第1讲 函数的图象与性质专题二 函数与导数栏目索引
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真题体验1热点分类突破2高考押题精练3解析高考真题体验12341.(2016·课标全国乙)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( )解析 f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；当x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，√A.－2B.－1C.0D.2解析1234√∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.解析12343.(2016·上海)设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均为增函数，则f(x)，g(x)，h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题√解析1234解析 ①不成立，可举反例，1234②f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T)，f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T)，g(x)＋h(x)＝g(x＋T)＋h(x＋T)，前两式作差，可得g(x)－h(x)＝g(x＋T)－h(x＋T)，结合第三式，可得g(x)＝g(x＋T)，h(x)＝h(x＋T)，也有f(x)＝f(x＋T).∴②正确.故选D.1234(1)若a＝0，则f(x)的最大值为________；2答案解析1234若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1).由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0.所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f(x)最大值为f(－1)＝2.若x＞0，f(x)＝－2x单调递减，所以f(x)＜f(0)＝0.所以f(x)的最大值为2.1234(2)若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是___________.解析 f(x)的两个函数在无限制条件时图象如图.由(1)知，当a≥－1时，f(x)取得最大值2.当a＜－1时，y＝－2x在x＞a时无最大值，且－2a＞2.所以a＜－1.(－∞，－1)解析答案考情考向分析1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.返回热点一 函数的性质及应用热点分类突破1.单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时，
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步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.2.奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”).(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.3.周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.常见结论：(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|.(a≠0)例1 (1)已知函数f(x)为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f(log2m)
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的基本方法.(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选.要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值.√∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.解析(2)已知三次函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的导函数为f′(x)，则函数f(x)与f′(x)的图象可能是( )√解析 因为f′(x)＝6ax2＋12ax＋b，则函数f′(x)的图象的对称轴为x＝－1，故可排除A、D；由选项C的图形可知，当x>0时，f′(x)>0，故函数f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C，选B.解析热点三 基本初等函数的图象和性质1.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质.2.幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况.例3 (1)(2015·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a√解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.解析A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)(2)若函数若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )√解析思维升华解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图.显然当a>1或－1f(－a).故选C.方法二 对a分类讨论：当a>0时，∴a>1.当a<0时，∴0<－a<1，∴－11,01时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错.(2)已知函数y＝f(x)是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b√解析返回解析 构造函数g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，所以函数y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减.因为函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，所以y＝f(x)是奇函数，由此可知函数y＝g(x)是偶函数.根据偶函数的性质，可知函数y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b.返回1234解析押题依据高考押题精练1.已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的( )√押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置.1234解析 因为y＝ax与y＝logax互为反函数，而y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除.方法一 如果注意到y＝loga(－x)的图象和函数y＝logax的图象关于y轴对称，又y＝logax与y＝ax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，则可直接选定B.方法二 首先，曲线y＝ax只可能在x轴上方，y＝loga(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.1234解析押题依据√押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性.1234解析 由f(x－2)＝f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，因为4－1，且x≠0}.当－10；当x>0时，g′(x)<0.∴f(x)在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B符合.1234方法二 本题也可取特值，用排除法求解：1234押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点.本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质.(－2,0)∪(0,2)解析押题依据答案返回1234易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，综上，所求实数t的取值范围为(－2,0)∪(0,2).返回
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