极限 第三章 一元积分学 第一节 不定积分 本节基本内容有：原函数及不定积分的概念，不定积分的计算。重点是掌握不定积分的计算。不定积分的计算方法大致可分为基本方法和特殊方法。 （1）基本方法是指“一表三法”即基本积分公式表、第一、二换元法、分部积分法。这里要求：熟记基本积分公式表，凑微分是计算积分的基本功，要很熟练，特别是一些简单的微分式要相当熟悉（比如 ）。基本方法中也包括对被积函数的恒等变形，特别将被积函数分拆成简单函数的和、差（比如有理函数的分拆、三角函数的分拆）以及对分子、分母同乘以（或同除以）一个因子等技巧。 （2）特殊方法有很多，本节通过例子介绍几个方法：裂项相消法、循环回归法、配对法，递 推法。 例1． 求下列不定积分 (1) (2) 解(1)分析:思路一：被积函数为无理函数且含有 ,容易想到作换元 将被积函数中的根号消掉（一般而言当被积函数中含有 时可试一试三角代换）．思路二：被积函数中分母的次数比分子高二次，可想到倒代换 （一般而言当被积函数中分母的次数比分子高二次或二次以上时，可试一试倒代换 ，思路三：如分子分母同乘以 ，则被积表达式变成 ，可作换元 问题得到简化．但还需再换元． 思路四：被积表达式变形为 ，可作换元 ．下面就前三个思路试一试 方法一：令 ，那么 方法二：令 ，那么 或（直接变形） 方法三： 作换元 ，则 （至此问题得到了简化，容易想再换元 消去根号） 令 ，则 或（不换元，直接通过凑微分解决） （２）思路：被积函数是两类不同函数 和 的乘积，此时应想到用分部法。一般而言当被积函数是五类函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）中两类或多类函数的乘积时，可试一试分部法 。记住两条原则：（１） 比 简单，（２）被积函数中选择哪一部分与 结合凑出 （或 ）是关键，有个一般规律： ，此式中离 越近的那类函数越优先与 结合凑出 ．本题中应是 与 结合凑出 ： 对后一积分，可作换元 ，那么 故 注：对后一积分也可用教材中介绍过的关于积分 的推递式去解决．本题也可先作换元 ，再分部： 总结：不定积分的题变化多技巧性强，往住一题有多种解法，一题也可能需同时用换元、分部等方法和技巧才能解决．但无论如何我们首先掌握其一般步骤、基本方法和基本思路，通过加强训练达到熟能生巧的程度．一般步骤是：首先看是否需要对被积函数通过代数运算、三角函数公式等作恒等变形（特别是变为若干简单函数的和、差），然后看是否需采用凑徽分法、第二换元法、分部法，最后用不定积分的线性运算法则和基本积分公式求出结果。 例２．求下列不定积分： (1) (2) （3） （1）分析：先作变形： ，分成了两个积分，每个积分都不好求，它们都是两类不同函数的积，可用分部法试一试：先试第一个 ，分部后右端出现的积分并不比左端的积分简单，但正好可以与原积分中的后一项相消，问题也得到了解决。 解： 总结：这种方法我们称之为裂项相消法，基本过程是这样的：将欲求的不定积分 分拆成两项或多项，然后对其中某一项或多项作分部积分，如能达到相消的目的，那问题就解决了。本题对后一项作分部积分也能达到相消的目的 。注意：最后结果中要加上任意常数 。 （2）分析：被积函数比较复杂，涉及几类不同的函数，可试一试分部法： 右端积分还不好求，再分部试一试： 右端出现了与左端一样的积分，那我们把该积分解出来就可得结果。 解： 所以 此题有另外常用的思路，思路一：被积函数中有 （并且分母中还有 ），可试一试换元 ，即 ： 换元后的积分是我们熟悉的积分。 思路二：被积函数中有一个复杂的因子 ，有一种值得一试的方法：当被积函数中有一个复杂并且不好处理的因子时，可将这个复杂的因子设为一个变量。本题可设 ，则原积分变为 总结：以上方法我们称之为循环法，基本过程是这样的：将欲求的不定积分 通过运算（主要是分部积分两次，且两次分部中都要用同一类函数去凑 ）后出现如下形式 再解出 （要注意：最后结果中要加上任意常数 ）。其实这种方法我们在学高数时已经学过，典型例子就是求 。在后两种思路中，换元后的积分还需通过循环回归法去解。这种方法在定积分计算中也很有用。不同的是不定积分一般是通过多次分部来循环，而定积分则可通过分部、换元等各种方法来循环。 (3)分析:相信同学们都能做出这题,这是有理函数的积分．我们总可以通过将有理函数分拆成最简分式的和去解决： ．本题可用另一种方法：配对法去解。 解：令 ，则 由以上两式可得 总结：这种方法的思路是这样的：为求积分 ，给它配另一个积分 ，然后求出 （另一般的是 ）再解出 。此方法我们应该见过，有个典型的例子：求 例３。（１）已知 ，则 ，又若 ，则 。 （２）已知 ，则 。 （３）已知 的结果中不含反正切函数，则 。 （４）已知 ，则 。 解：（１）令 ，则 ，再由 在 处的连续可得 所以 ，即 若 则 ，所以 （２） 所以 注：（１），（２）有何区别？ （３） 依题意必有 ，从而有恒等式 两边同乘 ，并比较两边系数可得 ，从而得 （４）依题意有 ，而从 练习题: １．求下列不定积分： （1） （2） （3） （4） （5） ２．求下列不定积分： （1） （2） （3） （4） （5） （（1）用循环法，（2）裂项相消法，（3）配对法，（4）裂项相消法，两项同时分部 （5）分部 ，或先拆项 ） 3.(1)设 证明: (2) 设 证明: ((1)用分部,(2)利用三角公式变形: )
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