nullnull 2-8 定积分 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 S .1. 定积分的概念矩形面积梯形面积null解决步骤 :在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;(2)近似代替在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得(1) 分割null(3) 求和(4) 取极限.则曲边梯形面积null解 (1) 分割变力做功 在 插入n个分点 设质量为m的物体沿直线运动。假定它所受的力可
以
表
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示为它到初始点的距离s的函数f(s).求物体自s=a
到s=b外力所做的功W.null将闭区间[a,b]分成n个小区间:小区间的长度(2)近似代替 在每一个小区间 上任取一点 ,把 做为质点在小区间上受力的近似值,于是,力F在小区间 上对质点所做的功的近似值为null (3) 求和 把各小区间上力f 所做的功的近似值加起来,即得到在区间 上所做功的近似值,即 (4)取极限null定义各小区间的度为：并作和式；（称作积分和或黎曼和）.nullnullnull 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围
成的曲边梯形面积S等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积
分，即null 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 质点在变力f(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数f(s)在[a,b]上的定积分，即 可以证明:闭区间上的连续函数或单调函数或只有有限个第一类间断点的函数,在该闭区间上可积.(证明略)可积函数一定有界．null 关于定积分的概念，应注意两点:
(1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有null 如果在[a,b]上 ，此时
由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及
x轴所围成的曲边梯形位于x轴的
下方，则定积分 在几何
上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.定积分的几何意义： 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及
x轴所围成的曲边梯形的面积.nullnull例 利用定义计算定积分解将 [0,1] n 等分, 分点坐标为将闭区间[0,1]分成n个小区间:各小区间的长度为：null注null[注] 利用得两端分别相加, 得即null性质２ 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即 ２．定积分的性质 设下面函数 f (x) 及 g(x) 在 [a,b] 上可积.推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的积 分的代数和，即性质1null 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b],
则性质5 性质5 表明定积分对积分区间具有可加性，这个
性质可以用于求分段函数的定积分.性质4 被积函数的常数因子可以提到积分号外.性质3null 当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立.证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如则有null性质6性质7
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