高等数学中不等式的证明方法

周刊2009年第25期 复数z=x+iy圳坐标平面上的点p（x，y）。 这样学生会将复数z、R 2 中的有序实数对（x，y）、坐标平面上的点p（x，y）视为同义语， 把复数集、平面点集、二维空间R 2 的子集看成一回事。 由z圮（x，y），复变函数f（z）可看成关于x和y的函数，其极 限定义可与实二元函数的极限定义比较， 而实二元函数又是 在多元微分学中讲过，学生较为熟悉，这样进行比较，可加深 学生对复变函数极限念的进一步认识和理解。 通过比较， 可以发现复变函数的极限定义与实二元函数 极限定义相似成分较之实一元函数要多一些，似乎完全相似， 不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数， 复变 函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与 否。两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在。 2.导数概念的类比 在微分学中，对一元函数的导数是这样定义的：设函数y= f（x）在点x0的某一邻域内有定义（包括x0点），当自变量x在x0处 有增量Δx时，相应的，函数有增量，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），当Δx→ 0时，比值的极限 lim Δx→0 f（x0+Δx）-f（x0） Δx 存在，称此极限为函数y=f （x）在x0处的导数，记为f′（x0）。复变函数的导数定义为：设函数 w=f（z）在区域D内有定义，给自变量z∈D以增量Δz=Δx+iΔy，相 应的，函数有增量Δw=f（z+Δz）-f（z），如果当Δz以任何方式趋 近于零时，比值的极限 lim Δx→0 f（x0+Δx）-f（x0） Δx 存在，称此极限为函 数f（z）在点z的导数，记为f′（z）。 在讲解时，注意新旧知识的对 比，这样，既复习了旧知识，又为顺利接受新知识打开了大门。 （二）激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。 把一些抽象的概念形象化， 举出实例来刺激学生的学习 兴趣。例如：单连域、多连域的概念：一个区域B，如果在其中任 作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B，就称为单连域。一 个区域如果不是单连域就称为多连域。 为了帮助学生理解这 两个抽象的概念，可以举一个这样的例子：单连域好比一张完 整无缺的报纸，而多连域则好比是这张报纸被剪了若干个洞。 这样，学生会很轻松地理解这两个概念。 在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学 史。数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史，从中可 以再现数学大师们的思考问题的方式， 看到他们是如何探索 真理的，从而启发学生怎样去思考问题。 （三）培养学生自学的能力。 《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结 构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。 学生经过 《数学分析》的完整学习，方可具备相当扎实的函数论知识，并 具备一定的自学能力。 因此，依据自主探索学习的基本理论， 结合目前的教学现状， 在复变函数教学中教师可适合安排一 定的教学内容让学生进行自主探索学习， 以便收到更好的教 学效果，同时也便于不断提高学生自主探究、自我建构知识的 能力。 例如，“复数” 这节的内容大部分学生在中学阶段都学 过，“复平面上的点集” 的内容与数学分析中平面点集的内容 几乎是一样的，再讲这些内容，既浪费时间，学生听起来也不 会感兴趣。如果让学生自学，然后教师提出一些问题让学生去 讨论，去思考，他们会更集中精力去钻研，从而收到更好的学 习效果，并不断地提高自学能力。 在课堂上我们应坚持“教师是主导，学生是主体”的教学 原则，让学生在教师帮助下逐渐消化、理解知识，引导学生对 所学知识进行概括与总结，培养学生驾驭知识的能力，让学生 将知识不断地经过自己头脑的分析、 综合变成自己可以运用 自如的知识体系。教师可以利用章节的小结、习题课等形式训 练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考，多角度多方向 去观察，尽量探索出多种解法，让学生变“被动学习”为“主动 学习”，从而掌握学习的主动性，并逐步培养学生一定的自学 能力和提出问题、分析问题、解决问题的综合能力。 三、努力提高教学质量 复变函数的教学过程是一个不断摸索的开发过程， 教师 需要具备扎实的专业知识背景， 在此基础上教学手段的多样 化，教学内容的兴趣化，以及教学器材的现代化都是提高教学 效果的手段。只有充分调动教师的聪明才智、调动广大学生的 积极性和创造性，才能够取得更好的教学效果。 教学中教师应注意把教书和育人融为一体。 教师首先要 以身作则，为人师 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ，在教学中认真处理好每一个问题，认真 回答学生提出的每一个问题，在把握好接受性的原则下，对疑 难问题不回避，以严谨治学的精神影响学生，培养学生勤奋读 书、刻苦钻研、理论联系实际、求实严谨的学风。其次对学生要 严格要求， 对于学生在学习中暴露出的一些不正确思想和做 法，要及时指出，正确引导，把学生的注意力和精力引导到学 习功课上来。只要能充分调动学生的学习积极性，任何学习上 的困难都可以克服，复变函数的教学质量就可以得到提高。 参考文献： ［1］钟玉泉.复变函数.北京.高等教育出版社.1984.3. ［2］姜淑珍 .关于复变函数论教学方法的思考［J］.长春师 范学院学报，2004，（2）. ［3］姜涛 .改革高师数学教育培养创新人才［J］.数学教育 学报，2000，（1）. ［4］杨春宏 .高师数学专业课程体系分析与探索［J］.数学 教育学报，2000，（2）. 摘 要：不等式的证明在高等数学通用教材中较多，本文 就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路。 关键词： 高等教学 不等式证明 基本方法 不等式证明是高等数学中的常见问题，在各类考试中经 常出现。 证明不等式没有固定的模式，证法因题而异，灵活多 变，技巧性强，因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问 题之一。但它也有一些基本的常用方法。我们要熟练掌握不等 式的证明技巧，就必须了解这些基本方法。 1.利用微分中值公式证明不等式 中值定理特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不 等式的证明中有着重要作用，通过对不等式结构的分析，构造 某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明的目的。 其 基本思想是：（1）根据题目给定的不等式，选取一个适当的辅 助函数 f（x）和区间［a，b］；（2）当函数 f（x）在区间［a，b］上满足 中值定理的条件，利用中值公式；（3）利用得到的公式结合题 设条件，对写出的公式进行适当的变化，得到所证不等式。 （南京邮电大学 吴江职业技术学院 基础课部，江苏 吴江 215200） 高 等 数 学 中 不 等 式 的 证 明 方 法 张 昊 ○ 数学教学与研究 88 2009年第25期周刊 例1：若0＜y＜x，及p＞1，求证：py p-1 （x-y）＜x p -y p ＜px p-1 （x-y）。 证明：令f（t）=t p ，显然f（t）=t p 在［y，x］上满足拉格朗日中值定 理的条件，于是有 f（x）-f（y） x-y =f′（ξ）（0＜y＜ξ＜x），即 x p -y p x-y =pξ p-1 。 因为0＜y＜ξ＜x，p-1＞0，所以y p-1 ＜ξ p-1 ＜x p-1 。 故：py p-1 （x-y）＜x p -y p ＜px p-1 （x-y）。 例2：设a＞e，0＜x＜y＜ π 2 ，求证：a y -a x ＞（cosx-cosy）a x lna。 证明：令f（t）=a t ，g（t）=cost，由题设条件知，f（t）、g（t）在［x， y］（0＜x＜y）上满足柯西中值定理的条件，于是有： f（x）-f（y） g（x）-g（y） = f′（ξ） g′（ξ） 。 即 a x -a y cosx-cosy = a ξ lna -sinξ （0＜x＜ξ＜y＜ π 2 ）。 故a y -a x =（cosx-cosy）a ξ lna 1 sinξ ＞（cosx-cosy）a ξ lna＞（cosx- cosy）a x lna。 命题得证。 2.利用函数单调性证明不等式 函数不等式是判断函数之间的大小关系，基于这种思想， 可以利用函数单调性证明不等式。 其基本思想是：（1）将不等 式两边的函数移到同一端，并作辅助函数f（x）；（2）利用函数f （x） 一阶导数的符号判断函数在所给区间上的单调性；（3）根 据函数f（x）的单调性，得到所求不等式。 例3：证明定理：设（1）函数φ（x）及ψ（x）可微分n次； （2）φ （k） （x0）=ψ （k） （x0），（k=0，1，2，…，n-1）； （3）当时x＞x0，φ （n） （x）=ψ （n） （x）。 则当x＞x0时，有不等式φ（x）＞ψ（x）。 证明：设F（x）=φ（x）-ψ（x），则由于φ （n） （x）=ψ （n） （x），因此F （n） （x）=φ （n） （x）-ψ （n） （x）＞0时是严格单调增大的。 由条件（2）得，F （n-1） （x0）=φ （n-1） （x0）-ψ （n-1） （x0）=0，因此F （n-1） （x）＞F （n-1） （x0）=0（x＞x0）。 由此又知F （n-2） （x）在x＞x0时是严格增大的，再由条件（2）知 F （n-2） （x0）=φ （n-2） （x0）-ψ （n-2） （x0）=0， 故F （n-2） （x）＞F （n-2） （x0）=0（x＞x0）。 依次类推，最后得F（x）＞F（x0）=0（x＞x0），即φ（x）＞ψ（x）（x＞x0）。 例4：证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+ πa。 分析：本题考查的是函数的单调性问题。 证明：设F（x）=xsinx+2cosx+πx 则F′（x）=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx， F″（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx。 当0＜x＜π时，可知F″（x）=-xsinx＜0。 因此，F′（x）为单调递减的函数，且F′（x）＞F′（π）=0。 进而知在0＜x＜π内F（x）单调增加，从而当0＜a＜x＜π时F（x） ＞F（a）=0。 因此当0＜a＜b＜π时，F（b）＞F（a）=0，即bsinb+2cosb+πb＞asi- na+2cosa+πa。 3.利用函数的最值证明不等式 利用函数的最值证明不等式，也是一种行之有效的方法。 若函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，根据最值定理，函数必在该 区间上取得最大值和最小值，且有mmin≤f（x）≤Mmax（a≤x≤b）。 例5：若p＞1，证明： 1 2 p-1 ≤x p +（1-x） p ≤1，x∈［0，1］。 分析：看到有 1 2 ，考虑当x= 1 2 时，x p +（1-x） p =0。 证明：设f（x）=x p +（1-x） p ，x∈［0，1］， 则f′（x）=px p-1 -p（1-x） p-1 。 令f′（x）=0，得x= 1 2 。 又因为f（ 1 2 ）= 1 2 p-1 （p＞1），f（0）=1，f（1）=1， 故maxf（x）=1，minf（x）= 1 2 p-1 。 所以 1 2 p-1 ≤x p +（1-x） p ≤1。 4.利用函数凹凸性证明不等式 运用曲线的凹凸性证明不等式的基本思想方法是：（1）构 造辅助函数 f（x）；（2）判定函数 f（x）在指定区间上的凹凸性； （3）根据曲线凹凸性的定义，导出不等式。 例6：证明： x+y 2∈ ∈ n ＜ x n +y n 2 ，其中：x＞0，y＞0，且x≠y，n＞1。 分析：不等式两端出现 x+y 2≠ ∈ n 和 x n +y n 2 ，联系到函数的凹 凸性定义。 证明：设f（t）=t n ，t∈（0，+∞），则f′（t）=nt n-1 ，f″（t）=n（n-1）t n-2 。 当n＞1时，坌t∈（0，+∞），有f″（t）=n（n-1）t n-2 ＞0。 f（t）在区间t∈（0，+∞）内是凹函数，根据凹凸性的定义， 坌x，y∈（0，+∞），且x≠y，有f（ x+y 2 ）＜ f（x）+f（y） 2 ， 即 x+y 2≠ ∈ n ＜ x n +y n 2 。 5.利用积分中值定理进行证明 定积分的中值定理在证明含有定积分的不等式时是非常 有用的。 例7：设函数 f（x）在 ［0，1］上连续且递减 ，证明 ：当0＜λ＜1 时，蘩 λ 0f（x）dx≥λ蘩 1 0f（x）dx。 分析：看到含积分的不等式，考虑定积分中值定理。 证明：利用定积分中值定理， 蘩 λ 0f（x）dx-λ蘩 1 0f（x）dx =蘩 λ 0f（x）dx-λ蘩 λ 0f（x）dx-λ蘩 1 λf（x）dx =（1-λ）蘩 λ 0f（x）dx-λ蘩 1 λf（x）dx =（1-λ）λf（ξ1）-（1-λ）λf（ξ2） =（1-λ）λ（f（ξ1）-f（ξ2）） 其中0≤ξ1≤λ≤ξ2≤1。 又因f（x）递减，则有f（ξ1）≥f（ξ2）， 又0＜λ＜1，1-λ＞0，因此（1-λ）λ（f（ξ1）-λf（ξ2））≥0， 即蘩 λ 0f（x）dx≥λ蘩 1 0f（x）dx。 参考文献： ［1］同济大学应用数学系 .高等数学（ 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf ）［M］.北京：高 等教育出版社，第5版. ［2］刘玉琏，傅沛仁 .数学分析讲义 .北京：人民教育出版 社，1981. ［3］赵树嫄.经济应用数学基础———微积分.中国人民大学 出版社，2007. ［4］吉米多维奇.数学分析习题集题解.山东科学技术出版 社，2003. ○ 数学教学与研究 89