等差数列与等比数列知识要点 等差数列与等比数列知识要点 1、 等差数列 1. 弄清楚概念 （1）.什么样的数列是等差数列？ （2）.什么是等差数列的公差？ （3）.等差数列相邻两项与公差的关系?（4）.等差数列连续三项之间的关系? （5）.等差数列的通项公式是什么? (6).等差数列的图象的特征是什么？ 2. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于一个常数，公差d=a -a ，通向公式a =a +（n-1）d =d =d ....... =d 这（n－1）个式子迭加 a － = (n－1)d 由此得到 a = +(n－1)d 当n=1时，上式两边均等于 ，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{ a }的通项公式。 3、说明： （1）数列｛a ｝为等差数列a -a =d或a =a +d （2）公差是唯一的常数 （3）推导等差数列通项公式的方法叫做递推法 由定义归纳通项公式 当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当n∈N*时上式都成立，因而它就是等差数列{an}的通项公式。 4、注意： 1、等差数列
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从第2项起，后一项与前一项作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是０和负数。 5、对等差数列的定义的理解 （1）．如果一个数列，不是从第2项起，而是 从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列． （2）．一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同．当这些常数不同时，此数列不是等差数 （3）．求公差时，要注意相邻两项相减的顺序d=a -a 或d=a -a (n≥2) （4）. 要判断一个数列是不是等差数列，只要看对于任意正整数n，a -a ，是不是通一个常数，切记不可通过计算a -a ,a -a 等有限的几个式子的值后，发现它一个常数，就得出该数列为等差数列的结论 d=a -a 或d=a -a 是证明或判断一个数列是等差数列的依据。 6、等差中项 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项 。 7、小结： ①数列{ a }为等差数列 a -a =d或a =a +d； ②证明一个数列为等差数列的方法是d=a -a 或d=a -a ： 8、等差数列的N项和 二、等比数列和等比数列的N项和 1. 等比数列的定义：如果一个数列从第 二项起，每一项与它的前一项的比等于 一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等等比数列的公比. 公比通常用字母q表示 2. 判断数列是等比数列的方法：由于等比数列的每一项都有可能作分母，故a ≠0 且 q ≠0， =q（q≥1）或 =q（q≥2） 3. 等比数列通项公式推导: =q =q =q …. =q 总的有n-1个 = （n≥2） 首项为 ，公比为 q 的等比数列的通项公式： = （ ≠0且q≠0，n ∈N +)但常数列却不一定是等比数列，例如0,0,0,0,0，…. 4. 几何意义及图象特点： = = =c （c为常数） 图象特点：形如指数函数上的一些规律的点 5.等比数列的性质：若{ a }是等比数列，且m+n=p+q (m, n ,p ,q∈N +)则 6、等比数列前 n 项和公式 ： = n q=1 = q≠1 7、注意： 1、使用等比数列前 n 项求和公式时应注意 q=1还是q≠1 2、当 q ≠1 时，若已知 、q、n，则选用②，若已知 、q、 ，则选用①。 若 、 、n、q、S n 五个量中，已知__三__个量，可求另_二__个量。
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