自回归滑动平均模型

自回归滑动平均模型 2.3 自回归滑动平均模型一自回归滑动平均模型概念 1. 自回归滑动平均模型定义定义2.3.1 设为时间序列 } 2, 1, ,0 ,{ L±±=txt } 2, 1, ,0 ,{ L±±=ttε 为白噪声序列且满足条件 0 =<∀ tsExts ε 则称满足等式 qtqttptpttt xxxx −−−−− −−−++++= εβεβεααα LL 112211 2.3.1 的时间序列为 p阶自回归与 q阶滑动平均混合模...

2.3 自回归滑动平均模型一自回归滑动平均模型概念 1. 自回归滑动平均模型定义定义2.3.1 设为时间序列 } 2, 1, ,0 ,{ L±±=txt } 2, 1, ,0 ,{ L±±=ttε 为白噪声序列且满足条件 0 =<∀ tsExts ε 则称满足等式 qtqttptpttt xxxx −−−−− −−−++++= εβεβεααα LL 112211 2.3.1 的时间序列为 p阶自回归与 q阶滑动平均混合模型 } 2, 1, ,0 ,{ L±±=txt 简记为 ) ,( qpARMA Autoregression and Moving Average 记其系数多项式为 ppuuuu αααα −−−−= L2211)( qquuuu ββββ −−−−= L2211)( 且与无公共根)(uα )(uβ 则 2.3.1 式用算子与表示为 )(Bα )(Bβ tt BxB εβα )()( = 2.3.2 当与的根都在单位圆外时0)( =uα 0)( =uβ 我们称 2.3.1 式为平稳可逆的模型) ,( qpARMA 相应的解称为平稳可逆的序列 }{ tx ) ,( qpARMA 若时µ=tEx 则亦满足}{ µ−tx 2.3.1 式仍为平稳可逆序列 ) ,( qpARMA 故下文中仍主要讨论中心化情况 2. 模型的传递与逆转形式 ) ,( qpARMA 设模型为 ) ,( qpARMA qtqttptpttt xxxx −−−−− −−−++++= εβεβεααα LL 112211 15 即 tt BxB εβα )()( = 1 tt BxB εβα )()( = 的传递形式为 L,2,1,0 0 ±±== ∑∞ = − tx j jtjt εψ 2.3.3 其中 1 , )()()( 0 0 1 === ∑∞ = − ψψβαψ j j juuuu 这因为 tt BxB εβα )()( = 故有 tt BBx εβα )()(1−= ∑∑ ∞ = − ∞ = == 00 j jtj j t j j B εψεψ 1 , 0 1 =+= ∑∞ = − ψεψε j jtjt 易见为模型}{ tx )(+∞MA 其中系数 jψ 满足与类似的性质)(pAR 即 ∋∃ ,, 21 CC jCj eC 21|| −≤ψ 可验证 2.3.3 为 2.3.1 的解 }{ tx 为平稳线性序列事实上由 )(uψ 定义可知 )()()( uuu βψα = 即易见时 )1()1)(1( 221 2 21 2 21 q q p p uuuuuuuu βββψψααα −−−−=+++−−−− LLL qk > ku 的系数为 0 故有 02211 =−−−− −−− pkpkkk ψαψαψαψ L 式中约定 )0( 0 <= kkψ 16 记 0=kβ 当或时0 10 −=β 则 )(uψ 的定义写为下列形式 LL 1, ,0 2211 =−=−−−− −−− kkpkpkkk βψαψαψαψ 即 kkB βψα −=)( 从而由知 ∑∞ = −= 0j jtjtx εψ ) 2, 1, ,0 ( L±±=t ptptttt xxxxxB −−− −−−−= αααα L2211)( ∑∑∑∑ ∞ = −− ∞ = −− ∞ = −− ∞ = − −−−−= 00 22 0 11 0 j jptjp j jtj j jtj j jtj εψαεψαεψαεψ L ∑∑∑∑ ∞ = −− ∞ = −− ∞ = −− ∞ = − −−−−= pj jtpjp j jtj j jtj j jtj εψαεψαεψαεψ L 2 22 1 11 0 ∑∞ = −−−− −−−−=< 0 2211 )( 0 ,0 j jtpjpjjjkk εψαϕαϕαψψ L 且 , 当时 ,1( 0 0 −=−= ∑∞ = − βεβ j jtj 0=jβ qj > qtqttt −−− −−−−= εβεβεβε L2211 tB εβ )(= 此即说明满足等式 ∑∞ = −= 0j jtjtx εψ tt BxB εβα )()( = 2 tt BxB εβα )()( = 的逆转形式为 ∑∞ = −= 0j jtjt xϕε 2.3.4 其中 kϕ 满足下式 17 ⎩⎨ ⎧ >< ≤≤−=−−−− −−− pkk pkk qkqkkk 或00 1 2211 αϕβϕβϕβϕ L 易见为模型}{ tx )(+∞AR 因为 tt BxB εβα )()( = 故有 ttt xBxBB )()()( 1 ϕαβε == − ∑∑ ∞ = − ∞ = == 00 j jtj j t j j xxB ϕϕ ∑∞ = −+= 1j jtjt xx ϕ 其中 )()()( 1 0 BBBB j j j αβϕ − ∞ = =ϕ= ∑ 10 =ϕ 类似的系数亦应满足条件jϕ ∃实数 ∋,, 21 CC 0 || 21 ≥≤ − jeC jCjϕ 由 ∑∞ = − = 0 1 )()( j j juuu ϕαβ 即 ∑∞ = ϕ== 0 )()()()( j j juuuuu βϕβα 即显见 )1)(1(1 221 2 21 2 21 LLL +ϕ+ϕ+−−−−=−−−− uuuuuuuu qqpp βββααα 时pk > ku 的系数为 0 即 02211 =−−−− −−− qkqkkk ϕβϕβϕβϕ L 当 0,0 =< kk ϕ 约定当或时0 0=kα 10 −=α 18 于是由可得 )()()( uuu ϕβα = kkB αϕβ −=)( ⎩⎨ ⎧ >< ≤≤−=−−−− −−− pkk pkk qkqkkk 或00 1 2211 αϕβϕβϕβϕ L 二 ) ,( qpARMA 序列的自协方差函数 1 ) ,( qpARMA 序列的自协方差函数若为序列}{ tx ) ,( qpAMRA 其模型为 tt BxB εβα )()( = 则序列的自协方差函数为 ) ,( qpARMA ∑∞ = += 0 2 j kjjk ψψσγ 2.3.5 因为若为序列 }{ tx ) ,( qpAMRA tt BxB εβα )()( = 则由其传递形式 ),2,1,0( 0 L±±== ∑∞ = − tx j jtjt εψ 与自协方差的定义可得 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== ∑∑ ∞ = −+ ∞ = −+ 00 )( i ikti j jtjkttk ExxE εψεψγ )( 0 0 iktjt j i ij E −+− ∞ = ∞ = ∑∑= εεψψ ∑∞ = += 0 2 j kjjψψσ 可见直接计算序列的自协方差函数是比较困难的) ,( qpARMA 通常利用模型参数建立相应的差分方程式进行递推计算 2 自协方差函数的差分方程计算法由序列模型 ) ,( qpARMA qtqtttptpttt xxxx −−−−−− −−−−++++= εβεβεβεααα LL 22112211 可知对于的正整数qk > 以同乘上式两端ktx − 再求数学期望 19 且注意 0=st xEε )( ts < 可得 pkpkkk −−− +++= γαγαγαγ L2211 qk > 2.3.6 即有 qkB k >= 0)( γα 当参数已知时 , , , 21 pααα L 令 ptptttt xxxxBy −− −−−== ααα L11)( 则 2.3.1 式为 tqtqtttt By εβεβεβεβε )(2211 =−−−−= −−− L 2.3.7 由 2.3.7 知此序列为列}{ ty )(qMA 记其自协方差函数为 )(ykγ 由前节结果知 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤+− =+ = ∑ ∑ − = + = qk qk k y kq i kiik q j j k 0 1 )( 0 )1( )( 1 2 1 22 βββσ βσ γ 又由得其协方差函数为 tt xBy )(α= [ ]kttkttk xBxBEyyEy −− ⋅== )()()()( ααγ )})({( 22112211 pktpktktktptpttt xxxxxxxxE −−−−−−−−−− −−−−−−−−= αααααα LL ∑∑∑∑ = = +− = + = − +−−= p i p j kjiji p j jkj p j jkjk 1 111 γααγαγαγ 记时10 −=α 上式可写为 20 ∑∑ = = +−= p i p j kjijik y 0 0 )( γααγ 2.3.8 易见 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤≤+− =+ = ∑ ∑ ∑∑ − = + = = = +− qk qk k kq i kiik q j j p i p j kjiji 0 1 )( 0 )1( 1 2 1 22 0 0 βββσ βσ γαα 2.3.9 此等式描述了与的依赖关系),,, , , , ,( 2121 σββααα qp LL }{ kγ 故在参数已知的条件下2121 ,,, , , , , σββααα qp LL 可以通过 2.3.9 式递推计算出序列的自协方差函数) ,( qpARMA 同时因为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++= +++= +++= −+−++ +−++ +−−+ qppqpqpq pqpqqq pqpqqq γαγαγαγ γαγαγαγ γαγαγαγ L LL L L 2211 22112 11211 2.3.10 描述了与的依赖关系) , , ,( 21 pααα L }{ kγ 故若已知某模型序列的自协方差函数列时 ) ,( qpARMA }{ kγ 由 2.3.10 可以确定参数 pααα , , , 21 L 再据 2.3.9 式确定参数 21 ,,, σββ qL 三 ) ,( qpAMRA 序列的平稳域可逆域与允许域设为序列}{ tx ) ,( qpAMRA 其模型为 tt BxB εβα )()( = 则有 1 平稳域 0)( =uα 的根在单位圆外与平稳域相同)(pAR 21 2 可逆域 0)( =uβ 的根在单位圆外与可逆域相同)(qMA 3 允许域满足上述 2.3.8 2.3.9 与 2.3.10 的类似式的自相关函数 ( 的所有取值集合为的允许域) , , , 21 qp+ρρρ L ) ,( qpARMA 例 2.3.1 试讨论模型 )1 ,1(ARMA 11 −− −+= tttt xx βεεα 即 tt BxB εβα )1()1( −=− 的平稳域可逆域与允许域 tt BxB εβα )1()1( −=− 传递形式逆转形式与自协方差函数其中为白噪声列}{ tε 解 tt BxB εβα )1()1( −=− 的 1 平稳域为 }1|||{ <αα 即 }11|{ <<− αα 2 可逆域为 }1|||{ <ββ 即 }11|{ <<− ββ 3 平稳可逆域为 }1||,1|||),{( << βαβα 见下图 1 1 -1 -1 α β 4 tt BxB εβα )1()1( −=− 传递形式为 tt BBx εβα )1()1( 1 −−= − t j j BB εβα )1()( 0 −=∑∞ = t jj j jj BB εβαα )( 1 0 +∞ = −=∑ ∑∑ ∞ = +∞ = −= 0 1 0 j t jj j t jj BB εαβεα 22 ∑∑ ∞ = −∞ = −= 1 1 0 j t jj j t jj BB εαβεα ∑∑ ∞ = −∞ = −+= 1 1 1 j t jj j t jj t BB εαβεαε t jj j jj t BB εβααε )( 1 1 −∞ = −+= ∑ jtj j j t − −∞ = −+= ∑ εβααε )( 1 1 jt j j t − ∞ = − −+= ∑ εβααε )( 1 1 jt j j − ∞ = ∑= εψ 0 即 j j j BBBB )(1)()1()1( 1 11 βααψβα −+==−− ∑∞ = −− 其中 L,2,1),(,1 10 =−== − jjj βααψψ 5 tt BxB εβα )1()1( −=− 的逆转形式将上式中与位置互换)1( Bα− )1( Bβ− 即得 jt j j tt xx − ∞ = − −+= ∑ )( 1 1 αββε 其中 j j j BBBB )(1)()1()1( 1 11 αββϕαβ −+==−− ∑∞ = −− ∑∞ = = 0j j j Bϕ 故其系数为 L,2,1),(,1 10 =−== − jjj αββϕϕ 6 自协方差函数与允许域由 2.3.10 得 12 αγγ = 得 1 2 1 2 ρ ρ γ γα == 再由 2.3.6 1 1 >= − kkk αγγ 得 11 1 2 1 1 2 2 1 )( γγ γγαγααγγ −−−− ===== kkkkk L kk −−= 2112 γγ 1>k 故此由与唯一确定}{ kγ 10 , γγ 2γ 即 )1(2112 >= −− kkkk γγγ 再由 2.3.9 当代入即得 1== qp 23 kkkkk y γααγαγγγ 211)( +−−= +− )()1( 11 2 +− +−+= kkk γγαγα 即 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ =− =+ =+−+ +− 2 0 1 0 )1( )()1( 2 22 11 2 k k k kkk βσ βσ γγαγα 即 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥=+−+ −=+−+ +=+−+ +− − )2(0)()1( )()1( )1()()1( 11 2 2 201 2 22 110 2 k r kkk γγαγα βσγγαγα βσγαγα 将代入上式即得 12 /γγα = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=− +=−+ βσγγγγ βσγγγγ 2 1 2 120 22 20 2 1 2 2 )/1( )1(2)/1( 解得 2 2 1 2 2 1 2 12 20 2 1 2 2 1 2 120 2 2)/1( )1( 2)/1( )/1( 1 ρρρ ρρρ γγγγ γγγγ β β −+ −=−+ −=+ − − 2 12 2 2 2 1 12 3 1 2 ρρρρ ρρρ −+ −= 从中解出β 代入前式解出 2σ 则 2 σβα 均可表示为 210 γγγ 的函数当 | 且时满足条件 1|<α 1|| <β ) ,( 21 ρρ 当时01 >ρ )12( 112 −> ρρρ 且 |||| 12 ρρ < 当时01 <ρ )12( 112 +> ρρρ 且 |||| 12 ρρ < 24 的的集合即为此的允许域 ) ,( 21 ρρ )1 ,1(ARMA -1 1 1 ρ1 ρ2 四模型分类性质一览表 ) ,( qpARMA 类别序列 AR(p)序列 MA(q) 序列 ARMA(p,q) 序列差分方程 ttxB εα =)( tt Bx εβ )(= tt BxB εβα )()( = 平稳性 1,0)( ≤≠ uuα 无条件 1,0)( ≤≠ uuα 可逆性无条件 1,0)( ≤≠ uuβ 1,0)( ≤≠ uuβ 传递形式 tt Bx εα )(1−= tt Bx εβ )(= tt BBx εβα )()(1−= 逆转形式 tt xB)(αε = tt xB)(1−= βε tt xBB )()(1 αβε −= 自相关系数函数拖尾截尾拖尾 25 偏相关系数函数截尾拖尾拖尾谱密度 πλπ απ σλ λ ≤≤− = −− 2 2 )( 2 )( ix eS πλπ βπ σλ λ ≤≤− = − 2 2 )( 2 )( ix eS πλπ α β π σλ λ λ ≤≤− = − − 22 )( )( 2 )( i i x e eS 26

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