第十九章_扭转的强度与刚度计算

第十九章 扭转的强度与刚度计算 第一节 概述 在垂直于杆轴线的平面内有力偶作用时，杆件将产生扭转变形，即杆的各横截面绕 杆轴相对转动（图 19-1）。由图中可以看出， mx 图 19-1 mx ϕ杆的扭转变形具有如下特点： 受力：在杆的两端垂直于杆轴线的平面内 作用着两个力偶，其力偶矩相等，转向相反。 变形：杆上各个横截面均绕杆的轴线发生 相对转动。任意两个横截面之间相对转过的角 度称为相对扭转角。 图 19-2 （a） （b） P P P P B A A B B A mA mA mB m mB mB 在工程中经常遇到扭转变形的构件。例如驾驶员的两手在方向盘上的平面内各施加 一个大小相等，方向相反，作用线平行的 力 P [图 19-2（a）]，它们形成一个力偶， 作用在操纵杆的 A 端，而在操纵杆的 端 则受到来自转向器的反力偶的作用，这样 操纵杆便受到扭转作用。又如搅拌器主轴 [图 19-2（b）]、传动轴（图 19-3）等构件 都伴有扭转问题。以扭转变形为主要变形 的受力构件称为轴。工程上轴的横截面多 采用圆形截面，即为圆轴。 B 本章主要研究等直圆轴扭转问题，对 于非圆截面杆件的扭转，本章只对矩形截 图 19-3 电动机 传动轴 A B Me Me B A 41 面与开口薄壁截面杆的扭转作一简单介绍。 第二节 扭转时的内力 一、外力偶矩的计算 前面已经指出 ，使轴产生扭转变形的是外力偶矩。但是作用于轴上的外力偶矩往 往不是直接给出的，而是给定轴所传递的功率和轴的转速。以图 19-3 所示的传动轴为例， 由电动机的转速和功率可以求出传动轴 AB 的转速及通过皮带轮输入的功率。功率由皮 带轮传到轴 AB 上，再经右端的齿轮输出。设通过皮带轮给 AB 轴输入的功率为 N（kW）， 因为 1kW=1000N·m/s 因此每秒钟输入功应为 ： )(1000 mNNW ⋅×= （a） 电动机是通过皮带轮以力偶矩 作用于Me AB 轴上的，若 AB 轴的转速为每分钟 转， 则力偶矩 在每秒内完成的功应为 ： n Me )( 60 2 mNMenW ⋅××= π (b) 因为 所完成的功也就是皮带轮给Me AB 轴输入的功，故（a）、（b）两式应相等，这 样得出计算外力偶矩 的公式为 ： Me n NMe 9550= (N·m) （19-1） 在作用于轴上的所有外力偶矩都求出后，即可用截面法研究横截面上的内力。 二、扭矩、扭矩图 现以图 19－4（a）所示的圆轴为例，假想地将圆轴沿 m-m 截面分成两部分，任取其 中一部分，如取Ⅰ部分作为研究对象[图 19 －4（b）]。由于整个轴是平衡的，所以部分 Ⅰ也处于平衡，由平衡条件 0=∑ xm ，则 Me Me m m Ⅰ Ⅱ Mn Me m m Ⅰ (a) (b) (c) 图 19-4 x Mn Me m m Ⅱ MeMnMeMn ==− 0 Mn称为 m-m 截面上的扭矩，它是Ⅰ、 Ⅱ部分在 m-m 截面上相互作用的分布内力 系的合力偶矩。如果取部分Ⅱ为研究对象[图 19－4（c）]，可得到相同结果，只是扭矩 的方向相反。 Mn 扭矩 符号规定如下：按右手螺旋法 则把 表示为矢量，当矢量方向与截面的 外法线的方向一致时， 为正；反之，为 负。例如图 19－4 中，Ⅰ部分或Ⅱ部分的 m-m 截面上的扭矩都为正。 Mn Mn Mn 42 当轴上作用有两个以上的外力偶时，其各段截面上的扭矩是不相等的，这时需分段 应用截面法和平衡条件求出扭矩。为了将各段的扭矩清楚地表示出来，也像拉伸（压缩） 问题中画轴力图一样，用图线表示扭矩沿轴线变化的情况。用横轴表示横截面的位置， 纵轴表示相应截面上的扭矩，这种描绘扭矩沿轴线变化规律的图线称为扭矩图。下面举 例说明扭矩的计算和扭矩图的画法。 (a) (c) I II D MA MD MC MB MB MnⅡ MC MB MnⅢ 468N·m 702N·m 351N·m (d) (e) 图 19-5 (b) A C B I II III III MnIMnI MD 例 19-1 传动轴如图 19-5（a）所示。主动轮 A 输入功率 kWN A 75.36= ，从动轮 输出功率分别为DCB 、、 kWNkWNN DCB 7.14,11 === ，轴的转速为 n=300r/min。试画 出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以 kW 为单位，根据（19-1）式： 1170 300 75.3695509550 =×== n N M AA (N·m) 351 300 1195509550 =×=== n N MM BCB (N·m) 468 300 7.1495509550 =×== n N M DD (N·m) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段： 。现 分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 ADCABC 、、 BC 段：以 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把 的方向假设为图 19-5（b） 所示。根据平衡条件 1nM 1nM 0=∑ xm 得： 01 =+ Bn MM 3511 −=−= Bn MM (N·m) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。 段内各截面上的 扭矩不变，均为 351N·m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA段内： BC MnⅡ＋ 0=+ BC MM ⅡnM = － BC MM − = －702(N·m) 43 AD段： 0=Dn MM －Ⅲ 468== Dn MM Ⅲ (N·m) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图 19－5（e）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在 段内，且 N·m CA 702max =nM MB MC MD MA 图 19-6 1170N.m 702N.m 351N.m 对同一根轴来说，若轴上各轮所传递的外力偶矩不变，而调换各轮位置时，其扭矩 图将发生改变。例如，在本例中若把主动轮 A 放在轴的右端，其扭矩图将如图 19-6 所 示。这时轴的最大扭矩是： N·m。可见，传动轴上的主动轮和从动轮安 置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者比较，图 19-5 布局比较合理。 1170max =nM 第三节 纯剪切 在讨论扭转的应力和变形之前，为了研究剪应力和剪应变的规律及两者间的关系， 我们先研究薄壁圆筒的扭转。 一、薄壁圆筒扭转时的剪应力 n m n m (b) φ γ n (a) r t 图 19-7 m l n m Me Me n (c) m n m Me x τ τ1 τ γ dx x y dy z t (d) 44 图 19-7 为一等厚度薄壁圆筒（薄壁圆筒是指壁厚 远小于其平均半径t r 的圆筒）。受 扭前在表面上画两条纵向线和距离筒端稍远处的圆周线，构成正方格。然后在两端作用 转向相反的扭转力偶矩。使圆筒产生扭转变形，变形后[19-7(b)]，由于截面 m－m 对截 面 n－n 的相对转动，使方格的左右两对边发生相对错动。但圆周线的形状、大小和它 们之间的距离不变，这表示在圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵向 截面上也无正应力。在横截面上，由于筒壁很薄，故可近似地认为沿壁厚剪应力不变； 又由于沿圆周方向各点情况相同，故沿圆周各点的应力也是相同的[图 19-7(c)]，这样横 截面上内力系对 x 轴的力矩为： τπτπ trrrt 222 =⋅⋅ （a） 式中 为薄壁圆筒的厚度，t r 为平均半径。若外力偶矩为 ，由 m－m 截面以左部 分圆筒的平衡条件∑ eM = 0xM 得： τπ trme 22= 故求得： tr M e 22πτ = (b) 二、剪应力互等定理 如图 19-7（d）所示为从圆筒中取出的微小六面体（微元），其左右一对面对应着圆 轴的横截面，上下一对面对应着纵截面（过轴线），它在三个方向的尺寸分别为 。 根据前面结论可知，左右横截面上只有剪应力而无正应力。其值可由（b）式求得。根 据微元的平衡要求，不仅左右一对面上有大小相等，方向相反的剪应力 tdydx 和、 τ ，在上下一对 面也必须有剪应力τ ′，而且由力矩平衡条件 0=∑ zm 有： dytdxdxtdy )()( ττ ′= 由此得到： ττ ′= （19-2） 这表明，在相互垂直的两个微面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，而方 向均垂直于两微面的交线，或指向或背离这一交线。这就是剪应力互等定理。 三、剪应变、剪切胡克定律 微元各对面上只作用有剪应力的情形称为纯剪切。在此情形下，单元体的相对两侧 面将发生微小的相对错动[图 19-7（d）]，原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微 量 γ ，这就是剪应变。由图 19-7(b)可知，若ϕ 为薄壁圆筒两端的相对转角， l 为圆筒的 长度，则剪应变为： l rϕγ = （c） 45 利用上述薄壁圆筒的扭转可以实现纯剪切实验。实验结果表明，对于大多数工程材 料，当纯剪状态处于弹性范围内时，剪应力和剪应变存在下列线性关系（图 19-8）， γτ G= （19-3） 上述关系称为剪切胡克定律。其中 称为 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 的剪切弹 性 模 量 ， 单 位 为 或 。 钢 材 的 。图 19-8表明，只有当剪应力 G /(GNGPaPa )2m GPaG )8480( −= τ ≤ pτ 时， （19-3）式才能成立。 pτ 称为剪切比例极限。 理论分析和实验结果均表明，材料的三个弹性常数 ——弹性模量 E ，剪切弹性模量 以及泊松比G μ 中，只 有两个是独立的，它们之间满足如下关系： )1(2 μ+= EG （19-4） 上式只适用于各向同性材料。 四、剪切变形能 薄壁圆筒的扭转试验表明：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，扭转角ϕ 与扭 转力偶距 成正比。即eM ϕ 和 的关系是一条斜直线（图 19-9）。斜直线下面的面积代 表在弹性范围内，扭转力偶矩 所作的功W 。即 eM Me ϕMeW 2 1= Me 所完成的功全部转变为储存于薄壁圆筒内的剪切变形能 。故有： U ϕMeWU 2 1== 薄壁圆筒扭转时，筒壁内各点的剪应力是均匀的。因此 每单位体积内储存的能量是相同的。若以圆筒的体积除剪切 变形能U ，便得到单位体积内的剪切变形能（比能）为 ： l r tr Me rtl Me V Uu ϕππ ϕ ⋅⋅=⋅== 222 1 22 1 利用第三节中的（b）式和（c）式，上式可以写成： τγ 2 1=u 再由剪切胡克定律（式 19-3）得： G u 22 1 2ττγ == M e φ Me 图 19-9 φ 图 19-8 γ O τ Pτ 46 第四节 圆轴扭转时的应力与变形 一、横截面上剪应力计算公式 圆轴扭转时，在已知横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上的应力分布规律， 以便求出最大应力。要解决这一问题，须应用“三关系法”，即根据变形现象找出变形 几何关系；利用物理关系找出应力分布规律；利用静力学关系，导出应力计算公式。下 面我们就按上述思路研究圆轴扭转时横截面上的应力。 (一)、变形几何关系 用容易变形的泡沫塑料作一圆轴模型，在圆轴表面上画出纵向线和圆周线[图 19-10 （a）]。在圆轴两端施加力偶矩 ，可以看到表层的变化现象：各圆周线的形状、尺 寸和间距保持不变，只是绕轴线相对地旋 转了一个微小角度；所有纵向线都倾斜同 一角度，小方格变成菱形[图 19-10（b）] Me (a) 图 19-10 Me (b) Me 根据上述观察到的现象，得出圆轴扭 转时的基本假设：圆轴扭转变形后，横截 面仍保持平面，且其形状和大小及两相邻 横截面间的距离保持不变；半径仍保持为 直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。 这就是圆轴扭转的平面假设。 现在在“平面假设”的基础上，利用 变形几何关系找出横截面上各点处应变的 分布规律。 如图 19-11，利用相邻的两个横截面 m—m 和 n—n，从轴上取出一个长为 的微段 [图 19-11（b）]。由于扭矩的作用，n—n 截面相对于 m—m 截面转动了一个角度 dx ϕd ， 根据平面假设，在 n—n 截面上，半径 和 将旋转同样的角度DO2 CO2 ϕd ，转到 和 的位置且仍保持直线。再用夹角很小的两个径向截面从微段上切下一个楔形体 [图 19-11（c）]由于扭转变形，使矩形 变成平行四边形 。引起 剪切变形，CD 边相对于 DO ′2 CO ′2 ABCDOO 21 ABCD DCAB ′′ AB 边错动的距离为： ϕdRDD ⋅=′ 由此求得原直角 的角度改变量为： DAB dx dR AD DD ϕγ == ' （a） γ 为圆截面边缘上 点处的剪应变。D γ 发生在垂直于半径 的平面（即圆柱表面）内。 DO2 根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用与以上相同的方法，并参考 图 19-11（c），可求得在距圆心为 ρ 处的剪应力为 ： 47 (a) (b) m n m m n Me Me 图 19-11 A φ m n n B D C C΄ dx dϕργ ρ ⋅= （b） 式中 dx dϕ 为扭转角ϕ 沿轴线的变化率。对同一横截面来说， dx dϕ 为一常数，因此由式 （b）知，横截面上任一点处的剪应变 ργ 应与该点所在圆周的半径 ρ 成正比，而且在同 一半径 ρ 的圆周上，各点处的剪应变 ργ 相同。 扭转角ϕ 表示左右两端端截面相对转过的角度（图 19-11）。其单位用 rad 表示。 （二）物理关系 由上面的分析和推论可知，在圆轴的横截面上只存在与半径 垂直的剪应力。根据剪切胡克定律，横截面上距圆心为 ρ 的任意 点处的剪应力 ρτ 与该点处的剪应变 ργ 成正比，即 ρρ γτ ⋅= G G 为材料的剪切弹性模量，单位为 。将（b）式代入上式得： GPa dx dG ϕρτ ρ ⋅= (19-5) 上式表明：横截面上任意点处的剪应力 ρτ 与该点到圆心的距离 ρ 成正比。因而距 圆心等距离的所有点处剪应力都相等，方向与过该点的半径垂直。其分布规律如图 19-12 所示。半径为零处（即圆心），剪应力等于零，而最大剪应力在圆截面的周边各点上。 （三）静力关系 D΄ O2 O1 dφ dx γ dx A B D D΄ C΄ C a b d d΄ c c΄ O1 O2 ρ R γ γρ dφ O τmax 图 19-12 τmax 48 由式（19-5）虽然可知横截面上剪应力的变化规律，但 因式中 dx dϕ 尚未求出，所以仍然无法用它计算剪应力，这就 需要利用静力关系来解决。 R ρ dρ O τρ 如图 19-13 所示，在横截面内取环形微分面积 ，则 dA ρπρddA 2= （c） 可以认为，在 内任一点到圆心的距离皆为dA ρ ，故各 点的剪应力均相等，且垂直于过各点半径。这样 的内力 系在任何方向投影的总和皆为零，最后归结一个微力偶 dA dAρρτ 。通过积分可求出整个截面上内力系所组成的内力偶 矩为： 图 19-13 ∫A dAρρτ 根据扭矩的定义，这里求出的内力偶矩就是截面上的扭矩，即 ∫ ⋅= An dAM ρτρ （d） 将式（19-5）代入（d）式，并注意到当在某一给定的截面上积分时， dx dϕ 为常量， 故 ∫ ∫ ==⋅= A An dAdx dGdA dx dGdAM 2ρϕϕρρτρ ρ ∫A （e） 令 (f) dAI AP ∫= 2ρ pI 只与横截面的尺寸有关，称为横截面对 点的极惯性矩，其量纲为[长度]O 4。故（e） 式可写成： dx dGIM Pn ϕ= (19-6) 从公式（19-5）和（19-6）中消去 dx dϕ ，即可求得： P n I M ρτ ρ = (19-7) 此式即为圆轴扭矩时横截面上任一点剪应力的计算公式。 由式（19-7）看出，当 ρ 等于横截面半径 时，剪应力最大，其值为： R P n I RM=maxτ (19-8) R I M P n=maxτ 令 R I W Pn = (19-9) 于是横截面上最大剪应力为 49 n n W M=maxτ (19-10) 式中 称为抗扭截面模量，它也只与截面尺寸有关，其量纲为[长度]nW 3。 （四）剪应力公式的适用范围 公式（19-6）、（19-7）和（19-10）是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只 有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的。因此，这些公式只适用于圆轴（包括实 心轴和空心轴）的扭转问题。此外，导出公式时还应用了胡克定律，所以只适用于 maxτ 不超出材料的剪切比例极限 pτ 的情况。 （五） 的计算 nPI W和 实心圆轴如图 19-13 所示，以（c）式代入（f）式得： 322 2 44 32 DRddAI R OAp ππρρπρ ==== ∫∫ (19-11) 式中 为圆截面的直径。 D 162 33 DR R I W pn ππ === (19-12) 图 19-14 D ρ dρ O d 空心圆轴如图 19-14 所示，因为横截面上的空 心部分没有内力，所以（f）式中的定积分也不应包 括空心部分，于是（f）式应为： ∫ ∫== A DdP ddAI ρρπρ 2/2/ 32 2 )( 32 44 dD −= π )1( 32 4 4 απ −= D （19-13） )1( 16 )( 16 4 3 44 αππ −=−== DdD DR I W Pn （19-14） 式中 D d=α ， 分别为空心圆截面的外径和内径， 为外半径。 dD和 R 二、圆轴扭转时的变形 扭转变形的标志是两个横截面绕轴线的相对转角，即扭转角。由公式（19-6）得： dx GI M d P n=ϕ （a） ϕd 表示相距为 的两横截面间的扭转角。因此长为 的两个横截面之间的相对转角为： dx l dx GI M dl l P n∫ ∫== 0ϕϕ （b） 当杆只在两端受一对外力偶作用时，则所有横截面上的 均相等；又对于同一种 材料制成的等直圆杆 为常量；于是将上式积分后得： nM pGI 50 P n GI lM=ϕ （19-15） 式中 为圆轴的抗扭刚度，PGI ϕ 称为长为 l 的等直圆轴的扭转角。 若在需求相对扭转角的两截面间， 值发生改变，或者轴为阶梯轴， 并非常量， 则应分段计算各段的扭转角，然后相加，即 nM pI ∑ = = n i Pi ini GI lM 1 ϕ （19-16） 注意，上述扭转变形的计算公式是建立于剪切胡克定律基础上的，故公式（19-15）、 （19-16）只有在材料处于弹性范围内才是正确的。 第五节 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一、圆轴扭转时的强度计算 为了保证受扭圆轴能正常工作，不会因强度不足而破坏，其强度条件为：最大工作 应力 maxτ 不超过材料的许用剪应力 ][τ ，即 maxτ ≤ ][τ （19-17） 从轴的受力情况或由扭矩图上可确定最大扭矩 ，最大剪应力maxnM maxτ 就发生于 所在截面的周边各点处。由公式（19-10）可把公式（19-17）写成： maxnM n n W M max max =τ ≤ ][τ （19-18） 对阶梯轴来说，各段的抗扭截面模量 不同，因此要确定其最大工作应力nW maxτ ， 必须综合考虑扭矩 和 两种因素。 nM nW 在静载荷的情况下，扭转许用剪应力 ][τ 与许用拉应力 ][σ 之间有如下关系： 钢 ][τ =（0.5~0.6） ][σ 铸铁 ][τ =（0.8~1） ][σ 但考虑到扭转轴所受载荷多为动载荷，因此所取 ][τ 值应比上述许用剪应力值还要低 些。 例 19-2 如图 19-15 所示汽车传动轴AB，由 45 号钢无缝钢管制成，该轴的外径 D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩Mn＝1.5kN·m，材料的许用剪应力 ][τ ＝ 60MPa。求（1）试校核AB轴的强度；（2）将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件下， 确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解 （1）校核 AB 轴的强度： 944.0 90 5.2290 2 =×−= −== D tD D dα 51 )(29400)944.01( 16 90)1( 16 34 3 4 3 mmDWn =−×=−= παπ 轴的最大剪应力为 ： 6 9 max max 1051 1029400 1500 ×=×== −n n W Mτ (N/m2)＝51MPa﹤[τ] 故 AB 轴满足强度要求。 （2）确定实心轴的直径：按题意，要求设 计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求 实心轴的最大剪应力也应该是 ： )(51max MPa=τ 设实心轴的直径为 ，则 1D A B 6 3 1 max 1051 16 1500 ×=== DW M n n πτ 图 19-15 )(1.53)(0531.0 1051 161500 3 61 mmmD ==×× ×= π 在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即 31.0 1.53 8590 2 22 ＝－＝ 实心 空心 A A 上述结果表明，在载荷相同的条件下，空心轴所用材料只是实心轴的 31％，因而节 省了三分之二以上的材料。这是因为横截面上的剪应力沿半径线性分布，圆心附近的应 力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，这样可以充分发挥 材料的强度性能；也可以使轴的抗扭截面模量大大增加，从而有效地提高了轴的强度。 因此，在用料相同的条件下，空心轴比实心轴具有更高的承载能力，而且节省材料，降 低消耗。因此工程上较大尺寸的传动轴常被设计为空心轴。 二、圆轴扭转时的刚度计算 在机械设计中，为使轴能正常工作，除了满足强度要求外，往往还要考虑它的变形 情况。例如车床的丝杠，扭转变形过大，会影响螺纹的加工精度；镗床的主轴扭转变形 过大，将会产生剧烈的振动而影响加工精度；发动机的凸轮轴，扭转变形过大，会影响 气门的启闭时间的准确性等等。所以，轴还应该满足刚度要求。 由公式（19-15）表示的扭转角与轴的长度 有关，为了消除长度的影响，用l ϕ 对 x 的 变化率 dx dϕ 来表示扭转变形的程度。用θ 表示变化率 dx dϕ ，由公式（19-6）得出： P n GI M dx d == ϕθ （19-19） 式中θ 为单位长度的扭转角。单位为 rad/m。若圆轴的截面不变，且只在两端作用外力 52 矩，则由公式（19-15）得： P n GI M l == ϕθ （19-20） 为了保证轴的刚度，工程上规定单位长度扭转角不得超过规定的许用扭转角。故轴 的刚度条件可表示为： P n GI M max max =θ ≤ ][θ rad/m （19-21） 在工程中， ][θ 的单位习惯上用 º/m。故把公式（19-21）中的弧度换算为度，得 πθ °×= 180maxmax P n GI M ≤ ][θ º/m （19-22） 许用扭转角 [ ]θ 的数值可根据轴的工作条件和机器的精度要求，按实际情况从有关 手册中查到。下面列举几个参考数据： 精密机器的轴： m/)50.0~25.0(][ °=θ 一般传动轴： [ ] m/)0.1~5.0( °=θ 精度较低的轴： m/)5.2~1(][ °=θ 最后讨论一下关于空心轴的问题。由例 19-2 的讨论知，在工程上，较大尺寸的传动 轴常被设计为空心轴，如飞机、轮船、汽车等运输机械的某些轴，常采用空心轴以减轻 轴的重量，提高运输能力。再如车床的主轴，为了便于加工长的棒料也采用空心轴，等 等。但空心轴加工工艺复杂，经济成本高，对一些又细又长的轴，如机床上的光杆及起 重机的长传动轴，由于加工不便，而多采用实心轴。另外空心轴的壁不允许过薄，以免 局部屈曲而出现丧失稳定的现象。总之，应根据具体要求，全面分析，综合考虑，合理 设计。 例 19-3 如图 19-16 所示的阶梯轴。AB 段的直径 =4cm，BC 段的直径 =7cm， 外力偶矩 ＝0.8kN·m， =1.5kN·m，已知材料的剪切弹性模量 ＝80GPa，试计 算 1d 2d 1M 3M G ACϕ 和最大的单位长度扭转角 maxθ 。 1m （a） M2 d 1 图 19-16 1.5 0.8Mn （kN.m） M1 M3 d 2 A B C 0.8m （b） 53 解 （1）画扭矩图：用截面法逐段求得： 8.011 == MM n kN·m 5.132 −=−= MM n kN·m 画出扭矩图[图 19-16（b）] （2）计算极惯性矩： 1.25 32 4 32 44 1 1 =×== ππdI P （cm4） 236 32 7 32 44 2 2 =×== ππdI P （cm4） （3）求相对扭转角 ACϕ ：由于 AB 段和 段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同， 故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角 BC ABϕ 和 BCϕ ，然后取 ABϕ 和 BCϕ 的代数和， 即求得轴两端面的相对扭转角 ACϕ 。 0318.0 101.251080 800108.0 43 6 1 11 =××× ××== p n AB GI lMϕ （rad） 0079.0 102361080 1000105.1 43 6 2 22 −=××× ××−== p n BC GI lMϕ （rad） 0239.00079.00318.0 =−=+= BCABAC ϕϕϕ （rad）=1.37° (4)求最大的单位扭转角 maxθ ：考虑在 AB 段和 段变形的不同，需要分别计算其 单位扭转角。 BC AB 段 mmrad l AB AB /28.2)/(0398.08.0 0318.0 1 °==== ϕθ BC 段 mmrad l BC BC /453.0)/(0079.00.1 0079.0 2 °−=−=−== ϕθ 负号表示转向与 ABθ 相反。 所以 maxθ ＝ ABθ ＝2.28º/m 例 19-4 实心轴如图 19-17 所示。已知该轴转速 ＝300r/min，主动轮输入功率 =40kW，从动轮的输出功率分别为 =10 kW， =12 kW， =18 kW。材料的剪 切弹性模量G ＝80GPa，若 n CN AN BN DN[ ]τ ＝50MPa，[ ]θ ＝0.3º/m，试按强度条件和刚度条件设计此 轴的直径。 解 （1）求外力偶矩： 318 300 1095509550 =×== n N M AA (N·m) 382 300 1295509550 =×== n N M BB (N·m) 1273 300 4095509550 =×== n N M CC ( N·m) 573 300 1895509550 =×== n N M DD ( N·m) 54 MA MB MC (2) 求扭矩、画扭矩图： 3181 −=−= An MM (N·m) 7003823182 −=−−=−−= BAn MMM (N·m) 5733 == Dn MM (N·m) 根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图[图 19-17（b）]。由图可知，最大扭矩发生在 段 内，其值为： BC 700max =nM N·m 因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为 段内的各横截面。 BC （3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件： n n W M max max =τ ≤ ][τ 16 3dWn π= 得 [ ] )(5.41501070016 16 3 3 3 max mmMd n =× ××=≥ πτπ （4）按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件： πθ °×= 180maxmax p n GI M ≤ ][θ m/° 32 4dI p π= 得 d≥ [ ] )(2.64103.01080 180107003218032 4 33 3 4 max mm G M n =×××× ×××=× −πθπ 为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于 64.2mm。 第六节 密圈螺旋弹簧应力及变形的计算 作为扭转理论的工程应用，本书讨论圆柱形密圈螺旋弹簧的计算。 （a） MD d 573 318 700 Mn (N·m) 图 19-17 A C D B ( b ) 55 弹簧是一种能产生较大的弹性变形的零件，在工程中得到广泛的应用。它可以用于 缓冲和减振，例如车辆轮轴上的弹簧。又可用于控制机械运动，例如凸轮机构中的压紧 弹簧，内燃机中的气阀弹簧等等，也可用来测量力的大小，例如弹簧秤中的弹簧。 由于簧杆本身是螺旋状的，因而其应力和变形的精确解法较为复杂。但当螺旋角α 很小时，例如α <5°[图 19-18（a）]便可省略α 的影响，近似地认为簧丝的横截面与弹 簧轴线在同一平面内，这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。当簧丝直径 d 远小于簧圈的平均直 径 ，则还可以略去簧丝曲率的影响，近似地将弹簧按等直杆来进行计算。在作了上述 简化之后，下面讨论圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 D d α d τ1 A (c) d A (d) 图 19-18 D (a) P (b) P Mn 2 D τ2 P 一、簧丝横截面上的应力 设沿弹簧轴线作用的压力为 P 。用截面法假想将簧丝沿某一横截面分成两部分，并 取出上面部分为研究对象[图 19-18（b）]。如上所述，由于α 角很小，可近似地认为簧 丝横截面与外力作用线在同一平面。考虑取出部分的平衡，横截面上必定有一个与截面 相切的内力系。这个力系简化为一通过截面形心的力 和一个力偶矩 。根据平衡条 件： Q nM PQ = 2 PDM n = (a) Q 为簧丝横截面上的剪力； 为横截面上的扭矩； 为簧圈平均直径。 nM D 与剪力Q 对应的剪应力 1τ 在横截面上均匀分布（剪切的实用计算），如图 19-18（c）， 其值为： 21 4 d P A Q πτ == （b） 式中 为簧丝横截面直径。 d 56 与扭矩 对应的剪应力nM 2τ ，认为与轴线为直线的圆轴扭转应力相同，最大剪应力 发生在圆截面的周边上[图 19-18（d）]。其值为： 3max2 8 d PD W M n n πτ == （c） 综合上面两种因素，簧丝横截面上任意处的总应力应是剪切和扭转两种剪应力的矢 量和，在靠近轴线的内侧点 A 处， 1τ 与 max2τ 方向一致，总应力达到最大值（图 19-19）。 因此该点是簧丝的危险点。其值为： ）（＝ ＋＝＋ 1 2 8 84 3 32max21max + = D d d PD d PD d P π ππτττ (d) Q Mn τ2max A 式中括号内第一项代表剪切的影响，当 d D ≥10 时， D d 2 与 1 相比很小，可略去不计。这样就把弹簧作为圆轴扭转 问题处理，于是（d）式简化为： 3max 8 d PD πτ = （ 由上式 19-23） 算出的最大剪应力是偏低的近似值。这是因为用直杆的扭转公式计算应力 时，没有考虑簧丝实际上是一个曲杆。这在 d D 较小时，即簧丝曲率较大时，会引起较大 的误差。另外，认为剪切引起的剪应力 1τ “均匀分布”于截面上，也是一个假定计算。 在考虑了簧丝曲率和剪应力并非均匀分布等两个因素后，求得计算最大剪应力比较精确 的计算公式如下： 3max 8PDkτ = dπ （19-24） 式中， 为修正系数k ，可用下式计算： 34 24 +ck＝ −c （19-25） 式中 d Dc = ，称为弹簧指数。 又称为曲度系数。表 19-1 中的 值，就是根据公式 （19-23 计算出来 可以看 =4 c 4 4.5 5 5.5 6 9 9.5 10 12 14 k k ） 的，从表中数值 出，c 越小则 k 越大。当 c 时， k =1.40。这 表明此时如仍按近似公式（19－21）计算应力，其误差将高达 40﹪。 表 19－1 螺旋弹簧的曲度系数 6.5 7 7.5 8 8.5 k 1. 1 1. 1. 1. 1. 1 1 1. 1 1. 1 1. 1 140 .35 31 28 25 23 .21 .20 18 .17 16 .15 14 .12 .10 簧丝的强度条件为： maxτ ≤ ][τ （19-26） 式中 maxτ 是按公式（19-24）求出的最大剪应力， ][τ 是材料的许用剪应力。工程上， 弹簧 材 金钢的常用 料为优质碳素钢或 60Mn，50crMn 等合 ，统称弹簧钢。这些材料的屈 图 19-19 t τ1 τ1 τ2max τ2max τ1 τ1 τ2max 57 服极限和强度极限都比较高，许用扭转剪应力 ][τ 也很高，一般取 ][τ ＝350～600MPa。 二、弹簧的变形 弹簧的变形是指弹簧在轴向压力或拉力作用下，整个弹簧的压缩量或伸长量。此变 形量往往是弹簧设计中很重要的一个方面。下面将用能量法计算弹簧的变形 λ 。 试验证明，在弹性范围内，外力 P 与变形 λ 成正比，即 P 与 λ 的关系是一条斜直线 [图 19-20（a）]。当外力从零开始缓慢平稳地增加到 最终值 P 时，外力 P 所作的功等于斜直线下的阴影面 积，即 λ O (a) ρ (b) 图 19-20 λ P λ P dρ Mn d λPW 2 1= 现在我们再计算在外力作用下，弹簧杆内储存的 变形能。在簧丝横截面上，距离圆心为ρ的任意点处 [图 19-20（b）]，扭转剪应力为： 44 16 ＝ 32 2 1 ＝ d PD d PD I M n p π ρ π ρρτ ρ = 由剪切变形能知道，在剪应力作用下，单位体积内的剪切变形能（比能）为： G u 2 2τ= 故得弹簧单位体积的变形能是： 82 2222 128 2 dG DP G u π ρτ ρ == （e） 弹簧的变形能为： ∫= υ υudU （f） 式中υ 为弹簧的体积。以 表示弹簧丝横截面的微分面积， 表示沿簧丝轴线的 微分长度，则 dA ds dsdAd ⋅=υ 式中 ρπρddA 2= ，其中 ρ 由 0 到 2 d ， s 由 0 到 。 l Dnl π= 式中 为簧丝的总长度； 为弹簧的有效圈数（即扣除两端与簧座接触部分后的圈数）。 l n 则（f）式应为： ∫∫= Dn d dsduU πρπρ 020 2 （g） 将（e）式代入（g）式： 4 32 020 2 82 22 42128 Gd nDPdsd dG DPU Dn d =⋅= ∫∫ πρπρρπ （h） 58 由于外力所作之功等于弹簧杆内储存的变形能，即 WU = 。故有 4 324 2 1 Gd nDPP =λ 由此得到： 4 3 4 3 648 Gd nPR Gd nPD ＝＝λ （19-27） 式中 2 DR = 是弹簧圈的平均半径。 此即为弹簧轴向变形的计算公式。该式表明，弹簧的变形量 λ 与轴向外力 P 成正比。 nR Gd nD GdC 3 4 3 4 648 =＝ （19-28） 则公式（19-27）可以写成： C P=λ (19-29) C 表示弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。 显然，C 越小，弹簧就越柔软。工程中减震用的弹簧正是利用弹簧柔度大的特点。 为了实现上述要求 ，设计弹簧时，就要在满足强度要求的条件下，增大簧圈的平均直 径 ，和增加弹簧的工作圈数 或缩小簧丝的直径 d 。 D n 例 19-5 油泵分油阀门弹簧工作圈数 ＝8，轴向压力n P ＝90N，簧丝直径 =2.25mm，簧圈外径 =18mm，弹簧材料的剪切弹性模量 ＝82 ，[d 1D G GPa ]τ ＝400 。 试校核簧丝强度，并计算其变形。 MPa 解（1）校核簧丝强度： 簧丝平均直径： dDD −= 1 ＝18－2.25＝15.75（mm） 弹簧指数： 107 25.2 75.15 <=== d Dc 由表 19-1 查得弹簧的曲度系数 k=1.21，则 ][)(380 25.2 75.1590821.18 33max τππτ <=× ××== MPa d PDk 该弹簧满足强度要求。 （2）计算弹簧变形： )(7.10 25.21082 875.159088 43 3 4 3 mm Gd nPD =×× ×××==λ 第七节 非圆截面等直杆的纯扭转 前面讨论的是圆截面杆的扭转，但在工程上还会遇到非圆截面杆的扭转问题。例如 内燃机曲轴的曲柄采用矩形截面，机械中常采用方轴作为传动轴。 59 当等截面直杆在两端平面内承受扭转力矩作用，且两端面可以自由变形，则其横截 面上只有剪应力。这种情况称为纯扭转或自由扭转。本节仅简单介绍非圆截面等直杆的 纯扭转。 一、矩形截面杆 如图 19-21（a）所示的矩形截面杆，若先在其表面上用一系列的纵横线画出许多小 方格，则在杆扭转后[图 19-21（b）]可以观察到如下的变形现象： (a) 图 19-21 (b) 其一，所有的横线都变成了曲线，说明横截面不再保持平面而发生翘曲，故等直圆 杆根据平面假设所推导出的应力和变形公式，不能用于非圆截面杆中。 其二，各小方格的边长没有改变，说明各横截面的翘曲程度相同，从而可推知横截 面上只有剪应力而无正应力。 其三，除靠近四条纵向棱边的小方格没有变形外，其它小方格的直角都发生了不同 程度的改变（即发生了剪应变），且在横截面长边中点处小方格的改变最大。从而可推 知横截面 上长边中点处剪应力最大，短边中点处剪应力次之，四角处剪应力为零。根 据进一步理论分析，得到矩形截面上剪应力分布规律如图 19-22（a）所示。 b h (a) τ1 (b) 图 19-22 τmax τ δ h 最大剪应力计算公式为： 60 2max hb M n ατ = （19-30） 式中α 是一个与比值 b h 有关的系数，其值见表 19-2。短边中点的剪应力 1τ 是短边上 的最大剪应力，并按以下公式计算。 max1 γττ ＝ （19-31） 式中 maxτ 是长边中点的最大剪应力。系数 γ 与比值 b h 有关，已列入表 19-2 中。 19-2 矩形截面杆扭转时的系数 γβα 和、 b h 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞ α 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 β 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 γ 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743 杆件两端相对扭转角ϕ 的计算公式是： n nn GI lM hbG lM ＝