线性代数及其应用术语要点中英对照

  1 / 12    Chapter 1‐Review      1. 线性方程组 Systems of Linear Equations (Linear System)            [P3 ] 关键词：coefficient系数[P2]; constant term 常数（项）[讲义‐P1]; linear equation线性方程  [P2]；variable 未知数（或变元） 有 m 个方程 n 个未知数(x1,x2,…xn)的线性方程组可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为： 1) ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn = bi (1 ≤ i≤ m) 2) x1a1 + x2a2 + … + xnan = b (a1,a2,…an, b 为 m 维列向量) 3) Ax=b (A 是 m× n 矩阵；x，b 为 m 维列向量) 4) Augmented matrix(增广矩阵) - (其中第 j(1 ≤ j ≤n)列是变元 xj 的系数) 2. 线性方程组解的情况（Solution Status）            [P4] 1) No solution 无解 2) Has Solution 有解 a) Exactly one solution (unique solution) 唯一解 b) Infinitely many solutions 无穷多解  3. 阶梯形（Echelon Forms）            [P14] 关键词：leading entry先导元素 [P14]; pivot position主元位置[P16]; 1) 3 conditions of echelon form matrix 阶梯形矩阵的三个条件（缺一不可）: a) A zero row is not above on any nonzero row 所有非零行都在零行上部 b) Each leading entry of a row is on the right of the leading entry of the previous row 每行的先 导元素都在上一行先导元素的右边 c) In each column, an entry below the leading entry is 0 与先导元素同列且在其下部的元素全 为 0 2) 2 additional conditions of Reduced Echelon Forms 简化阶梯形的额外两个性质： a) The leading entry of each nonzero row is 1 每一非零行的先导元素都是 1 b) Each leading 1 is the ONLY nonzero entry of its column 先导元素是其所在列唯一非零元 素 注：与线性方程组结合：                                                                          4. 解的存在性与唯一性定理 （Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem）    [P24] 关键词：pivot column主元列[P16]; echelon form 阶梯形[P16]；  ‹ No [0 0 … 0 | bi]    bi  ≠  0          ≡        Has solution    ¾ No free variables    ~ unique solution ¾ ≥1 free variable    ~ infinitely many solutions 5. 齐次线性方程组非零解的条件（Condition of Homogeneous System Having Non-Trivial Solution）          [P50] 关键词：homogeneous system 齐次线性方程组[P50] ; Ax = 0[P50]; non-trivial solutions 非零解/ 非平凡解[P51];    free variable 自由变量[P20] ;  Homogeneous system has non-trivial solutions 齐次线性方程组有非零解 ~ at least one ~ ൜ ࢞૚ െ ࢞૛ ൅ ࢞૜ ൌ 1 ࢞૜ ൌ െ1 ~    2 / 12    free variable 至少有一个自由变量 注：结合简化阶梯形采用反证法轻松搞定！ Additionally, 此外：if r = #{pivot positions}, p = #{free variables}, n = #{variables} then r+p = n, #{} - number of {ζ} （ζ的个数） 注：看简化阶梯形 6. 非 齐 次 线 性 方 程 组 解 的 结 构 定 理 （ Structure of Solution Set of Nonhomogeneous System）          [P53] 关键词：nonhomogeneous system 非齐次线性方程组[P50]; Let v0 be a solution of a nonhomogeneous system Ax = b. Let H be the set of general solutions of the corresponding homogeneous system Ax = 0. Suppose the solution set of Ax = b is S Then S = H + v0 如果 v0是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解，H 是对应齐次线性方程组 Ax = 0 的通解。（Ax = 0 也称为 Ax = b 的导出组） 则 Ax = b 的通解是 S = H + v0 注：Proof Apparently, ׊h∈ H, (h+ v0) ∈ S ; so, Hك S; （1） Now, ׊ v ∈ S, v- v0 ∈ H, since A (v- v0) = Av - Av0 = b-b = 0; Because v- v0 + v0 ∈ H + v0 Consequently: v ∈ H + v0 and thus Sك H （2） Given (1) and (2), we now have S = H. ■ E.g.: (Examples 5.1 and 5.2) Ax = 0: H = Ax = b: V0 = S = v0 + H =   7. 线性组合（Linear Combination）            [P32] 关键词：vectors  向量 v1, v2,…vp[P32]; scalar 标量 c1, c2,…cp [P29];   If y = c1v1 + c2v2+…+cpvp   3 / 12    Then vector y is called a linear combination of the vectors v1, v2,…vp  注：与线性方程组结合  b = x1a1 + x2a2 + … + xnan (a1,a2,…an, b 为向量; x1, x2,…xp 为标量) 有解 ≡ b 是 a1,a2,…an的线性组合 8. 线性无关/ 相关（Linear Independent / Dependent）          [P65] 关键词： trivial solutions 非零解/非平凡解[P51];    m  维空间 [P28];  1) Definition [P65]  Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 has only the trivial solution. (x1 x2 …xn are all 0) 如果方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 只有零解 (x1 x2 …xn 全是 0)，则 a1 , a2 ,…an线性无关。 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear independent if x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0 if x1 x2 …xn are not all 0. 若方程组 x1a1 + x2a2 + … + xnan有非零解（x1 x2 …xn不全是 0），则向量组 a1 , a2 ,…an线性相关。 2) Theorem  7  Characterization of Linearly Dependent 定理 7 线性相关和线性组合的关系定理 [P68]  Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent ~ Exist vector ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear combination of the other vectors 向量组{a1 , a2 ,…an } 线性相关 ~ 存在某向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合 注：由线性相关定义 x1a1 + x2a2 + … + xnan= 0， x1 x2 …xn 不全是 0 则线性相关。设 xi ≠  0  (1 ≤ i≤ n), 把 xiai 移到等式另一边 xiai = -（x1a1 + x2a2 + … + xnan），然后两边除以 xi （因为 xi ≠  0） 即得证向量 ai (1 ≤ i≤ n)是其它向量的线性组合（还不懂？看线性组合定义 100 遍☺） 。 3) Theorem 8 Determine Linearly Dependency by Investigating Vector Dimension and Number 由向量个数与维数判断相关性定理[P68]  Vector set {a1 , a2 ,…an } in is linear dependent if n > m r ai (1 ≤ i≤ n), which is a linear combination of the other vectors 如果向量组中向量个数 n 大于向量的维数 m,则向量组线性相关。 注：不知如何证明？看本表第 5 项 100 遍☺ 。 4) Theorem 9 Vector set {a1 , a2 ,…an } is linear dependent if there exists ai= 0（1 ≤ i≤ n)  ׊ {a1 , a2 ,…an } ， � ai= 0（1 ≤ i≤ n) ֜ {a1 , a2 ,…an }线性相关 注：还是不知如何证明？看本格上面的定义 100 遍☺ 。 9. 等价定理（Theorem 4）            [P43] 关键词： m  维空间 [P28]; subset of spanned (or generated) by v1, v2,…vp  由 v1, v2,…vp 张成(或生成的)的 的子空间[P35];   1) For each b in , the system Ax = b has a solution.对于 中的每一个向量 b，线性方程组 Ax = b 都有一个解 2) Each b in is a linear combination of the columns of A. 中的每一个向量 b 都是矩阵 A 的 列向量的线性组合 3) The columns of A span 矩阵 A 的列向量生成 4) The matrix A has a pivot position in every row. 矩阵 A 每一行都有一个主元位置 注：1）- 3）根据定义显然成立；4）可用定理 2 采用反证法 10. 补充齐次方程组基础解系定理（Additional Theorem of basic solutions of a homogenous linear system）          [P43] 关键词：basic solutions (基础解系) [讲义 P17 定理 5.3] The basic solutions of any homogeneous linear system are linearly independent. 齐次线性方程组的基础解系中各个向量是线性无关的 注：先看本表第 6 项齐次方程组的例子   4 / 12    Proof: Suppose v1 v2 …vp are the basic solutions of a homogeneous linear system Ax = 0. Then, we know that there are p free variables Ax = 0 (为什么，看本表第 5 项) Let c1v1 + c2v2 + … +cnvp= v， where c1, c2,… cn are scalars. We know that in each vector vi (1 ≤ i≤ p), there is a 1 corresponding to the position of the i-th free variable. In addition, each element in that position in the other vectors is 0. * * … 1 0 … 0 Consequently, the element in this position of the vector v is ci . Therefore, for vector v to be a 0 vector, c1, c2, …cn must all be 0. ■   Chapter 2      matrix algebra  [P105] 矩阵代数  matrix operations  [P107] 矩阵的运算  main diagonal of matrix  [P107] 矩阵的主对角线  diagonal matrix  [P107] 对角矩阵  identity matrix In  [P45+  P107]  n  ×  n单位矩阵    matrix addition  [P107] 矩阵加法  scalar multiplication  [P109] 数乘（矩阵）  matrix multiplication  [P109] 矩阵乘法  If A  is an m  ×  n matrix, and B  is an n  ×  p matrix  with columns b {b1….bp}, then the product of AB is  the m  ×  p matrix whose columns are Ab1…Abp  [P110] A: m  ×  n矩阵  B:  n  ×  p  矩阵,  矩阵的各列向量为 {b1….bp},  AB = [Ab1 Ab2…Abp]  The  vector  in  column  j  of  AB  is  a  linear  combination of all the column vectors {a1 … an} of  A  (weights  are  the  entries  of  the  corresponding  bjcolumn of B)  [P110] 矩阵 AB 的第 j 列 Vj都是 A 的所有列 向量(a1 … an)的线性组合。（其中各个 权是 B中对应列 bj的元素）  Theorem . Rules for Matrix Operation  A: m  ×  n matrix  B，C：matrices  whose  sizes  in  each  row  of  the  following allow  the addition and multiplication  in  that row  k, t: scalar    [P108+  P113]  矩阵运算规则  A: m  ×  n矩阵  B,  C:  在每行中，尺寸都符合那行加 法和乘法定义的矩阵    k, t:  标量    ← Position of the i‐th free variable    5 / 12    1) Addition and scalar multiplication  A + B = B + A  (A + B) + C = A + (B + C)  A + 0 = A  k(A + B) = kA + kB  (k+t) A = kA + tA  k(tA) = (kt) A    2) Multiplication  A(BC) = (AB)C  A (B+C) = AB + AC  (B+C)A = BA +CA  k(AB) = (kA) B = A (kB)  ImA = A = A Im  1) 矩阵加法和数乘                2) 矩阵乘法    commute  [P113] 可交换（矩阵乘法）  Warnings:  In general AB  ≠  BA  AB = AC    B = C    AB = 0    A = 0 or B = 0  [P114]   transpose of a matrix  [P115] 矩阵的转置  Theorem 3 Transposition  A: m  ×  n matrix  AT: transpose of matrix A  B: matrix whose size  in each row of the following  allow the addition and multiplication in that row  k: scalar    (AT) T = A  (A + B) T = AT + BT  (kA) T = k AT  (AB) T = BTAT        invertible    [P119] (矩阵)可逆的  matrix inverse  [P119] 矩阵的逆  singular matrix  [P119] 奇异矩阵  nonsingular matrix  [P119] 非奇异矩阵  Theorem 4    necessary and sufficient condition for  a 2 x 2 matrix is invertible  Let A =  ቂࢇ ࢈ ࢉ ࢊ ቃ, If ad‐bc  ≠  0, then A is invertible  and A‐1 =  ૚ ࢇࢊି࢈ࢉ ቂ ࢊ െ࢈ െࢉ ࢇ ቃ  Theorem 4, A is invertible Iff det A  ≠  0    (where det A =    ad‐bc)  [P119] 二阶方阵 A =  ቂࢇ ࢈ ࢉ ࢊ ቃ  可逆的充要条件  ad‐bc  ≠  0  或记作|A|  ≠  0    6 / 12    Theorem 5    If A  is an  invertible n  ×  n matrix, then for each b  in  Թ࢔ ,  the  equation  Ax  =  b  has  the  unique  solution x = A‐1b    [P120] 定理 5    系数为 n阶可逆方阵 A的线 性方程组 Ax=b 的解的情况定理    若 A是一个 n阶可逆矩阵，那么对于 n 维空间Թ࢔中的每一个列向量 b  方 程组  Ax = b都有唯一解  x = A‐1b  Theorem 6    Rules of    A, B: n  ×  n invertible matrices    (A‐1)‐1 = A  (AB) ‐1 = B‐1A‐1  (AT)‐1 = (A‐1)T  [P121] 定理 6    矩阵的逆运算规则  elementary matrix  [P122] 初等矩阵  If  an  elementary  row  operation  is  performed  on  matrix  A,  the  resulting  matrix  can  be written  as  EA,  where  the  m  x  m  matrix  E  is  created  by  performing the same row operation on Im    Proof idea:    Prove that each of the 3 kinds of row operations, if  performed  on  a  matrix  A  ,    is  the  same  as  left  multiply  the  three  corresponding  elementary matrix.  Ex. : A  ji rr ↔   = Eij A, where Eij = I  ji rr ↔   [P123] 左乘初等矩阵等价于  进行一次与初等矩阵一样的行初等 变换  Theorem 7.    An nxn matrix A is invertible iff A is row equivalent  to In, and in this case, any sequence of elementary  row operations that reduces A to In also transform  into A‐1       [P123] 定理 7  可逆矩阵判断定理  一个 nxn  矩阵  A  是可逆的当且仅当 A  行等价于 In （就是说 A 可以行化 简成 In）。并且，在这种情况下，任 何一系列把 A 行化简成 In 的操作， 都可以把 In 转化成  A‐1  Algorithm for finding A‐1:  Row reduce the augmented matrix [A | I]  ,  if A  is  row equivalent to I, then [A | I] is row equivalent  to [I | A‐1]. Otherwise, A is not ivertible.  [P124] 用初等行变换求逆矩阵:  把增广矩阵[A | I]化简，如果 A  行等 价于单位阵 I,  则[A  |  I]能化简成[I  |  A‐1]，否则 A不可逆。  Theorem 8. Invertible matrix theorem    The following statements are equivalent.  a. A is an invertible matrix.    b. A  is  row  equivalent  to  the  n  x  n  identity  matrix.    c. A has n pivot positions.  d. The  equation  Ax  =  0  has  only  the  trivial  [P129] 可逆矩阵性质定理  下列断言等价  a. A  是可逆的  b. A  行等价于一个  n 阶单位阵。    c. A  有 n 个主元位置。  d. 矩阵方程 Ax  =  0 仅有平凡解（零   7 / 12    solution.  e. The  columns  of  A  form  a  linearly  independent set.  f. The  linear  transformation  ܠ հ ۯܠ   is  one‐to‐one.  g. The equation Ax= b has only one solution for  each b in  Թ࢔.  h. The columns of A span  Թ࢔.  i. The  linear  transformation  ܠ հ ۯܠ   maps  Թ࢔  to  Թ࢔.  j. There is an n x n matrix C such that CA = I.  k. There is an n x n matrix D such that AD = I. l. AT is an invertible matrix.  解）。  e. A  的列形成一个线性无关集。    f. 线性变换x հ Ax  是一对一的。    g. 对于Թ௡中任意的一个向量 b,矩阵方 程  Ax= b  有唯一解。  h. A  的列张成Թ௡.  i. 线性变换x հ Ax  把Թ௡映射到Թ௡。 j. 存在一个 n x n 矩阵 C使 CA = I.  k. 存在一个 n x n 矩阵 D 使 AD = I.  l. AT 是可逆的。  partitioned matrix (block matrix)  [P134] 分块矩阵  multiplication of partitioned matrices    [P135] 分块矩阵的乘法  Partitions  of A  and  B  should  be  conformable  for  block multiplication  The  column  partition  of  A  matches  the  row  partition of B    [P136] A 和 B 的分块矩阵要相乘的话，  A 和 B的分法应遵从矩阵乘法定义  A的列分法应与 B的行分法一致  （左边大小列  =  右边大小行）  Theorem 10 column‐row expansion of AB  If A is an m x n matrix and B is an n x p matrix then AB  =  [col1(A)      col2(A)  …  coln(A)  ]  ൦ ݎ݋ݓଵሺܤሻ ݎ݋ݓଶሺܤሻ … ݎ݋ݓ௡ሺܤሻ ൪  =  col1(A) row1(B) +…+ coln(A) rown(B)  [P137] 定理 10 AB乘法的列行展开    subspace  [P168] 子空间  column space of A  ColA = all linear combinations of the columns of A  = k1a1 + … + knan  （ki(1≤i≤n)∈R）  [P169] A的列空间  ColA = A的所有列的线性组合形成的 向量的集合  null space of A  Nul A = all solutions to the homogeneous equation  Ax = 0  [P169] A的零空间  Nul  A  =    齐次线性方程组 Ax  =  0  的 通解  Theorem 12. Theorem for null space of A  The null space of an m x n matrix A  is a subspace  of  Թ࢔.          Equivalently,  the  set  of  all  solutions  to  a  system  Ax=  0  of  m  homogeneous  linear  equations  in  n  unknowns is a subspace of    Թ࢔.    [P170] A的零空间定理  m x n 矩阵 A的零空间是Թ௡的子空间 （这是因为 Ax  =  0 的解向量是 n 维 的，所以它是 n 维空间的子空间）    也就是说，有着 m 个方程 n 个未知数 的方程组Ax=0的通解是Թ௡的子空间. basis    [P170] 基    8 / 12    Theorem 13. Theorem for column space of A    The pivot  columns of a matrix A  form a basis  for  the column space of A  [P172] A的列空间定理  A  的主元列形成了 A 的列空间的一 个基。  coordinate vector of x  （relative to B）  [P176] X 相对于 B的坐标向量  (对照解析几何中，相对于 x 轴,y 轴,z 轴的坐标)  dimension of a subspace  The dimension of a nonzero subspace H, denoted  by dim H, is the number of vectors in any basis for  H. The dimension of the zero subspace is 0.  [P177] 子空间的维数  非零子空间的维数，用 dimＨ表示， 它是 H 的任意一个基中，向量的个 数。零子空间的维数定义成 0  （注意：  与向量的维数区别！）  rank  [P178] 秩  Theorem 14. The Rank Theorem    If a matrix A has n columns then rank A + dim Nul  A    = n      定理 14  矩阵的秩定理  如果矩阵 A  有 n 列，则  A的秩+ A的零空间的维数  = n  (回忆第一章  r+  p  =  n,  不知道？  罚 你看第一章秘籍 100 遍)  r是  主元列的个数  p 是自由变量的个数，Ax=0 有多少自 由变量，就有多少线性无关的基础解 向量，也就是说 A的零空间的维数是 p.  Theorem    the invertible matrix theorem  m. The columns of A form a basis of  Թ࢔.    n. Col A =    Թ࢔.  o. dim Col A = n.  p. rank A = n.  q. Nul A = {0}  r. dim Nul A = 0    [P179] 可逆矩阵性质定理  续  m. A  的列向量形成了Թ௡的一个基  n. Col A =    Թ࢔.  o. dim Col A = n.  p. rank A = n.  q. Nul A = {0}  r. dim Nul A = 0  注：这是因为 A可逆，A可以初等变 换为单位阵，单位阵地列向量都线性 无关。因为初等变换不改变线性相关 性，则说明 A的 n 个列向量也都线性 无关。  Ax=0只有零解。  为什么初等变换不改变线性相关 性？   因为初等变换不改变方程组 Ax=0 的解。                  9 / 12    Chapter 3      determinant  [P187] 行列式  (i,j)‐cofactor  (‐1)i+j det Aij  [P165] 代数余子式  cofactor expansion    [P165] 余因子展开式  Theorem 2    det of a triangular matrix  If A is a triangular matrix, then det A is the product  of the entries on the main diagonal of A  [P189] 定理 2  三角矩阵的行列式定理  三角矩阵的行列式是该矩阵的主对 角线上元素的乘积。    Theorem 3    row operations on determinant    a. If  a  multiple  of  one  row  of  A  is  added  to  another row to produce a matrix B, then det B  = det A  b. If  two rows of A are  interchanged  to produce  B,then detB = ‐ detA  c. If one row of A is multiplied by k to produced  B, then detB = k detA    [P192] 定理 3  矩阵行变换与对应行列式的 值  a. 把 A 的某一行的倍数加到另一行 得到矩阵 B，则 detB = detA  b. 若 A 的两行互换得到矩阵 B，则 detB = ‐ detA  c. 若 A 的某一行乘以 k 得到矩阵 B,  detB = k detA      Theorem  4  use  determinant  to  investigate  whether matrix is invertible    A square matrix A is invertible iff det A  ≠0  [P194] 定理 4  用行列式判可逆    一个方阵 A可逆当且仅当 det A  ≠0  Theorem 5 determinant of transpose of A  If A is an n x n matrix, then det AT = det A  [P196]   定理 5  转置矩阵的行列式  一个方阵 A,  它的转置矩阵的行列式和 它本身的行列式值相等。  Theorem 6 Multiplicative Property  If A and B are an n x n matrices, then    det AB = (det A) (det B)  [P196] 定理 6  矩阵乘法的行列式  方阵 A  和  B 乘积的行列式等于 A 的行 列式乘以 B的行列式  det AB = (det A) (det B)  Theorem 7 Cramer’s Rule    Let A be an invertible n x n matrix. For any b in  Թ࢔, the unique solution x of Ax = b has entries  given by    ࢞࢏ ൌ ࢊࢋ࢚ ࡭࢏ሺbሻ ࢊࢋ࢚ ࡭   [P201] 定理  7  克莱姆法则  设 A  是一个可逆 n 阶方阵，对于Թ࢔中任 意向量 b,  方程组 Ax=b 的唯一解可用下 面的方法计算：  ࢞࢏ ൌ ࢊࢋ࢚ ࡭࢏ሺ܊ሻ ࢊࢋ࢚ ࡭   adjugate    [P203] 伴随矩阵  Theorem 8 An Inverse Formula  Let A be an invertible n x n matrix. Then    ࡭ି૚ ൌ ૚ ࢊࢋ࢚ ࡭ ࢇࢊ࢐࡭    定理 8  逆矩阵计算公式  ܣିଵ ൌ 1 ࢊࢋ࢚ ࡭ ݆ܽ݀ܣ          10 / 12    Chapter 4      Vector space  [P215] 向量空间  Subspace  [P220] 子空间  Zero Subspace  [P220] 零子空间  Subspace spanned by {v1…vp}  [P221] 由向量{v1…vp}生成（张成）的子空间  Null space of an m x n matrix A (written as Nul  A)  Nul A is a subspace of Rn    [P226‐ 227]  m x n 矩阵 A的零空间（注意与零子空间 区别开来）。    Column space of an m x n matrix A (written as  Col A)  Col A is a subspace of Rm  [P229] 矩阵 A的列空间  记作 Col A  Col A是 Rm的子空间  Basis  Pivot columns of A form a basis for Col A  [P238] [P241] 基  矩阵 A的主元列形成了 Col A的基  Coordinates of x relative to the basis B  [P246] 向量 x 相对于基 B的坐标  Coordinate vector of x    [P247] 向量 x 相对于基 B的坐标向量  Coordinate mapping  [P247] 坐标映射  Dimension    [P256‐ 257]  维数  Rank  rank A + dim Nul A = n  [P265] 秩        Invertible matrix theorem    [P267] 可逆矩阵的秩、维数定理  Change of basis    B  ={b1,  …  ,  bn},  C  =  {c1,…,cn},  given  [x]B  (coordinates of vector x relative to the basis B),  and [b1]C, … , [bn]C (coordinates of vectors b1, … ,  bn relative to the basis C);  Then: [x]C =  ۱ ۾ ՚ ۰[x]B      ۱ ۾ ՚ ۰  = [[b1]C, … , [bn]C]  [P273] 基的变换    设 B ={b1, … , bn}, C = {c1,…,cn}, [x]B是 x相 对于 B上的坐标，并且[b1]C, …  , [bn]C是 基 B相对于 C 的坐标。  [x]C =  ۱ ۾ ՚ ۰[x]B  其中۱ ۾՚ ۰  = [[b1]C, … , [bn]C]                        11 / 12    Chapter 5       Eigenvector;    Eigenvalue  Eigenvectors correspond to distinct eigenvalues  are linearly independent  [P303]   [P307] 特征向量;  特征值  对应于不同特征值的特征向量线性无关 n x n matrix A is invertible iff:    0 is not an eigenvalue or  det A  ≠  0  [P312] n x n  矩阵  A是可逆的，当且仅当：  0  不是特征值  det A  ≠  0    Characteristic equation:    det (A - λI) = 0, or written as |A - λI| = 0    [P313] 特征方程  Similar  matrix  have  the  same  characteristic  polynomial and eigenvalues    [P317] 相似矩阵具有相同的特征值  Diagonalization  A  is  diagonalizable  iff  A  has  n  independent  eigenvectors  An n  x n matrix with n distinct  eigenvalues  is  diagonalizable.  [P320]     [P323] 对角化  A  是可对角化的当且仅当 A 有 n 个线性 无关的特征向量。      Chapter 6       Inner product / dot product  [P375] 内积    点积  Length of vector  [P376]  向量长度  Unit vector  [P377] 单位向量  Normalizing  [P377] 单位化    Distance between two vectors  [P378] 向量之间的距离    Orthogonal      u•v = 0  [P379] 正交的  u•v = 0  Orthogonal complement  [P380] 正交补  Orthogonal basis  [P385] 正交基  Orthogonal projection  Orthogonal projection of y onto u  [P387] 正交投影  Y在 u 上的正交投影  Orthonormal    Orthonormal set  Orthonormal basis  [P389] 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正交  标准正交集合  标准正交基  Orthogonal decomposition    [P395] 正交分解  Gram‐Schmidt process  [P402] 格莱姆‐施密特方法  QR factorization  [P405] QR分解  Least‐Squares Problem  [P410] 最小二乘法  Inner product space  [P428] 内积空间  Cauchy‐Schwarz Inequality  [P432] 柯西‐施瓦茨不等式  Triangle Inequality  [P433] 三角不等式    12 / 12      Chapter 7       Symmetric matrix  [P450] 对称矩阵  Orthogonally diagonalizable    [P450] 可正交对角化  Spectral decomposition  [P453] 谱分解  Quadratic form  [P456] 二次型  Matrix of quadratic form  [P456] 二次型的矩阵  Change of variable  [P457] 变量变换  Principal axes theorem  [P458] 主轴定理  Positive definite  Negative definite  Indefinite  [P461] 正定  负定  不定  Positive semidefinite  Negative semidefinite  [P461] 半正定  半负定  Constrained optimization  [P463] 条件优化  （注意优化方法）