得33x2－64cx＋28c2＝0. 由韦达定理得x1＋x2＝，又右准线为x＝4c， ∴弦AB中点到右准线距离为4c－，故4c－c＝，解得c＝2，从而a＝4，b＝2. ∴椭圆方程为＋＝1.

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