nullnull1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。8.8 多元函数的极值null例(1)(２)(３)null2、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）证:不妨设函数在取极大值,则在邻域内任意点有特别,有一元函数在处取极大值,且关于x的偏导数存在,则必有同理,null若在处可微,且取极大值,则在点处的切平面方程是——切平面平行xoy平面使的点称为驻点。在偏导数存在条件下，极值点必为驻点，反之,驻点不一定是极值点。问
题
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：如何判定一个驻点是否为极值点？null定理2（充分条件） 当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；则nullnull例1求的极值.解:解之在处:故不是极值点.在处:且故为极小值点.极小值为null求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值null解null二、条件极值——拉格朗日乘数法例1要做一个表面积为 ，而容积最大的长方体，问边长如何取？解：设三边分别为x，y，z，则容积而即问题化为求的极值.得由实际问题知最大值存在,且驻点唯一,故取长方体容积最大.null例1转化为无条件极值,但有时这种转化并不容易,故介绍Lagrange乘数法.以二元函数为例分析:若函数在首先假设在P的某邻域内连续,在P处有一偏导数.由知,在P的某邻域内确定y是x的函数使该一元函数在取极值的必要条件即处取得极值,阶连续null而代入上式:记函数在P处取极值的必要条件为上述三式是函数在P处取极值的必要条件.是待定常数null拉格朗日乘数法:(2) 求L的驻点,即解方程组拉格朗日函数null(2) 求L的驻点,即解方程组解得的驻点即可能为所求极值点.注意: 拉格朗日乘数法常用于求实际问题的最值
问题,此时求得的驻点一定是所求点.null例如,用Lagrange乘数法解例1解:设则由实际问题知,当时容积最大.例1要做一个表面积为 ，而容积最大的长方体，问边长如何取？null例2求曲面与平面的交线上离原点的最近和最远距离．解：设点在交线上，则设则null所以最近距离为最远距离为null例３在曲面上求一点，使该点处的切平面在三坐标轴上的截距之积为最大．解：先求切平面在三坐标轴上的截距为曲面上任一点，则该点切平面方程化为截距式得三截距分别为令null设解出所求点为
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