2006年9月 系统工程理论与实践 第9期
文章编号：1000—6788(2006)09．0107．06
模糊层次分析法权重研究
兰继斌1’2，徐 扬1，霍良安2，刘家忠1
(1．西南交通大学经济管理学院，成都610031；2．广西大学数学与信息科学学院，南宁530004)
摘要：提出确定一族模糊层次分析法权重的新方法，说明该权重确定方法的合理性，得出四个重要结
论，纠正人们对模糊层次分析法权重确定的某些错误认识．给出从传统层次分析法标度到模糊层次分析
法标度的转换方法．
关键词：模糊层次分析法；模糊判断矩阵；一致性；权重；排序
中图分类号：c934；0223 文献标志码：A
Researchon．thePrioritiesofFuzzyAnalyticalHierarchyProcess
LANJi．bin’”，XUYan91，HUOLiang．／tll2，LIUJia-zhon91
(1．SchoolofEconomicsandManagement，SouthwestJiaotongUniversity，Chengdu610031，China；2．SchoolofMathematicsandInformation
Science，Guangxiuniversity，Nmming530004，China)
Abstract：Anewapproachforafamilypriorityoffuryanairdcalhierarchyprocessisproposedandtherationalityof
theapproachisexplained．Fourimportantl℃8uIt8aIeobtained．Somefalsecognitionstodeterminetheprioritiesof
晒analyticalhierarchyprocessa托rectified．AmethodtotlRnsformthescaleoftraditionanalyticalhierarchyprocess
intofiz巧8Ilalyticalhierarchyprocessisgiven．
Keywords：f山呵analyticalhierarchyprocess；furyjudgrsentmatrix；consistency；priority；ranking
1 引言
层次分析法是T．L．Saaty【11首次提出，该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效
分析目
标准
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则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较，由于系统简洁、实用，在社
会、经济、管理等许多方面，得到越来越广泛的应用．为了改进T．L．Saaty的层次分析法中诸如判断一致性
与矩阵一致性的差异、一致性检验的困难和缺乏科学性等问题，一些学者【2“1提出了模糊层次分析法
(FAHP)．模糊层次分析法的一个根本的问题是如何确定方案权重的大小，本文讨论基于模糊一致互补判
断矩阵的权重确定问题．
设有方案集A={A。，A：，⋯，A。}，则
表
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示方案A。，A：，．一．·，A。两两比较重要程度的模糊互补判断矩阵
为‘2_4】
R=
rl! r12
r21 r22
rni rn2
其中o≤～≤l，／'／／=o．5，rq+0=1．～表示方案At比方案^重要的隶属度，～越大，方案At比方案Ai越重
要，r#=0．5时表示方案A；和方案Ai同等重要．
性质1．1‘引 设模糊互补判断矩阵R=(ri)。。。，则其所有元素之和等于n212．
定义1．1‘41若模糊互补判断矩阵R=(～)。。。满足：Vi，．『，k=1，2，⋯，，l，有
收稿日期：2005．06-27
资助项目：国家自然科学基金(60474022)
作者简介：兰继斌<1962一)，男，广西都安县人，副教授，主要从事决策理论及方法的研究．
万方数据
108 系统工程理论与实践 2006年9月
～=k一‰+0．5，
则称模糊互补判断矩阵R=(～)。。。为模糊一致判断矩阵．
文献[4]依据模糊一致判断矩阵的性质，提出模糊一致矩阵的元素与权重的关系：
rF=9(蛾一叶)+0．5，口≥孚．
文献[5]依据(1．3)式采用最dx-乘法求解各个方案的权重值，其主要结论如下：
(1．2)
(1．3)
1。埘卜去一万1+上／／"k妻ffil∽i=1，2，⋯，n．口≥孚， (1．4)
2。 I埘。一哟I≤i{1． (．1．5)
很明显在(1．5)中，当n很大时，权重的偏差会很小，不利于分辩方案的序矣系．基于这个问题，我们提
出一种新的确定方案权重的方法．
2模糊一致判断矩阵权重的确定及方案的排序
定理2．1设模糊互补判断矩阵R=(r#)。。。，则R=(～)。。。是模糊一致判断矩阵的充分必要条件是
存在n维正的归一化向量协=(埘。，埘：，⋯，加。)7及卢(J9>1)，使得V；，，
rq=logpttJ‘一logp嘶+0．5， (2．1)
成立．
证明(必要性)设R=(k)。。。为模糊一致判断矩阵，令
、 埘i_p韬7一／∑p韬～，i=1川2”，n， (2．2)
显然埘；>0，i=1，2，⋯，n，∑埘；=1．由模糊一致判断矩阵的定义有
·。g∥；一·。鄢嘶=丢喜～一寺喜勺=去善nc～一勺j=去nc～一。15)=rq-0．5．
这说明模糊一致判断矩阵R=(rg)。。。的元素r。可以表示为
rq=logjwi—logp哟+0．5，
(充分性)若模糊互补判断矩阵R=(～)。。。的元素rq可以表示为～=logplt7；一logp叶+O．5，Vi，．『，k∈
1，2，⋯，n，有
7F2logaw‘一logp嘶+0．5
=(109aw‘一log，埘I+O．5)一(109p哟一logp埘I+0．5)+O．5
=k—o+0．5．
即R=(b)。，。是模糊一致判断矩阵．
定理2．2设R=(～)。。。是模糊一致判断矩阵，令b口=埘；，嘶=舻柚～，(p>1)，则B=(b#)。。。是一致
的正互反判断矩阵．
证明 显然bF>0，Vi，．『=1，2，⋯，n，6谴，b=胪。0‘5，伊‘0一=伊‘_，因为R是模糊一致判断矩阵，k
一取=rF—o．5，所以6业，b=胪一_=雕柚一=b口．这说明B=(b#)。。。是一致的正互反判断矩阵．
在定理2．2中，当～=O．5时，bF=1，表示方案4与方案A；同样重要；当r{『>O．5时，6#>1，表示方案
Ai比方案4重要，且rq越大，bo也越大，这说明方案A；比方案4越重要；当～
0，．『=1，2，⋯，n
则仍有
⋯p备信p镭～，⋯’2'·⋯，n．
这里p>1．
证明 由拉各朗日乘数法，将(P1)转化为下面无约束规划问题：
(P2)minL(w，A)=∑∑(109p蛾一logP越+0．5一rg)2
‘=I』=I
+2A(∑删。一1)．
i=I令％≯-o，得4耋坠生甏掣蝴-o，整理后得
2∑(109∥i—logP吁+o．5一rF)+机1n卢=0，f=1，2，⋯，n，
从而
∑【∑20。gp埘；一logp哆+0．5一r口)+A埘tlnp】=0，
由性质1．1及∑嘶=1，得AlIIp=o，因p>1，从而A=o·解下面方程组
解得
一卢鸯缤卢培～，
(2．3)
3主要结论
从上面的讨论，我们得出以下结论．
结论1方案的优劣排序与底数卢，(卢>1)无关，只与方案对应模糊判断矩阵的行的所有元素和有
关，即方案的序关系由∑r#，i=1，2，⋯，n的大小决定的．(1．4)式同样说明这一点·
结论2权重
埘f-J9韬。／∑卢韬～，i=1“2一，凡，
是底数p，(卢>1)的函数，因而对于模糊判断矩阵R=(r口)。。。有一族权重矢量
形：{(州趴州趴⋯，“刚tk卢)：p镭r，佳p镭L”Ⅲ：1，2，⋯，n)．(3．1)
结论3不妨设埘；(p)>嘶(19)，则
器：萨(扣釉>1，
即
∑k一∑‰≥0
I=l I=1
n2=
O=r一￡J0+
O
§、
>
卢唱
撕
一
，
埘勖
=
O
；
n
彬
。∑川。∑㈨
万方数据
110 系统工程理论与实践 2006年9月
薏器善于卢是严格增函数，且恕薏器=∞，lpim。Il埘v，,I(p／3))-=l这说明可以通过增大卢的值提高方案优劣的
分辨率，当p很大时，某些权重值会趋向于零，不利于计算机处理．因此p的取值应根据决策者的偏好而
定．在这里需要纠正某些学者关于模糊层次分析法权重确定的观点，某些学者【酣往往以分辨率的大小及数
据比较实例说明确定权重的方法的优劣，现在看来是毫无科学根据的．参数卢起到调节权重分辨率的作
用．
结论4用模糊一致判断矩阵确定方案的权重，信息是不完善的．即模糊互补判断矩阵具有一致性，
文献E61对根据按行求和合归一化法给出的权重值nql
埘l_∑r谴／∑∑r#=÷∑¨i=l，2，⋯，n． (3．2)
产生疑问并通过考虑计算的复杂性及分辨率说明其提出的确定权重的方法优于其他确定权重的方法．本
文不敢苟同，本文的结论1回答文献[4]的疑问．随着现代计算机技术的发展，如此简单的计算权重值不需
要考虑计算的复杂性，这也就是说在模糊层次分析法的权重确定问题上，计算的复杂性不能作为衡量确定
r 0．5 0．2410．328-l
Rl=10．7590．5 0．5871．
L0．6720．4130．5J
取口=旦：}，分别按(1．4)、(3．2)式计算模糊一致矩阵R。的权重值，其计算结果分别为ttI“’=(0．1897
别取卢=e，p=e10及p=e∞(e为自然对数的底)：其计算结果分别为
tcJ(e)=(O．28710．37200．3409)’，
埘(elo)=(0．0502O．66940．2804)’，
本文提出新的确定模糊互补判断矩阵权重的方法，克服文献[4，5]的缺陷即当n很大时，权重的偏差
会很小，不利于分辩方案的序关系．同时指出用模糊一致判断矩阵确定方案的权重，信息是不完善的．即模
糊互补判断矩阵具有一致性，只能确定方案的序关系，不能确定方案的权重的大小，要确定方案的权重，必
须考虑参数卢的选择．参数卢是隐藏在决策过程决策者的偏好即决策者的分辨能力，这是模糊层次分析
法理论尚未提到的新发现，对模糊层次分析法的理论及应用具有重要的作用．
4从传统的层次分析法标度到模糊层次分析法标度的过渡
设有方案集A={A。，A：，⋯，A。}对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，方案A；(i=1，2，
⋯，／I．)与其它方案两两比较判断，其相对重要程度为口。(￡=1，2，⋯，n)，这样构造的n阶矩阵用以求解各
个方案关于某准则的优先权重称为判断矩阵，记为
A=(口F)。⋯ (4．1)
T．L．Saaty⋯引用l。9标度方法，其各级标度的含义如表I所示．
万方数据
第9期 模糊层次分析法权重研究
表1
标度 定义 ． 含义
l 同样重要 两方案对某属性同样重要
3 稍微重要 两方案对某属性，一方案比另一方案稍微重要
5 明显重要 两方案对某属性，一方案比另一方案明显重要
7 强烈重要 两方案对某属性，一方案比另一方案强烈重要
9 极端重要 两方案对某属性，一方案比另一方案极端重要
2，4，6，8 相邻标度中值 表示相邻两标度之间折衷时的标度
上列标度倒数 反比较 方案A；对方案^的标度为aF，反之为llaF
如何将传统层次分析法标度过渡到模糊层次分析法标度．取口≥81，令r#(口)=log。aF+0．5，则R=
(～(口))。。。是模糊互补判断矩阵．显然O≤～(口)≤1，且k(口)=0．5，～(口)+0(口)=1．取口≥81的目的
是保证o≤r0(口)≤1．相应其各级模糊标度的含义如表2所示．
表2
标度 定义 含义
0．5 同样重要 两方案对某属性同样重要
log．3+0．5 稍微重要 两方案对某属性，一方案比另一方案稍微重要
log．5+0．5 明显重要 两方案对某属性，一方案比另一方案明显重要
log。7+0．5 强烈重要 两方案对某属性，一方案比另一方案强烈重要
log。9+0．5 极端重要 两方案对某属性，一方案比另一方案极端重要
log,i+0．5，i=2，4，6，8相邻标度折衷值 表示相邻两标度之阔折衷时的标度
上列标度互补 互补 方案A；对方案Aj的标度为7#，反之为1—7i
定理4．1若A=．(ai)nx。是一致的正互反判断矩阵，则R=(k(口))。，．，(口耋81)是模糊一致判断矩
阵．这里～(口)=log。口#+0．5，a≥81．
证明 因为A=(口#)。。。是一致的正互反矩阵，所以a#=口谴，口庸，Vi，．『，后=1，2，⋯，n，
，茸(口)=log。8筝+O．5=log。(口让／％)+O．5
=(109。a谴+0．5)一(109。％+0．5)+0．5
=r业(口)一r矗(口)+0．5．
即R=(h(n))。。。是模糊一致判断矩阵．
上述构造的模糊互补判断矩阵的元素～可以表示方案A。比方案A，重要的隶属度，rg越大，方案A；比
方案A，越重要，～=0．5时表示方案A；和方案A，同等重要．例如取口=243，则相应其各级模糊标度的含
义如表3所示．
表3
标度 定义 含义
．
O．5 同样重要 两方案对某属性同样重要
0．7 稍微重要 两方案对某属性，一方案比另一方案稍微重要
O．弼130 明显重要 两方案对某属性，一方案比另一方案明显重要
0．8542 强烈重要 两方案对某属性，一方案比另一方案强烈重要
0．9 极端重要 两方案对某属性，一方案比另一方案极端重要
0．6262，0．7524，0．8262，0．8786相邻标度折衷值 表示相邻两标度之间折衷时的标度
上列标度互补 互补 方案At对方案^的标度为～，反之为1一ri
至于模糊标度值的大小依赖于决策者对口(口≥81)取值的选择，特别是limlog。髫=0，119z≤9．这样
口。●■
万方数据
112 系统工程理论与实践 2006年9月
一个具有一致性正互反判断矩阵A=(口#)。。。对应一族模糊一致性判断矩阵R=(rF(口))。。。，其中r口(a)
=log。aF+0．5，(口≥81)．
5小结
本文讨论模糊层次分析法权重的确定问题，提出了一族确定模糊互补判断矩阵的权重的方法，说明该
方法的合理性及一个模糊判断矩阵与一族权重相对应，得出四个重要的结论，其中结论4说明模糊互补判
断矩阵具有一致性，只能确定方案的序关系，不能确定方案权重的大小，要确定方案的优先权重，必须考虑
参数卢的选择即决策者对权重分辨能力．纠正人们在模糊层次分析法中某些错误的认识，给出传统标度
与模糊标度的转换方法．本文的主要目的是告诉人们，在用模糊层次分析法进行决策时，仅仅利用模糊互
补断矩阵的一致性去确定方案的权重信息不充分、不完善，这应该引起人们的注意．
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万方数据
模糊层次分析法权重研究
作者： 兰继斌， 徐扬， 霍良安， 刘家忠， LAN Ji-bin， XU Yang， HUO Liang-an， LIU Jia-
zhong
作者单位： 兰继斌,LAN Ji-bin(西南交通大学经济管理学院,成都,610031;广西大学数学与信息科学学
院,南宁,530004)， 徐扬,刘家忠,XU Yang,LIU Jia-zhong(西南交通大学经济管理学院,成
都,610031)， 霍良安,HUO Liang-an(广西大学数学与信息科学学院,南宁,530004)
刊名： 系统工程理论与实践
英文刊名： SYSTEMS ENGINEERING-THEORY & PRACTICE
年，卷(期)： 2006,26(9)
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