null第 5 节
模糊线性规划第 5 节
模糊线性规划§5.1 普通线性规划§5.1 普通线性规划 线性规划是最优化方法中理论完整、方法成熟、应用广泛的一个重要分支 . 单纯形解法单纯形解法大M单纯形解法大M单纯形解法 大M单纯形解法中的M为足够大的正数, 起“惩罚”作用, 以便排除人工变量. §5.2 模糊线性规划 §5.2 模糊线性规划 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的，必须借助模糊集的方法来处理.
模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的模糊最优解. null设普通线性规划的标准形式为 若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取
(bi – di , bi + di )
内的某一个值，这里的di＞0，它是决策人根据实际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线性规划.null把约束条件带有弹性的模糊线性规划记为null下面将约束条件和目标函数模糊化. 将(2)中带有弹性的约束条件(di＞0)的隶属函数定义为而将(2)中普通约束条件(di = 0)的隶属函数定义为
Ai (x) = 1, ti (x) = bi .由Ai (x)定义可知，∈[0, 1], 由Ai (x)定义可知，∈[0, 1], 设普通线性规划(1)和(3)的最优值分别为 f0, f1 , 记
d0 = f 0 - f 1 ,
则d0＞0, 它为模糊线性规划(2)中目标函数的伸缩指标，d0也可由决策人确定.null由Gi (x)定义可知，∈[0, 1],Gi (x)≥ t0 (x) + d0≤ f0, 要求模糊线性规划(2)的模糊最优解x*，则要求使所有约束条件及目标函数的隶属函数尽可能达到最大，即求x* 满足
Ai (x)≥及G(x)≥，
且使达到最大值,相当于求解普通线性规划问题 null 设普通线性规划(4)的最优解为x*, , 则模糊线性规划(2)的模糊最优解为x*, 最优值为t0 (x*). 所以，求解模糊线性规划(2)相当于求解普通线性规划(1), (3), (4).
此外，再补充两点说明：
① 若要使某个模糊约束条件尽可能满足，只需将其伸缩指标降低直至为0；
② 若模糊线性规划(2)中的目标函数为求最大值，或模糊约束条件为近似大(小)于等于，其相应的隶属函数可类似地写出. null例1 解模糊线性规划问题(P275)： 多目标线性规划 多目标线性规划 在相同的条件下,要求多个目标函数都得到最好的满足,这便是多目标规划. 若目标函数和约束条件都是线性的,则为多目标线性规划. 一般来说,多个目标函数不可能同时达到其最优值,因此只能求使各个目标都比较“满意”的模糊最优解. null例2 解多目标线性规划问题(P280)： null⑴解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为2，此时 f 2 = 8. null⑵解普通线性规划问题： 得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为20，此时f 1 = 10. null 线性规划问题⑴的最优解为
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2,
最优值为2,此时 f 2 = 8.
线性规划问题⑵的最优解为
x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0,
最优值为20，此时f 1 = 10. 同时考虑两个目标，合理的方案是使
f 1∈[ 2, 10 ], f 2∈[ 8, 20 ],
可取伸缩指标分别为
d1 = 10 - 2 = 8, d2 = 20 - 8 = 12.
如果认为目标 f 1更重要,可单独缩小d1; 如果认为目标 f 2更重要，可单独缩小d2. null ⑶再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通线性规划问题： 得最优解为
x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.
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