滑动平均模型与自回归滑动平均模型

概率 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 若平稳序列 的自协方差函数 . 则称 是 步相关的. (或自相关系数 ) 滑动平均模型: 步相关 基本问题: 模型参数 §3.1 滑动平均模型 例1.1化学试验中197个溶液浓度数据(见附录B8). 做一次差分: . 则 , 及 : 自相关系数图如右. , 故认 是一步相关的. 用模型MA(1)表示 , 参数 由 求得: . 1. MA(q)模型和MA(q)序列 定义1.1 MA(q)模型= 阶滑动模型: (*) 其中 , , , 由此, 平稳 称为MA(q)序列. 若 , 则称(*)为可逆的MA(q)模型, 相应的平稳序列称为可逆的MA(q)序列. 利用 , (*)可写成: 对可逆的MA(q)模型: 从而可得 另外引入 , 易得 定理1.1 MA(q)序列的自协方差函数是截尾的 且有谱密度 . 证略. 引理1.2 设 , 则有惟一实系数多项 , . 使得 , 这里 为某常数.(证超) 定理1.3 设 零均值, 自协方差 , 则 是MA(q)序列 . 证 必要性, 由定理1.1给 出. 充分性, 证略. *2. 最小序列 直观上: 零均值平稳序列 中每一 都重要, 缺一不可, 即 生成空间 生成空间. 若某个 退化(有部分相关的), 则不是最小序列. *定理1.4(见[7]) 设平稳序列 有谱密度 , 则 是最小序列的 . 由此可得: 可逆的MA(q)序列是最小序列. 不可逆的MA(q)序列不是最小序列. 另外 任何AR(q)序列都是最小序列; 任何有谱密度的平稳序列, 若其谱密度连续恒正, 则此序列为最小序列. 3. MA(q)模型举例 例1.2 , , , 则不难得: ; 自相关系数: 谱密度: (注:逆转后 偏相关系数不截尾); 逆转形式 取 ,谱密度如右 例1.3 可逆MA(2)模型 , , 特征多项式: (1) 可逆域 与AR(2)的平稳域对应. (2) 自协方差函数(由 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 可得) , , , (3) 自相关系数 , , (4) 谱密度 . 实例 , . 4. 由 确定MA(q)系数的递推计算 文[5]给出. , 其中 . 若取 , 则有 , , 假设已知 , 则 (1) 构造 ; (2) 计算 , 取较大的 ; (3) 计算 . 6 12 20 30 40 51 -0.3367 -0.3527 -0.3587 -0.3597 -0.3599 -0.3600 0.7515 0.8234 0.8421 0.8487 0.8497 0.8500 4.5243 4.1292 4.0374 4.0062 4.0014 4.0002 实际是: §3.2 自回归滑动平均(ARMA)模型 1. ARMA(p,q)模型及其平稳解 定义2.1自回归滑动平均模型=ARMA(p,q)模型 (**) 其中 , 和 , 其解称为平稳解或ARMA(p,q)序列, 用 , 则有 由稳定条件, , 有 而后定义: ,故 (+) 是一个平稳解, 其中的 称 的Wold系数. 由差分理论知: 其中 是平稳解; 为 的互异根; 重数分别为 , 变量 , 由值 确定. 类似AR(p)讨论, 有 定理2.1 由(+)定义的解是ARIMA(p,d,q)模型惟一平稳解. 因为 充分大后, 有 . 产生ARMA(p,q)序列 的方法(实际问题1) 1) 取初值 ; 2) 足够多 ; 3) 取后面 . 基本上就是ARMA(p,q)序列了. 2. ARMA(p,q)序列自协方差函数(实际问题2) 由(+)式, 可得 Wold系数递推: 其中规定 . 证 补 , 则 . 比两边系数得 , , 且由 负指数阶 , 可得 也是以负指数阶趋于零. 3. ARMA(p,q)模型的可识别性 模型参数可识别性, 要求 与 无公因子. 引理2.2 设 是(**)的平稳解. 若又有白噪声 和 , 使得 则 的阶数 , 的阶数 (不证). 同样应有 . 补 ,记 , 在(**)两边乘 , 再E 即 从而得到延伸的Yule-Walker方程: 上述矩阵记为 , (1) 若 可逆, 则可定出 (2) 令 是MA(q)序列 它的 是 后截尾的, 对 , 有 写矩阵形式为 其中 . 由§3.1知, 可惟一确定出 和 . 故只要 可逆, 与 互相确定. 定理2.3(见[6]) 设 为ARMA(p,q)序列 的自协方差函数列, 则 时, 可逆. (证略) 定理2.4 设平稳序列 有自协方差函数 . 又设 使得 (1) ; (2) 则 是一个ARMA 序列( ). 4. ARMA序列的谱密度和可逆性 因ARMA序列的 是绝对可和的, 所以有 . 称为有理谱密度. 定义2.2 可逆的ARMA模型, 若 . 可逆的ARMA(p,q)序列是最小序列. 对于可逆的ARMA(p,q)模型, 有 从而可得 表明序列 与噪声 相互线性表示. 例2.1 设 是标准正态白噪声.模型ARMA(4,2). , , 的根 的两根为2.3252和1.0752. 有关图如下. 利用本节2.11和2.10得 例2.2 利用 的前5个值, 建ARMA(2,2)模型. 这里 , (1) 由延伸的Yule-Walker方程, 得 (2) 由 , 求出 . (3) 由 , 其中 , 求出 . (4) 写出模型 , 的根: . 均在单 的根: . 位圆外 §3.3* 广义ARMA模型和ARIMA(p,d,q)模型介绍 1. 广义ARMA模型 , (#) 只设 与 ( )互质. 广义ARMA序列: 满足(#)的 (给初值 后, 递推得) 若 在 上有根, 则(#)无平稳解; 若 在 上无根, 则有 , 使 在圆环: 内解析, 故有 是负指数阶收敛到0, 故可定义 由此得平稳解 若 在 内有根, 则 是 的双边无限滑动, 与 有关, 无实际意义. 数学上模拟时, 数值加速振荡, 称为爆炸模型. 2. 求和ARIMA(p,d,q)模型 思想: (1) 对数据进行适当 次差分; (2) 拟合成ARMA(p,q)模型. 即若有 , 使 , 是一个ARMA (p,q) 序列, 则称序列 是一个 求和ARIMA (p,d,q) 序列. 即 满足: 其中 满足ARMA(p,q)模型的条件. 例3.1 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 : 求和ARIMA(p,1,q)序列 . 是ARMA(p,q)序列 给 后, 推得 设 为例2.1中ARMA(4,2)序列, 分别取数据60和600如图,表明求和ARIMA(4,1,2) 非平稳性. 例3.2 分析: 求和ARIMA(p,2,q)序列 . 是ARMA(p,q)序列, 给 后, 推得 两边对 求和, 得 , 整理为 , 两边再对 求和, 得 这是对ARMA序列 的两重求和. 由差分方程解理论, 得通解为 一般 . 同样对例2.1进行 仿真(60个), 得 ARIMA(4,2,2)序 列明显不是一个 平稳序列. 实际问题中, 许多数据经一次或二次差分后, 常是一个平稳序列, 然后, 再拟合建ARMA(p,q)模型. 3. 单位根过程 单位根模型=ARIMA(p,1,q)模型. (视 为新 ) 例3.1表明: 一般 用有限较少数据, 难 于区分ARMA(p,q)与 ARIMA(p,1,q)模型. 如右图 用600个数据难分, 6000个才较明显. 金融领域中, 带线性趋势的(广义)ARMA(p,q)模型 (其中 是ARMA(p,q)序列) 一次差分: 后也是平稳序列 但若ARIMA(p,1,q), 去掉任何趋势项, 仍不为平稳. 这3种模型: ARMA(p,q), ARIMA(p,1,q), 带线性趋势的ARMA(p,q)模型, 用较少数据, 较难分辨. 理论上区别方法, 设 是可逆的ARMA(p,q)序列, 若 是单位根序列, 则 的谱密度 满足 而若 是带线性趋势的ARMA序列, 则差分 后的谱密度 满足 4. 平稳ARIMA(0,d,0)模型 因ARMA(p,q)序列的 , 故人称ARMA(p,q) 序列是短记忆的(经济中: 常用中长预测). 比其略“慢一点”的, 就称为长记忆序列. 定义:长记忆序列 : 若 . (记 , ) 下面简介这类模型. 对于 , 有Taylor展开 其中 , 能证 , 平方可和, 故可定义 , 且为模型 的惟一平稳解. 此类模型就称为:ARIMA(0,d,0)模型 谱密度: 自协方差函数 故 是长记忆序列. 易得 (中长记忆序列) ( 慢,记忆更长) 利用Levinson递推公式和归纳法得 的 阶偏相关系数 (估 ). 例3.3 ARIMA(0,0.3,0)与ARIMA(0,-0.3,0)谱密度图. 5. 平稳ARIMA(p,d,q)模型 更为一般的长记忆序列. 极略 设 , 是平稳序列. 若 是满足可逆ARMA(p,q)的序列, 则 满足ARIMA(p,d,q)模型 .