2013-2014学年度第一学期北京育才学校高三数学（文科）期中考试试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．若集合，，则等于（）．A． B． C． D．2．运行如图所示的程序框图，若输入，则输出值为（）．A． B． C． D．3．设，，为不同的直线，，为不同的平面，则正确的命题为（）．A．若，则B．若则C．若则D．若且则4．平面向量与的夹角为，，则（）．A． B． C． D．5．实数，，的大小关系正确的是（）．A．B．C．D．6．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（）． A． B．C． D．7．若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有（）．A．个 B．个C．个 D．个8．设，定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（）．A．B． C．D．二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分．)9．__________．10．在中，若，则．11．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为______．12．正三棱柱的底面边长为,如右图所示摆放，三棱柱的主视图面积为,则左视图的面积为_____________．13．已知等比数列的前项和为，且，则的公比的值为__________．14．规定一种运算：，例如：，，则函数的值域为．三、解答题：(本大题共6小题，共80分．)15．(本小题满分13分)在三角形中，若，（1）求角的大小；（2）若，，求三角形的面积．16．(本小题满分13分)为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第组，第组，第组，第组，第组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的
方法
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，从第组中随机抽取名学生做初检．（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从名学生中再次随机抽取名学生进行复检，求这名学生不在同一组的概率．17．(本小题满分14分)如图，三棱锥中，底面，为等边三角形，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．（Ⅲ）在上是否存在一点，使平面？并说明理由．18．(本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）若求函数在上的最大值；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．19．(本小题满分13分)已知等差数列满足：，，的前项和为．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令，求数列的前项和．20．(本小题满分14分)已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立．若，是数列的前项和．（I）求数列的通项公式；（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数；（Ⅲ）设（且），使不等式恒成立，求正整数的最大值．2013——2014高三数学文科期中
答案
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一、选择题：ABDDCBBC二、填空题： 9 10 11 12 13 14 或 三、解答题：15、（1），又，，，，（2），16、解：（Ⅰ）第组为，第组为，第组为（Ⅱ）设事件
表
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示这名学生不在同一组，记第组名同学分别为，记第组名学生同学分别为，第组同学为，试验所有结果为共种．事件包含种，所以17、（Ⅰ）证明：在中，，是中点，面，，面（Ⅱ），（Ⅲ）存在，当为中点时，平面证明：在中，分别为中点，又面，面，面．18、（Ⅰ）令 1 0 单调递减 极小值 单调递增（Ⅱ），令，当时，在上单调递增，不合题意当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，，不合题意综上，19、（Ⅰ），，（Ⅱ）20．解：（I）∵在定义域内有且只有一个零点得或当时，函数在上递增故不存在，使得不等式成立综上，得 （II）解法一：由题设时，时，数列递增由得可知即时，有且只有个变号数；又即∴此处变号数有个综上得数列共有个变号数，即变号数为（Ⅲ）且时，可转化为．设，则当且，．所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立,是正整数，所以的最大值为．2013-2014学年度第一学期北京育才学校高三数学（文科）期中考试试卷选填解析1.【答案】A【解析】解：，故答案为A．2.【答案】B【解析】解：输入计算过程如下表所示： 1 2 4 7 11 1 2 3 4 5故输出．故答案为B．3.【答案】D【解析】解：A中可能在上；B中可以不垂直于；C中与可为异面直线；D符合题意故答案为D．4.【答案】D【解析】解：，故答案为D．5.【答案】C【解析】解：，，，所以故答案为C．6.【答案】B【解析】解：由图可知，，所以解析式为故答案为B．7.【答案】B【解析】解：由可得，，所以，，，故①④正确故答案为B．8.【答案】C【解析】解：若函数的值域为，则区间的长度的最大值为，最小值为，所以最大值与最小值的差为故答案为C．9.【答案】【解析】解：．故答案为．10.【答案】【解析】解：，解得，或（舍负）．故答案为．11.【答案】【解析】解：则点取自内部的概率为故答案为．12.【答案】【解析】解：由正三棱柱的底面边长为，三棱柱的主视图面积为，知棱柱的高为，左视图为矩形，矩形的长为，高为棱柱的高，故面积故答案为．13.【答案】或【解析】解：因为是等比数列，解得故答案为或．14.【答案】【解析】解：由题意知，图像如下图所示，所以得值域为．故答案为．10/10
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