null 《高等数学》
—上机教学（三） 《高等数学》
—上机教学（三）微分方程求解null上机目的上机内容MATLAB2、学会用 Matlab 求微分方程的数值解.上机软件1、学会用 Matlab 求简单微分方程的解析解.1、求简单微分方程的解析解.4、上机作业.2、求微分方程的数值解.3、 数学建模实例. null1、微分方程的解析解 结果：u = tan (t+c1)null例如求下例微分方程的特解。
在Matlab命令窗口中输入： y=dsolve('Dy=exp(x)','y(0)=exp(1)','x')
输出结果为：
y =exp(x)-1+exp(1)
如想画出函数在自变量x在区间
[-10,10]的函数图像，可在
命令窗口中输入：
ezplot(y,[-10,10])
null 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)
作图命令：ezplot(y,[1.0,4])nullnull2、微分方程的数值解（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解.而在实际上对初值问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式.因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的.null（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数此即欧拉法.null2、使用数值积分此即改进的欧拉法.null3、使用泰勒
公式
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以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法.4、数值公式的精度 当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式.k越大，则数值公式的精度越高. 欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式.
龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式.
线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式.null（三）用Matlab软件求常微分方程的数值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）null 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以 x 的分量形式写成. 2、使用 Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意:null1、建立m-文件vdp1000.m如下：
function dy=vdp1000(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，在matlab主命令窗口中输入命令：
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);
plot(T,Y(:,1),'-') 3、结果如图：null解 1、建立m-文件rigid.m如下：
function dy=rigid(t,y)
dy=zeros(3,1);
dy(1)=y(2)*y(3);
dy(2)=-y(1)*y(3);
dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令：
[T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]);
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、结果如图： 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.nullnullnull解法二：(数值解)1. 建立m-文件eq1.m
function dy=eq1(x,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1/5*sqrt(1+y(2)^2)/(1-x);
2. 取x0=0; xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：
x0=0; xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'b.')
hold on;
y=0:0.01:2;
plot(1,y, 'r*') 结论: 导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰.令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组.nullnullnullnull4、上 机 作 业 （三）3. 鱼雷追击问题
一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里处．我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度为0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？1. 求微分方程 ，在初值条件 下的特解，并画出解函数的图形.null
一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻击他. 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者.分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹. ( 选作 )
（慢跑者与狗）
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