《高等数学》(北大第二版_)5-3空间中平面及直线的方程

nullnull①1.平面的方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故5-3 空间中平面与直线的方程null平面的点法式方程（1）可以化成 例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：即null 补例 求过三点即解 取该平面 的法向量为的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程null例2 已知一平面的方程为解于是平面的一般方程平面的一般方程 由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为n=(A, B, C). 例如, 方程3x-4y+z-9=0表示一个平面, n=(3,-4, 1)是这平面的一个法线向量. null 例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程.解先在平面上任意选定一点，比如（-3，1，1）.则有null平面的三点式方程已知不在同一直线上的三点此混合积的坐标形式为:null解所求的平面方程是null特殊情形• 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面;• 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴;• A x+C z+D = 0 表示• A x+B y+D = 0 表示• C z + D = 0 表示• A x + D =0 表示• B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.null解:因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程补例 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.null平面的截距式方程同理求得平面的截距式方程为两平面的夹角两平面的夹角 设平面1和2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面1和2的夹角 应满足null 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面垂直的条件 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2. 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:null解两平面垂直要求其向量垂直，即有null因此有补例 一平面通过两点垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和则所求平面故方程为 且null2.空间直线方程因此其一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，机动 目录 上页 下页 返回 结束 null例9 联立方程的解是(3,4,z),其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它平行于z轴.null代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线. 例10 联立方程 null 求通过点M0(x0, y0, z0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)//s , 从而有这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程或 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 方向向量 对称式方程null通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.直线方程为例如, 当直线方程为null此方程组就是直线的参数方程. 参数式方程:null例11 将一般方程解 先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得已知直线的两平面的法向量为是直线上一点 .化成标准方程及参数方程. null故所给直线的标准方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.两直线的夹角两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j满足null两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1  L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 则方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:直线与平面的夹角提示： 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足 null 方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足 直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量为 n=(A, B, C), 则 L//P  Am+Bn+Cp=0. null 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面束. 平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l为任意常数.null补例. 求直线在平面上的投影直线方程.解 过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程null内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式null2.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 :null1. 空间直线方程一般式对称式参数式 内容小结 null直线2. 线与线的关系直线夹角公式:null平面  :L⊥ L // 夹角公式：3. 面与线间的关系直线 L :习题5-3 2.3.7.8.10.12.13.15.