§1.6 极限运算法则
极限语言只能证明极限，不能求极限。对于简单函数的极限问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，可以先用观察法看出其
极限，再用极限语言加以证明，但对于一些形式复杂的函数，就不太容易观察出它的极限。
因此，研究函数极限的运算法则，便十分的必要。
【声明】
1、在下面的讨论中，只给出函数极限的运算法则，这些法则可相应地移植到数列极限。
2、在下面的讨论中，若 下面未标明自变量的变化趋势，表明对 及 均成立
的。
【定理一】有限个无穷小之和仍是无穷小。
【证明】考虑两个无穷小之和的情形。
设 及 均是当 时无穷小， 而 。
依无穷小的定义， 有:
只要取 ，有
这表明 是当 时的无穷小。
必须指出: 无限个无穷小之和不一定是无穷小。
【定理二】有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
【证明】设函数 在 的某一邻域 内有界
设 是当 时的无穷小。
下面证明 是 时的无穷小
依函数有界的定义，有:
依无穷小的定义， 有:
取 ， 从而
这表明， 是 时的无穷小。
【推论一】常数与无穷小的乘积是无穷小。
【推论二】有限个无穷小的乘积是无穷小。
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有一个问题: 无限多个无穷小的乘积是否为无穷小呢?
表面上，这一问题的答案是显然的，即:是无穷小。 其实却不然，因为无限多个数的乘
法并没有定义。即: 我们并不会作无限多个数的乘法运算。
【定理三】(极限运算的分配律)
若 ， ，则 存在，且
。
【证明】因 ， ， 由极限存在与无穷小的关系定理有:
( 是无穷小 )
于是
由定理1， 是无穷小;
由定理2的推论1， 是无穷小，
再由定理1， 是无穷小;
总之， 是无穷小。
利用极限与无穷小的关系有
高等数学中还有许多类似的性质，为此，我们对这一性质专门给出几点注解。
(1)、 和 均存在，则 存在。
(2)、若 存在， 不存在，则 不存在。
【反证法】记 ， 假设 存在
而 或
由于 与 均存在，据【定理三】有:
亦存在。 这与条件产生矛盾，故 不存在。
(3)、 与 均不存在， 则 可能存在， 也可能不存在。
【反例】设 ， ，显然， 与 均不存在
但是 存在，
而 不存在
【定理四】
若 ， ，则 存在，且
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。
定理四也有与定理三完全相同的四点注解，它还有两个重要的推论。
【推论一】
若 存在， 为常数， 则 。
【推论二】
若 存在， 为正整数，则 。
【定理五】
若 ， ，且 ，则 存在，且
对商的极限运算法则， 应注意条件:
(1)、极限 均存在。
(2)、作分母的函数 的极限 。
当这两个条件中有一个不满足时， 不可使用商的极限运算法则。 这一点在初学时很容
易被忽视。
【定理六】
如果 ， 而 、 ， 则 。
【证明】 作函数 ， 且 。
由极限的保号性有: ， 即
故 。
必须指出：即使不等式 严格成立， 结论仍然是 ，不可以认为是
。
例如： 、 表示圆的内接、外接正n边形的面积， 而 表示圆的面积。
显然， ，但 。
运用上述结论，可帮助我们求大量的函数极限，大大地提高了求极限的能力，也避免了
使用繁冗复杂的极限语言。当然，这些结论的获得得益于极限的精确语言。
首先，我们证明一个最基础，也最有用的结论:
设 是任意实数，则
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【例1】
此极限可作一般性的推广：
【例2】
可对此例作一般性的推广:
设 是有理分式函数， 与 为 的多项式，若
， 则 。
【证明】由定理5与例1， 有
【例3】 求
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【例4】
对于有理分式函数 ，当 时，不能使用商的极限法则来求极限
。例题三、例题四给出了解这类问题的两种基本方法：
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