复旦大学 2005～2006 学年第一学期期末考试试卷
课程名称： 数学分析（I） 课程代码：
开课院系： 数学科学学院
学生姓名： 学号： 专业：
题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总 分
得 分
1．计算下列各题：
（1）求曲线 在⎩⎨
⎧
=
=
ty
tx
2cos
,sin
4
π=t 所对应的点处的切线方程。
（2）求极限 。 xx
x
2cotlim
0→
（3）求函数 xxy
1
= （ ）的极值。 0>x
（4）求曲线 的凸性与拐点。 )7ln12(4 −= xxy
（5）计算不定积分 ∫ − )1(2 xx dx 。
2．讨论函数
⎩⎨
⎧
+
−= 为无理数
为有理数，
xxx
xxx
xf
),1(
),1(
)(
的连续性与可微性。
3．问函数
xx
xxf 1sin
1
2)( +
+= 在 上是否一致连续？请对你的结论说明理由。 )1,0(
4．设函数 在 点可导，且)(xf 1=x 1)1( =f ， 2)1( =′f ，求
n
n f
n
f
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
∞→ )1(
11
lim 。
5．设函数 满足)(xf
x
xxf )1ln()(ln += ，求 ∫ dxxf )( 。
6．证明：当 时成立 0
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
1． （本题满分 40 分，每小题 8 分）
（1） 0222 =−+ yx 。
（2）
2
1 。
（3） e
ex
ey
1
== 为极大值。
（4）曲线在 上为上凸，在]1,0( ),1[ +∞ 上为下凸， )7,1( − 为拐点。
（5） C
x
x
x
+−−− 1ln1 。
2．（本题满分 15 分） 在 点连续且可微，f 0=x 0)0( =f ， 1)0( =′f 。在其它点
不连续，因此也不可微。
3．（本题满分 10 分）不一致连续。
4．（本题满分 10 分） 。 2e
5．（本题满分 15 分） 。 Ceex xx +++− − )1ln()1(
6．（本题满分 10 分）证明：要证的不等式 1
)1ln(
11 <−+ xx （ ）等价于 0−−=′ xxg （ 0−+−=′ x
xxxf （ 0x
判别级数∑∞
=2 )(
1
n nf
的敛散性。
八．设 ∫= 40 cossin
π
xdxxI nn （ L,2,1,0=n ）。求级数 的和。 ∑∞
=0n
nI
《数学分析（II）》试题（答案）
2004.6
一．1．
42
1 π⋅ ； 2．
3
20 ； 3． ； 4． 0 )2/1,2/1(− ；
5． ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= xdzyxdyzdx
x
yzxdz yz lnln 。
二． 。 3=a
三． 是紧集。
四．一致收敛。
五．
4
3 。
六．因为 ，所以 单调增加，因此0)( >′ xf )(xf 1)1()( => fxf 。所以
1
1)( 2 +<′ xxf
（ ），于是 1>x
4
1
1
11
1
11)()1()(
1 21 21
π+=++<++<′+= ∫∫∫
∞+
dt
t
dt
t
dttffxf
xx 。
因此 存在，且 )(lim xf
x +∞→
4
1
1
11)()1()(lim
1 21
π+=++<′+= ∫∫
∞+∞+
+∞→ dtt
dttffxf
x
。
七． 发散。
八． )22ln( + 。
《数学分析（III）》试题
2005.1
一．在球面 上找点 ，满足 ， ， ，
使得该球面在点 处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222 =++ zyx ),,( 0000 zyxP 00 >x 00 >y 00 >z
0P
二．求球面 （ ）被平面2222 azyx =++ 0>a
4
az = 与
2
az = 所夹部分的面积。
三．计算二重积分 ( )∫∫ +
D
dxdy
x
yx
2
4
，其中 是由D x轴，直线 xy = 以及曲线
1=+ yx ， 2=+ yx 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分 ∫∫∫ ，其中 。
Ω
dxdydze z|| }1|),,({ 222 ≤++=Ω zyxzyx
五． 计算曲线积分
∫ +
L
dszy 222 ，
其中 L是球面 （ ）与平面2222 azyx =++ 0>a yx = 相交而成的圆周。
六．计算曲面积分 ，其中∫∫
Σ
++ dxdyzdzdxydydzx 222 Σ为锥面 在平面
与 （ ）之间的部分，定向为下侧。
222 zyx =+
0=z hz = 0>h
七．设 是右半平面ji λλ )()(2),( 24224 yxxyxxyyxA +−+= }0|),({ >= xyxD 上
的向量场，试确定常数 λ ，使得 为 上函数 的梯度场，并求出
。
),( yxA D ),( yxu
),( yxu
八．将 |（sin|)( xxf = ππ ≤≤− x ）展开为 Fourier 级数，并分别求级数∑∞
= −1 2 14
1
n n
，
( )∑
∞
= −1 22 14
1
n n
的和。
九．设 ∫ ∞+ += 1 2 )1(cos)( dttt xtxf ， ),( ∞+−∞∈x 。
（1）证明积分 ∫ ∞+ +1 2 )1(cos dttt xt 关于 x在 ),( ∞+−∞ 上一致收敛；
（2）证明 ； 0)(lim =+∞→ xfx
（3）证明 在 上一致连续。 )(xf ),( ∞+−∞
《数学分析（III）》试题答案
2005.1
一．（本题满分 10 分）
3
3
000 === zyx 。
二．（本题满分 10 分） 2
2
aπ 。
三．（本题满分 10 分）
2
15 。
四．（本题满分 10 分）
作球面坐标变换 ϕθϕθϕ cos,sinsin,cossin rzryrx === 得
∫∫∫∫∫∫ =
Ω
π ϕπ ϕϕθ
0
|cos|2
0
1
0
2|| sin deddrrdxdydze rz 。
由于 )1(2sinsinsin
2
cos2
0
cos
0
|cos| −=+= ∫∫∫ − rrrr ederderder ππ ϕπ ϕπ ϕ ϕϕϕϕϕϕ ，所以
ππ 2)1(4 1
0
|| =−= ∫∫∫∫
Ω
drerdxdydze rz 。
五．（本题满分 10 分） 22 aπ
六． （本题满分 10 分） 4
2
hπ− 。
七．（本题满分 10 分） 1−=λ ； C
x
yyxu +−= 2arctan),( 。
八．（本题满分 15 分） ∑∞
= −−= 1 2 14
2cos42)(
n n
nxxf ππ ， ππ ≤≤− x ；
2
1
14
1
1
2 =−∑
∞
=n n
； ( ) 2
1
1614
1 2
1
22
−=−∑
∞
=
π
n n
。
九．（本题满分 15 分）（1）因为
)1(
1
)1(
cos
22 tttt
xt
+≤+ ， ),( ∞+−∞∈x ， ，
而
),1[ ∞+∈t
∫ ∞+ +1 2 )1( 1 dttt 收敛，所以 ∫
∞+
+1 2 )1(
cos dt
tt
xt 关于 x在 ),( ∞+−∞ 上一致收敛。
（2）对于任意给定的 0>ε 。因为 ∫ ∞+ +1 2 )1(cos dttt xt 一致收敛，所以存在 1>A ，使
得
2)1(
cos
2
ε<+∫
∞+
A
dt
tt
xt （ ),( ∞+−∞∈x ）。由 Riemann 引理知 0
)1(
coslim
1 2
=+∫+∞→
A
x
dt
tt
xt ，
所以存在 ，当 时成立0>X Xx >
2)1(
cos
1 2
ε<+∫
A
dt
tt
xt ，于是当 时成立 Xx >
εεε =+<+++≤+ ∫∫∫
∞+∞+
22)1(
cos
)1(
cos
)1(
cos
21 21 2 A
A
dt
tt
xtdt
tt
xtdt
tt
xt 。
即 0
)1(
coslim
1 2
=+∫
∞+
+∞→ dttt
xt
x
。
（3）因为对于任意 ),(, 21 ∞+−∞∈xx ，成立
,||
41
1||
)1(
2
2
)1(
2
sin
2
sin2
)1(
2
sin
2
sin2
)1(
)cos(cos
)()(
211 221
1 2
21
1 2
1221
1 2
1221
1 2
21
21
xxdt
t
xx
dt
tt
txx
dt
tt
txxtxx
dt
tt
txxtxx
dt
tt
txtxxfxf
−=+−=
+
−
≤+
−+
≤
+
−+
=
+
−=−
∫
∫∫
∫
∫
∞+
∞+∞+
∞+
∞+
π
这可直接推出 在 上一致连续。 )(xf ),( ∞+−∞
浙公网安备 33021202002483