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7-7nullnull§7-7 应力与应变间的关系一、单向应力状态下应力与应变的关系横向线应变与纵向线应变成正比，比值为泊松比γ，而符号相反。E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.null二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系或G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.null（1）符号规定1、各向同性材料的广义胡克定律(a)三个正应力分量：拉应力为正压应力为负。三、复杂应力状态下应力与应变的关系null(b)三个剪应...

nullnull§7-7 应力与应变间的关系一、单向应力状态下应力与应变的关系横向线应变与纵向线应变成正比，比值为泊松比γ，而符号相反。E 为材料的弹性模量，单位为N/m2.null二、纯剪切应力状态下应力与应变的关系或G 为剪切弹性模量，单位为N/m2.null（1）符号规定1、各向同性材料的广义胡克定律(a)三个正应力分量：拉应力为正压应力为负。三、复杂应力状态下应力与应变的关系null(b)三个剪应力分量: 若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴正向一致, 或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上剪应力矢的指向与坐标轴负向一致，则该剪应力为正, 反之为负。图中表示的均为正方向null 线应变: 以伸长为正, 缩短为负。剪应变: 使直角减小者为正, 增大者为负。 xOy  yOz zox 。null 在x y z 分别单独存在时, x 方向的线应变 x 依次为:2、各向同性材料的广义胡克定律(1)线应变的推导null在x y z同时存在时, x方向的线应变x为在x y z同时存在时, y,z方向的线应变为null剪应变 xy , yz ,zx与剪应力xy ,yz ,zx之间的关系为(2)剪应变的推导nullnull3、特例（1）平面应力状态下(假设 Z = 0 )null（2）广义胡克定律用主应力和主应变表示时三向应力状态下：(7-7-6)null平面应力状态下设  3 = 0, 则null材料的三个弹性常数E, G, 间存在如下关系:nullnull解：由于构件自由表面，所以主应力2=0。?? 所以该点为平面应力状态。由解得null该点处另一主应变2的数值为2是缩短的主应变，其方向必与1和3垂直，即沿构件的外法线方向。null四、各向同性材料的体积应变（2）各向同性材料在空间应力状态下的体积应变（1）概念:构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示。 null 设单元体的三对平面为主平面, 其三个边长为d x, d y, d z 变形后的边长分别为 d x(1+ , d y(1+2 , d z(1+3 , 因此变形后单元体的体积为:2d znull体积应变为null将广义胡克定律代入得null 在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变x ，y， z有关。仿照上述推导有null在平面纯剪切应力状态下：代入得可见，材料的体积应变等于零。即在小变形下，剪应力不引起各向同性材料的体积改变。null例题7-7 边长 a = 0.1m 的铜立方块, 无间隙地放入体积较大, 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示。已知铜的弹性模量 E=100GPa, 泊松比 =0.34, 当受到P=300kN 的均布压力作用时, 求该铜块的主应力. 体积应变以及最大剪应力。 aaaPyxznull解：铜块上截面上的压应力为yy由null解得铜块的主应力为null体积应变和最大剪应力分别为null例题9-8 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为 m 的扭转力偶,如图所示已知圆筒材料的弹性模量为 E = 200GPa 和  = 0.3 ,若该圆筒的变形在弹性范围内,且 max = 80MPa , 试求k点处的线应变 x ,y 以及变形后的筒壁厚度。 nullDtxymk可求得:解: 从圆筒表面 k 点处取出单元体, 其各面上的应力分量如图所示nullk点处的线应变 x , y 为null圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为同理可得,圆筒中任一点 (该点到圆筒横截面中心的距离为) 处的径向应变为

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