数列求和的几种常用方法 数列求和是数列部分的重要内容,题型复杂多变,我们根据不同题型
总结
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出一些方法.它对数列的学习是有好处的. 1、 反序相加法 例1 求数列{n}的前n项和. 解 记Sn=1+2+…+(n-1)+n, 将上式倒写得: Sn=n+(n-1)+…+2+1 把两式相加,由于等式右边对应的项和均为n+1, ∴2 Sn=n(n+1),即Sn= n(n+1) 说明 此法亦称为高斯求和. 2、 错位相减法 若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{anbn}的前n项和可用错位相减法. 例2 求和S = 解 由原式乘以公比 得: Sn= 原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并, ∴Sn- Sn= + 即 Sn=3 一般地, 当等比数列{bn}的公比为q, 则错位相减的实质是作“Sn- qSn”求和. 3、 累加法 例3 求和Sn=
分析
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由 得 ,令k=1、2、3、…、n得 2 －1 =3·1 ＋3·1＋1 3 －2 ＝3·2 ＋3·2＋1 4 －3 ＝3·3 ＋3·3＋1 …… （n+1） －n =3n +3n+1 把以上各式两边分别相加得： （n+1） －1=3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n =3Sn+ n(n+1)+n 因此，Sn＝ n(n+1)(2n+1) 想一想 利用此法能否推导自然数的立方和公式： 点拨 利用(k+1) =k +4k +6k +4k+1进行累加. 归纳 推导自然数的方幂和 公式的方法。 4、 裂项法 从一般项入手，寻找规律，有时往往把一般项折项，使 得折项后能相消或归结于基本类型。 (1) 裂项分组 例4 求数列: 的前n项的和. 分析 从一般项入手，记a = ， 则 an＝ ＝ . 可见，每一项都可分成一个常数项与一个等比数列的和，若记原数列的前n项为Sn，则 Sn＝ (2) 裂项相消 例5 求和：S ＝ 分析 从一般项考虑知： ， 所以将各项裂项后，前后的相邻项可以相消。 即 S ＝ 例5 求证 tgxtg2x+tg2xtg3x+…+tg(n-1)xtgnx= -1 观察 观察式子的结构特点,左边各项的两因式的角之差 为定值x,从一般项入手,能否使之裂项出现这两角的差? 点拨 考虑两角差的正切函数公式的变式. 事实上,由tg(k-1)xtgkx= -1, 令k=2,3,…,n.各式相加即得结论.
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