概率 第二章 自回归模型 §2.1 推移算子和常系数差分方程 §2.2 自回归模型及其平稳性 §2.3 AR(p)序列的谱密度和Yule-Walker方程 §2.4 平稳序列的偏相关系数和Levinson递推公式 §2.5 AR(p)序列举例 §2.1 推移算子和常系数差分方程 1. 时间 的向后推移算子 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) 若 , 则 ; (5) 设 , 则 (6) 对 和随机变量 , 有 2. 常系数齐次线性差分方程(现在过去式) (*) 称为 阶~, 其中 .(首 尾 0) 给 个初值 , 利用递推, 即可求解. 令 (称为特征多项), 则(*)可写成 . 设 有因式分解: 互不相同, 则差分方程的通解: 其中的 可由 惟一确定. 此时也可称为特解. 例 对于 , 令 得特征根 (单位圆外或模>1), 则 的通解为: 以负指数收敛到零. 对于 , 特征值: , 在单位圆上, 的通解为 有界列 对于 , 特征值: , 在单位圆内, 的通解为 无界列, 暂归结为: 对如此的 (1) 若 的所有特征值皆在单位外, 则其解是负指数收敛的; (2) 若 的所有特征值在单位外, 或在单位圆上, 且在单位圆上的仅是单根, 则其解为有界列; (3) 若 有一特征值在单位内, 则其解是无界列. 3. 非齐次线性差分方程 (**) 则其通解为: , 其中 是(**)的一个特解, 是对应齐次线性差分方程的通解. §2.2 自回归模型及其平稳性(Auto Regression) 单摆运动: (***), 当 , 系统称为稳定; 其它称为非稳定 其特征多项式为 , 特征根 在单位圆外: . 另一方面: 当 时, 易证 , 是(***)的解( ), 称为平稳解. 其方差为 , 也可看出当 时, 单摆的稳定性好. 系统(***)的通解 当 时, 稳定于平稳解 . 定义2.1 一个 阶自回归模型, 简称AR(p)模型: 其中: ( )根均在单位圆外, , 由此 称解得的平稳时间序列为: 平稳解或AR(p)序列; 称 为: AR(p)模型的自回归系数; AR(p)要点:特征值圆外↔系统稳定↔解平稳↔图平稳 (注:有些教材: 圆内=稳定, 即 换成 ) 称 为: 稳定性条件; 或 最小相位条件. 称 为: AR(p)模型的特征多项式; AR(p)模型也可写成: . 设 是 的互异根; 为: ; 则 在 内解析,从而有级数展开 , 其中的系数 称为平稳序列 的Wold系数. 定义 , 从而 是AR(p)序列. 定理2.1 (不证) (1) 是AR(p)的惟一平稳解; (2) AR(p)模型的通解形式为 其中 Wold系数: 设 , 比较两头系数, 得 即 ; ; ; ; 利用白噪声 和AR(p)模型的自回归系数 产生AR(p)序列的方法: 取初值 ; 产生足够多的 ; 取最后一部分 . 一般取 , 后面的 基本上就是AR(p)序列了. 例如 . 在M中, 令p=[-0.06 0.15 -0.23 -0.35 1]; r=roots(p); 得 -1.5854, 1.2047 + 2.1957i, 1.2047 - 2.1957i,1.6761 反之, 由 r=[-1.5854 1.2047 + 2.1957i 1.2047 - 2.1957i 1.6761]; p=poly(r); 得 p = 1.0000 -2.500 3.8336 5.8336 -16.6676 §2.3 AR(p)序列的谱密度和Yule-Walker方程 1. AR(p)序列的谱密度 设 是 的平稳解, 则有 , 及 且具有负指阶数收敛性 ,称为短记忆性. 其中 常数, . (由7.4得) 由 、 以及公式 , 得 谱密度: . 是 的偶函数, 还可由 体现出来, 即 定理3.1 若 的 绝对可和, 则有 , 且由 是 的偶函数, 得 . 证 因为 注: 此式也是计算 的一种方法. 非负性证明略. 推论3.2: . 2. Yule-Walker方程 首先, 有 , . 实意明确. 取 , 由 模型, 总可以写得 其中 , 两边同乘 , 并取数学期望E, 得 , . 其中 和 由此可得 另推得 应满足 . 定理3.3(Yule-Walker方程) 的 应满足 , , . 推论 的 应满足 对 , 由Y-W直得, 对 证略. 3. 自协方差函数的周期性(略) 下面举例说明接近 特征根的影响. 例3.1 模型一: 的复根为 因 在 上变化时, 在单位圆上, 故当 或 时, 较小, 故 出现峰值, 如下左图. 如下右图. 模型二、三的根分别为 ; 略运离 , 故 平一点, 但 衰减更快. 如 体现为AR(p)更具平稳性. 一个实用的例子, 汽车大修. 1) 对汽车的噪声采样; 2) 拟合AR(p)模型, 得 ; 3) 求出 的根; 此后有三种判别法: 若根较靠近 , 则要大修; 或求出 ,作出图象上峰值较大, 则要大修; 或由噪声采样, 求出 , 曲线有周期性, 则要大修. 4. 自协方差函数的正定性 Yule-Walker方程中, 若 正定, 则直接估计参数 , . 定理3.5 设 是平稳序列 的协方差矩阵, (1) 若谱密度 存在, 则对 , 正定; (2) 若当 时, , 则对 , 正定. 推论: 线性平稳序列的自协方差矩阵总是正定的. (因线性~的 ). 5. 时间序列的可完全预测性 设 方差有限,若有不全为0的 ,使 , 则称 线性相关, 否则称为线性无关. 注: 本质与§1.2一致. 若 , 则称 可由 完全线性预测. 设 是线性平稳序列, 则对 线性无关, 所以对 , 不能由 完全线性预测. (注 完全不可预测) 小结:
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