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教师资格证数学学科知识与教学能力 高中数学 考试 备考知识点

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教师资格证数学学科知识与教学能力 高中数学 考试 备考知识点一、课程知识1.高中数学课程的地位和作用⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程,它包含了数学中最基本的内容,是培养公民素质的基础课程。⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,提高提出问题、分析和解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识。⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。2.高中数学课程的基本理念:⑴高中数学课程的定位:面向全体学生;不是培养数学专门人才的基础课。⑵高中数学增加了选择性(整个高中...

教师资格证数学学科知识与教学能力 高中数学 考试 备考知识点
一、课程知识1.高中数学课程的地位和作用⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程,它包含了数学中最基本的内容,是培养公民素质的基础课程。⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,提高提出问题、分析和解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识。⑷高中数学是学习 高中物理 高中物理公式全高中物理教学评价办法高中物理竞赛牛顿定律1高中物理知识点总结高中物理必修2功率 、化学等其他课程的基础。2.高中数学课程的基本理念:⑴高中数学课程的定位:面向全体学生;不是培养数学专门人才的基础课。⑵高中数学增加了选择性(整个高中课程的基本理念):为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。⑶让学生成为学习的主人:倡导自主学习、合作学习;帮助学生养成良好的学习习惯。⑷提高学生数学应用意识:是数学科学发展的要求;是培养创新能力的需要;是培养学习兴趣的需要;是培养自信心的需要;数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。⑸强调培养学生的创新意识:强调发现和提出问题;强调归纳、演绎并重;强调数学探究、数学建模。⑹重视“双基”的发展(数学基础知识和基本能力):理解基本的数学概念和结论的本质;强调概念、结论产生的背景;强调体会其中所蕴含的数学思想方法。⑺强调数学的文化价值:数学是人类文化的重要组成部分;《新课标》强调了数学文化的重要作用。⑻全面地认识评价:学习结果和学习过程;学习的水平和情感态度的变化;终结性评价和过程性评价。3.高中数学课程的目标:⑴总目标:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步提高作为未来公民所必要的数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。⑵三维目标:知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。⑷五大基本能力:计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力4.高中数学课程的内容结构:⑴必修课程(每模块2学分,36学时):数学1(集合、函数)、数学2(几何)、数学3(算法、统计和概率)、数学4(三角函数、向量)、数学5(解三角形、数列、不等式)⑵选修课程(每模块2学分,36学时;每专题1学分,18学时):①选修系列1(文科系列,2模块):1-1(“或且非”、圆锥曲线、导数)、1-2(统计、推理与证明、复数、框图)②选修系列2(理科系列,3模块):2-1(“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何)、2-2(导数、推理与证明、复数)、2-3(技术原理、统计案例、概率)③选修系列3(6个专题)④选修系列4(10个专题)5.高中数学课程的主线:函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。6.教学建议:⑴以学生发展为本,指导学生合理选择课程、制定学习计划⑵帮助学生打好基础,发展能力:①强调对基本概念和基本思想的理解和掌握②重视基本技能的训练③与时俱进地审视基础知识与基本能力⑶注重联系,提高对数学整体的认知⑷注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力⑸关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成⑹改善教与学的方式,使学生主动地学习⑺恰当运用现代信息技术,提高教学质量7.评价建议:⑴重视对学生数学学习过程的评价⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力⑶重视对学生能力的评价(问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评)⑷实施促进学生发展的多元化评价(尊重被评价对象)⑸根据学生的不同选择进行评价二、教学知识1.教学原则抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则(“循序渐进”)、理论与实际相结合原则(“学以致用”)、巩固与发展相结合原则(“温故而知新”)2.教学过程备课(备教材、备学生、备教法)、课堂教学(组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业)、课外工作(作业批改、课外辅导、数学补课活动)、成绩的考核与评价(口头考察、书面考察)、教学评价(导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用)3.教学方法⑴讲授法:科学性、系统性(循序渐进)、启发性、量力性(因材施教)、艺术性(教学语言)⑵讨论法:体现“学生是学习的主体”的特点。⑶自学辅导法:卢仲衡教授提出,要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学⑷发现法:又称问题教学法(布鲁纳),步骤是创设问题情境;寻找问题答案,探讨问题解法;完善问题解答, 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 思路方法;知识综合,充实改善学生的知识结构。4.概念教学⑴概念的内涵与外延:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。⑵概念间的逻辑关系:相容关系(同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”)、不相容关系(对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”)⑶概念下定义的常见方式:属加种差定义法(被定义的概念=最邻近的属概念+种差,如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”)、解释外延定义法(不易揭示其内涵,如“有理数和无理数统称实数”)、描述性定义法(用简明清晰的语言描述,如“푓푥=푥훼”)⑷数学概念获得的主要方式:概念形成(由学生发现)、概念同化(教师直接展示定义)5.命题教学:整体性策略(旨在加强命题知识的横、纵向联系)、准备性策略(教学实施之前)、问题性策略(激发学生的积极性)、情境化教学、过程性策略(暴露命题产生于证明的“所以然”过程)、产生式策略(变式练习)6.推理教学⑴推理的结构:任何推理都是由前提和结论两部分组成的⑵推理的形式:演绎推理(由一般到特殊;前提真,结论真;三段论:大前提、小前提,得推理)、归纳推理(由特殊到一般)、类比推理(由特殊到特殊)7.问题解决教学⑴数学问题的设计原则:可行性原则、渐进性原则、应用性原则⑵纯粹数学问题解决:波利亚怎样解题表(分析题意;拟定计划;执行计划;验算所得到的解)⑶非常规问题解决:建模分析(分析问题背景,寻找数学联系;建立数学模型;求解数学模型;检验;交流和评价;推广)8.学习方式:自主学习、探究学习、合作学习三、教学技能1.教学设计⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前,以现代教育理论为基础,应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题,确定解决问题的方法和步骤,并对课堂教学活动进行系统安排的过程。⑵教学设计与 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 的关系:①内容不同:教学设计的基本组成既包括教学过程,也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析,不仅说明教什么、如何教,而且说明为什么这样教;教案的基本组成是教学过程,侧重教什么、如何教。②核心目的不同:教学设计不仅重视教师的教,更重视学生的学,以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的;教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。③范围不同:从研究范围上讲,教案只是教学设计的一个重要内容。⑶数学课堂教学设计的意义:①使课堂教学更规范、操作性更强②使课堂教学更科学③使课堂教学过程更优化⑷数学课堂教学设计的基本要求:①充分体现数学课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的基本理念,努力体现以学生发展为本②适应学生的学习心理和年龄特征③重视课程资源的开发和利用④注重预设与生成的辩证统一⑤辩证认识和处理教学中的多种关系⑥整体把握教学活动的结构⑸数学教学设计的准备:①认真学习新课标,了解当前我国数学课程的目标要求②全面关注学生需求③认真研读数学教材和参考书,领悟编写意图④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源,吸取他人精华,丰富自己的教学设计⑤制定学期教学计划、单元教学计划⑹教材分析①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务②整体系统的观念用教材③理解教材的编排意图④突出教材的重点和难点⑺学情分析①分析学生原有的认知基础②分析学生的个体差异③了解学生的生理、心理④了解学生对本学科学习方法的掌握情况⑤分析学习知识时可能要遇到的困难⑻制定合理教学目标的要求①反映学科特点,体现内容本质②要有计划性,可评价性③格式要规范,用词要考究④要全面,不能“重知轻思”、“重知轻情”等⑤注意教学目标的层次性(记忆、理解、探究)⑥要实在具体,不浮华⑼教学反思①教学反思的内容:对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思②教学反思的步骤:截取课堂教学片段及其相关的教学设计;提炼反思的问题;个人撰写反思材料;集体讨论;个人再反思,并撰写反思论文⑽教学设计的撰写:①教学目标:知识与技能(了解、掌握、应用);过程与方法(提高能力);情感态度与价值观(体验规律、培养看问题的方法)②学情分析③教材分析:本节课的作用和地位;本节课的主要内容;重难点分析④教学理念⑤教学策略⑥教学环境⑦教学过程⑧教学反思2.教学实施⑴课堂导入:直接导入法、复习导入法、事例导入法(情境导入法)、趣味导入法、悬念导入法⑵课堂提问的原则:目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则⑶课堂提问的类型:复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问⑷学生活动:①学生活动体现了学生在学习中的主体地位②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分③学生活动的目的是促进学生的理解④从总体上说,学生活动必须是思维活动⑸课堂结束技能的实施方法:练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法⑹结束技能实施时应注意的问题:自然贴切,水到渠成;语言精练,紧扣中心;内外沟通,立疑开拓3.教学评价⑴数学教育评价的要素:教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果⑵数学教育评价的功能:管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能四、常用数学公式1.函数、导数1)函数的单调性⑴设푥1、푥2∈푎,푏且푥1<푥2。那么푓푥1−푓푥2<0푓푥在푎,푏上是增函数;푓푥1−푓푥2>0푓푥在푎,푏上是减函数。⑵设函数y=푓푥在某个区间内可导,若푓′푥>0,则在该区间内푓푥为增函数;若푓′푥<0,则在该区间内푓푥为减函数2)函数的奇偶性(该函数的定义域关于原点对称)对于定义域内任意的푥,都有푓−푥=푓푥,则푓푥是偶函数;对于定义域内任意的푥,都有푓−푥=−푓푥,则푓푥是奇函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。3)函数在点푥0处的导数的几何意义′函数푦=푓푥在点푥0处的导数푓푥0是曲线푦=푓푥在P푥0,푓푥0处的切线的斜率,相′应的切线方程是푦−푓푥0=푓푥0푥−푥0。4)几种常见函数的导数C′=0(C为常数);푎푥′=푎푥ln푎;푥푛′=푛푥푛−1(n∈Q);푒푥′=푒푥;sin푥′=cos푥;cos푥′=−sin푥;1arcsin푥′=−arccos푥′=;1−푥21arctan푥′=−arccot푥′=;1+푥211ln푥′=;log푥′=;푥푎푥ln푎5)导数的运算法则푢±푣′=푢′±푣′;푢푣′=푢′푣+푢푣′;푢=푓푥,v=푔푢,푣′=푔′푢푢′6)幂函数푓푥=푥훼(α∈R,α≠1)푝α=α<00<훼<1α>1性质푞푝为奇数,푞为奇数奇函数푝为奇数,푞为偶数푝为偶数,푞为奇数偶函数第一象限减函数增函数增函数过定点图像1,1′′7)求函数푦=푓푥的极值的方法:解方程푓푥=0。当푓푥0=0时:′′⑴如果在푥0附近的左侧푓푥0>0,右侧푓푥0<0,则푓푥0是极大值;′′⑵如果在푥0附近的左侧푓푥0<0,右侧푓푥0>0,则푓푥0是极小值;8)凹凸函数:设푓푥在开区间I上存在二阶导数:⑴若对任意푥∈I,有푓“푥>0,则푓푥在I上为下凸函数;⑵若对任意푥∈I,有푓“푥<0,则푓푥在I上为上凸函数;2.三角函数、三角变换、解三角形、向量1)同角三角函数的基本关系式sinθsin2휃+cos2휃=1,tanθ=,tan휃∙cot휃=1cosθ2)正弦、余弦的诱导公式푘푘π−12sin훼푘为偶数sin±α=2푘−1−12cos훼푘为奇数푘푘π−12cos훼푘为偶数cos±α=2푘+1−12sin훼푘为奇数3)和角与差角公式sinα±β=sin훼cos훽±cos훼sin훽;cosα±β=cos훼cos훽∓sin훼sin훽;tan훼±tan훽tanα±β=1∓tan훼tan훽αsin훼+푏cos훼=푎2+푏2sinα±φ(辅助角φ所在象限由点푎,푏的象限决b定,tanθ=)푎4)二倍角公式sin2훼=2sin훼cos훼;cos2α=cos2훼−sin2훼=2cos2훼−1=1−2sin2훼;2tan훼tan2훼=1−tan2훼5)三角函数的周期函数푦=퐴sinωα+φ,푥∈R及函数푦=퐴cosωα+φ,푥∈R(퐴,ω,φ为常2휋휋数,且A≠0,ω>0)的周期T=;函数푦=퐴tanωα+φ,푥≠푘휋+,푘∈Z휔2휋(퐴,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=。휔6)三角函数的图像变换:⑴函数푦=퐴sinωα+φ,푥∈R即푦=sin푥横坐标伸长(0<휔<1)或缩短(ω>1)1휑휑휑到原来的倍,再向左(>0)或向右(<0)平移个单位,最后纵坐标伸长ωωωω(A>1)或缩短(0<퐴<1)到原来的A倍。⑵函数푦=퐴sinωα+φ,푥∈R即푦=sin푥向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φ个1单位,再横坐标伸长(0<휔<1)或缩短(ω>1)到原来的倍,再,最后纵坐ω标伸长(A>1)或缩短(0<퐴<1)到原来的A倍。7)正弦定理푎푏푐===2푅(푅是∆ABC外接圆的半径)sin퐴sin퐵sin퐶8)余弦定理푎2=푏2+푐2−2푏푐cos퐴;푏2=푎2+푐2−2푎푐cos퐵;c=푎2+푏2−2푎푏cos퐶9)三角形面积公式111S=푎푏sin퐶=푏푐sin퐴=푎푐sin퐵22210)a与b的数量积(或内积)퐚∙퐛=퐚∙퐛cos휃(휽是向量a,b的夹角)11)向量的坐标运算⑴设A푥1,푦1,푧1,B푥2,푦2,푧2,则퐴퐵=푂퐵−푂퐴=푥2−푥1,푦2−푦1,푧1−푧2;⑵设퐚푥1,푦1,푧1,퐛푥2,푦2,푧2,则퐚∙퐛=푥1푥2+푦1푦2+푧1푧2;⑶设퐚푥,푦,푧,则퐚=푥2+푦2+푧2。12)两向量的夹角公式퐚∙퐛푥푥+푦푦+푧푧设,,且,则121212。퐚푥1,푦1,푧1퐛푥2,푦2,푧2퐛≠ퟎcos휃==222222퐚∙퐛푥1+푦1+푧1푥2+푦2+푧213)向量的平行与垂直푥푦푧퐚∕퐛⟺퐛=λ퐚⟺1=1=1;푥2푦2푧2퐚⊥퐛풂≠ퟎ⟺퐚∙퐛=0⟺푥1푥2+푦1푦2+푧1푧2=03.数列、集合与命题1)数列的通项公式与前푛项的和的关系푆1푛=1푎푛=(数列푎푛的前푛项的和为푆푛=푎1+푎2+⋯+푎푛)푆푛−푆푛−1푛≥22)等差数列的通项公式和前푛项和公式푛푎+푎푛푛−1푎=푎+푛−1푑;푆=1푛=n푎+푑푛1푛2123)等比数列的通项公式和前푛项和公式푛푎1,푞=1푛−1푎=푎푞;푆=푎1−푞푛푎−푎푞푛1푛1=1푛,푞≠11−푞1−푞4)数列求和常见结论:1111=−(p<푞);푝푞푞−푝푝푞1+3+5+⋯+2푛−1=푛2;112+22+32+⋯+푛2=푛푛+12푛+1;61213+23+33+⋯+푛3=푛푛+1。25)有푛个元素的集合,含有2푛个子集,2푛−1个真子集。6)原命题:若p则푞;否命题:若¬p则¬푞;命题的否定:若p则¬푞。7)全称量词即“所有”,“全部”,可写作“∀”;存在量词又称特称量词,写作“∃”。4.不等式1)均值不等式푎+b设푎,b∈푅+,≥푎푏(当且仅当푎=b时取“=”号)22)柯西不等式2222222푎1+푎2+⋯+푎푛푏1+푏2+⋯+푏푛≥푎1푏1+푎2푏2+⋯+푎푛푏푛,其中+푎1푎2푎푛푎1,⋯,푎푛,푏1,⋯,푏푛∈푅,当且仅当==⋯=时不等式取等号。푏1푏2푏푛3)Jensen不等式푓푎+푓푏+푓푐푎+푏+푐≤푓334)三角不等式:퐚−퐛≤퐚±퐛≤퐚+퐛5)指数不等式:푎푓푥>푏푎>0,푏>0⟺푓푥lg푎>lg푏5.解析几何与立体几何1)直线的五种方程⑴点斜式:푦−푦0=푘푥−푥0(直线l过点푥0,푦0,且斜率为k)⑵斜截式:푦=푘푥+푏(b为直线在y轴上的截距)푦−푦1푥−푥1⑶两点式:=(直线过点푥1,푦1푥2,푦2,且푥1≠푥2,푦1≠푦2)푦2−푦1푥2−푥1푥푦⑷截距式:+=0(푎、b分别为直线的横、纵截距,푎,푏≠0)푎푏⑸一般式:퐴푥+퐵푦+퐶=0(其中A、B不同时为0)2)两条直线的平行和垂直若푙1:y=푘1푥+푏1,푙2:y=푘2푥+푏2⑴푙1∕푙2⟺푘1=푘2,푏1≠푏2;⑵푙1⊥푙2⟺푘1∙푘2=−13)点푥0,푦0到直线푙:퐴푥+퐵푦+퐶=0(的距离퐴푥+퐵푦+퐶d=00퐴2+퐵24)角平分线所在直线的方程푘−푘1푘2−푘tan훼==,其中푘1、푘2分别为角的边所在直线的斜率,2훼为原角的大小1+푘∙푘11+푘∙푘25)圆的三种方程⑴圆的一般方程:푥2+푦2+D푥+퐸푦+퐹=0퐷2+퐸2−4퐹>0⑵圆的标准方程:푥−푎2+푦−푏2=푟2푥=푎+푟cos휃⑶圆的参数方程:푦=푏+푟sin휃6)两个圆的公共弦所在方程2222푥+푦+D1푥+퐸1푦+퐹1−푥+푦+D2푥+퐸2푦+퐹2=07)直线与圆的位置关系直线푙:퐴푥+퐵푦+퐶=0与圆푥−푎2+푦−푏2=푟2的位置关系有三种:d>푟⟺相离⟺Δ<0;d=r⟺相切⟺Δ=0;d<푟⟺相交⟺Δ>0,弦长=2푟2−푑2;퐴푎+퐵푏+퐶其中d=퐴2+퐵28)椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质푥2푦2푐푎2椭圆:+=1푎>푏>0,푎2−푐2=푏2,离心率푒=<1,准线푥=±,参数方푎2푏2푎푐푥=푎cos휃程是,椭圆上的点与两个定点퐹푐,0、퐹−푐,0的距离之和等于常数푦=푏sin휃12(2푎)。푥2푦2푐푎2双曲线:−=1푎>푏>0,푐2−푎2=푏2,离心率푒=>1,准线푥=±,渐近푎2푏2푎푐푥2푦2线方程是=,椭圆上的点与两个定点퐹푐,0、퐹−푐,0的距离之差等于常푎2푏212数(2푎)。푝푝푝抛物线:푦2=2푝푥,焦点,0,准线푥=−,焦半径PF=푥+,过抛物线焦点的弦2202长AB=푥1+푥2+푝,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。9)双曲线的方程与渐近线方程的关系푥2푦2푥2푦2푏⑴若双曲线方程为−=1⇒−=0⇔푦=±푥。푎2푏2푎2푏2푎푏푥푦푥2푦2⑵若渐近线方程为푦=±푥⇔±=0⇒双曲线可设为−=휆。푎푎푏푎2푏2푥2푦2푥2푦2⑶若双曲线与−=1有公共渐近线,可设为−=휆(휆>0,焦点푥在轴上;휆<0,푎2푏2푎2푏2焦点y在轴上)10)若斜率为푘的直线与圆锥曲线相交于A푥1,푦1、B푥2,푦2两点,则弦长公式为1AB=1+푘2푥+푥2−4푥푥=1+푦+푦2−4푦푦(푘≠0)1212푘2121211)柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2πr푙,表面积=2πr푙+2π푟2,体积=푆푕(푆是柱体的底面积,푕是柱体的高);1圆锥侧面积=πr푙,表面积=πr푙+π푟2,体积=푆푕(푆是锥体的底面积,푕是锥体的高);34球的半径是푅,则其体积V=πR3,其表面积푆=4πR236.空间几何1)平面方程:⑴点法式:퐴푥−푥0+퐵푦−푦0+퐶푧−푧0=0,퐧=퐴,퐵,퐶是平面的法向量⑵一般式:A푥+퐵푦+퐶푧+퐷=0(퐴,퐵,퐶不全为0)⑶参数式:已知平面Π上一点M푥0,푦0,푧0以及平行于平面的两不共线向量μ1=푥=푋1푡1+푋2푡2+푥0푋1,푌1,푍1和μ2=푋2,푌2,푍2,则有푦=푌1푡1+푌2푡2+푦0푧=푍1푡1+푍2푡2+푧02)两平面间的关系:퐴1퐵1퐶1퐷1⑴Π1∕Π2⟺==≠;(法向量共线但两平面不重合)퐴2퐵2퐶2퐷2⑵Π1⊥Π2⟺퐴1퐴2+퐵1퐵2+퐶1퐶2=0π퐧1∙퐧2퐴1퐴2+퐵1퐵2+퐶1퐶2⑶Π1与Π2的夹角(θ<):cos휃==2퐧1∙퐧2222222퐴1+퐵1+퐶1∙퐴2+퐵2+퐶23)直线方程:퐴푥+퐵푦+퐶푧+퐷=0⑴一般式(交面式):1111퐴2푥+퐵2푦+퐶2푧+퐷2=0푥=푥0+푡푙⑵参数式:푦=푦0+푡푚푧=푧0+푡푛푥−푥푦−푦푧−푧⑶对称式(标准式):0=0=0푙푚푛4)直线与平面的关系:⑴푙∕Π⟺A푙+퐵푚+퐶푛=0且A푥0+퐵푦0+퐶푧0+퐷≠0;A퐵퐶⑵푙⊥Π⟺==푙푚푛πA푙+퐵푚+퐶푛⑶푙与Π的夹角(θ<):sin휃=2퐴2+퐵2+퐶2∙푙2+푚2+푛25)曲面方程:푥2푦2푧2⑴单叶双曲面:+−=1(푎,푏,c>0)푎2푏2푐2푥2푦2푧2⑵双叶双曲面:+−=−1(푎,푏,c>0)푎2푏2푐2푥2푦2⑶椭圆抛物面:+=2푧(푝,푞>0),当푝=푞时,曲面为旋转抛物面푝푞푥2푦2⑷双曲抛物面:−=2푧(푝,푞>0)푝푞7.概率统计1)平均数、方差、标准差、期望的计算푥+푥+⋯+푥平均数:푥=12푛푛1方差:푠2=푥−푥2+푥−푥2+⋯+푥−푥2푛12푛1标准差:s=푥−푥2+푥−푥2+⋯+푥−푥2푛12푛期望2)回归线方程푛푥−푥푦−푦푛푥푦−푛푥푦,其中푖=1푖푖푖=1푖푖푦=푎+b푥b=푛2=푛22,푎=푦−푏푥푖=1푥푖−푥푖=1푥푖−푛푥푛푎푐−푏푑23)独立性检验:퐾2=푎+푏푐+푑푐+푎푏+푑4)排列数、组合数푛!排列数公式:퐴푚=푛푛−1⋯푛−푚+1=,其中퐴푛=푛!,퐴0=1;푛푛−푚!푛푛푚푚퐴푛푛!푛0组合数公式:퐶푛=푚=,其中퐶푛=퐶푛=1퐴푚푚!푛−푚!5)二项式定理:푛0푛01푛−11푟푛−푟푟푛0푛⑴푎+푏=퐶푛푎푏+퐶푛푎푏+⋯+퐶푛푎푏+⋯+퐶푛푎푏푟푛−푟푟⑵第r+1项:푇푟+1=퐶푛푎푏(0≤r≤푛,r∈Z)01푛푛024135푛−1⑶系数和:퐶푛+퐶푛+⋯+퐶푛=2,퐶푛+퐶푛+퐶푛+⋯=퐶푛+퐶푛+퐶푛+⋯=2⑷当푎的绝对值与1相比很小且푛不大时,有1+푎푛≈1+푛푎,1−푎푛≈1−푛푎6)相对独立事件同时发生的概率P퐴∙퐵=푃퐴∙푃퐵7)正态分布记为ξ~N휇,휍2,其中期望Eξ=μ,方差Dξ=휍2,曲线关于直线푥=μ对称并在푥=μ时取最大值。8)离散型随机变量的期望与方差的性质:⑴期望反映了离散型随机变量取值的平均水平;方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。⑵Eξ=푥1푝1+푥2푝2+⋯+푥푛푝푛;E퐶=퐶(퐶为常数)222⑶Dξ=푥1−Eξ푝1+푥2−Eξ푝2+⋯+푥푛−Eξ푝푛;D퐶=0(퐶为常数)⑷设η=푎ξ+b,则Eη=푎Eξ+b,Dη=푎2Dξ,Dη=Eξ2−Eξ2⑸若ξ~B푛,푝,则Eξ=푛푝,Dξ=푛푝1−푝;若ξ服从几何分布,且Pξ=푘=11−푝푔푘,푝,则Eξ=,Dξ=。푝푝28.复数1)复数的除法运算:푎+푏푖푎+푏푖푐−푑푖푎푐+푏푑+푏푐−푎푑푖==푐+푑푖푐+푑푖푐−푑푖푐2+푑22)复数z=푎+푏푖的模:푧=푎+푏푖=푎2+푏23)复数之间不能进行大小比较324)设一元三次方程푎푥+푏푥+c푥+푑=0(푎≠0)的三个根分别是푥1,푥2,푥3,则有:푏푐푑⑴푥+푥+푥=−,푥푥+푥푥+푥푥=,푥푥푥=−123푎122313푎123푎푞2푝33푎푐−푏227푎2푑−9푎푏푐+2푏3⑵令∆=+,其中p=,q=233푎227푎3当∆>0时,方程有一个实根,一对共轭复根;当∆=0时,方程有三个实根,其中有一个二重根;当∆<0时,方程有三个不等实根。9.极限与级数1)柯西收敛准则:数列푎푛收敛的充分必要条件是:对于任意ε>0,存在整数N>0,使得当n,m>푁时,有푎푛−푎푚<휀。2)极限的定义::对于任意ε,存在正数δ,当δ时,lim푥→푥0푓푥=퐴>00<푥−푥0<有푓푥−퐴<휀。푥2sin푥3)当푥→0时,有푒푥−1~푥~sin푥~ln1+푥,1−cos푥~,则有lim=2푥→0푥ln1+푥1푥1lim=1,lim1+=lim1+푥푥=푒푥→0푥푥→0푥푥→04)函数极限的计算:푛⑴푛()其中各函数极限均存在lim푥→푥0푓푥=lim푥→푥0푓푥푛∈푁+⑵洛必达法则:若函数和满足下列条件:①lim푥→푎푓푥=lim푥→푎푔푥=푎,其中푎=0或푎=∞;②在点푎的某去心邻域内两者均可导,且푔′푥≠0;푓푥푓′푥则有lim=lim푥→푎푔푥푥→푎푔′푥5)拉格朗日中值定理:如果函数푓푥满足在闭区间푎,푏上连续;在开区间푎,푏内可导;那么在开区间푎,푏内至少有一点ε(푎<ε<푏)使等式푓푏−푓푎=푓′ε푏−푎成立。6)正项级数敛散性判断:⑴比较判别法:大收敛推出小收敛,小发散推出大发散⑵比值与根值判别法:∞<1,级数푛=1푢푛收敛푢푛+1∞若lim푛→∞=휌>1,级数푛=1푢푛发散,且lim푛→∞푢푛=+∞;푢푛=1,此判别法失效∞<1,级数푛=1푢푛收敛푛∞若lim푛→∞푢푛=휌>1,级数푛=1푢푛发散,且lim푛→∞푢푛=+∞;=1,此判别法失效1⑶与p级数比较:设∞푢=∞>0,当p>1时收敛,当p≤1时发散。푛=1푛푛=1푛푝∞푛−17)交错级数的敛散性(莱布尼茨判别法):设交错级数푛=1−1푢푛满足푢푛≥푢푛+1,∞푛−1∞푛−1n≥N>1;lim푛→∞푢푛<푢1=0,则푛=1−1푢푛收敛,且其和0<푛=1−1푢푛<푢1,余项푟푛<푢푛+1。8)幂级数收敛半径及收敛域:∞푛设幂级数푛=0푎푛푥−푥0,则有1,0<푙<+∞푡푎푛+1⑴若lim푛→∞=푙,则其收敛半径为R=0,푙=+∞;푎푛+∞,푙=0∞푛⑵判断푛=0푎푛푥−푥0在푥−푥0=±R处的敛散性;⑶若该级数在푥−푥0=R处收敛,则其收敛域为−R+푥0,R+푥0;若该级数在푥−푥0=−R处收敛,则其收敛域为−R+푥0,R+푥0;若该级数在푥−푥0=±R处都收敛,则其收敛域为−R+푥0,R+푥0。10.矩阵、线性空间与线性变换1)矩阵的转置:⑴对于푛阶实矩阵퐴,若满足퐴퐴푇=퐸或퐴푇퐴=퐸(为单位矩阵),则矩阵퐴称为正交矩阵,其中퐴푇为퐴的转置;⑵若푛阶方阵퐴满足퐴푇=퐴,则称퐴为对称矩阵;若푛阶方阵퐴满足퐴푇=−퐴,则称퐴为反对称矩阵,反对称矩阵对角线上的元素必为0;⑶转置的运算规律:퐴퐵푇=퐵푇퐴푇2)齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩3)特征值和特征向量:⑴给定矩阵M,若存在一个非零向量α和实数λ,满足Mα=λα,则称λ为矩阵M的特征值,α为矩阵M的属于特征值λ的特征向量。⑵任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和;所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式的值。⑶若同阶矩阵퐴和퐵的特征值相同,则有퐴等价于퐵。4)非异矩阵:若푛阶矩阵퐴的行列式不为零,即퐴≠0,则称퐴为非奇异矩阵或满秩矩阵,否则称퐴为奇异矩阵或降秩矩阵。5)相似、 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 :⑴相似:∃非异矩阵P,使得푃퐴푃−1=퐵,则有퐴相似于퐵。⑵相似的判断:相同的特征值、迹(自左上到右下的主对角线的和)、行列式的值相同⑶合同:∃非异矩阵P,使得푃퐴푃푇=퐵,则有퐴与퐵合同。⑷合同的判断:正、负特征值的个数相等6)线性空间:⑴柯西∙布涅科夫斯基不等式:设퐕是欧式空间,훂、훃∈R,则훂,훃2≤훂,훂훃,훃,当且仅当훂、훃线性相关时,等号才成立⑵퐕本身与ퟎ都是퐕的子空间,称之为퐕的平凡子空间,而퐕的其他子空间称为非平凡子空间。⑶设푾1与푾2是线性空间퐕的两个子空间,则dim푾1+dim푾2=dim푾1+푾2+dim푾1∩푾27)施密特正交化法:对푛维欧式空间퐕的任一组基휶1,휶2,휶3,⋯,휶푛,令휷1=휶1,휶2,휷1휷2=휶2−휷1,휷1,휷1휶3,휷1휶3,휷2휷3=휶3−휷1−휷2,휷1,휷1휷2,휷2⋯,휶푛,휷1휶푛,휷2휶푛,휷푛−1휷푛=휶푛−휷1−휷2−⋯−휷푛−1,휷1,휷1휷2,휷2휷푛−1,휷푛−11휼푖=휷푖,i=1,2,⋯,푛휷푖휼푖即为퐕的一组标准正交基。
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上传时间:2020-03-27
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