数学运算重难错专项班讲义

华图网校 客服电话：400-678-1009 1 行政职业能力测验内部辅导资料 数学运算“重”“难”“错” 专项精讲班讲义 华图教研中心师资培训学院 院长 数量关系与资料分析教研室 主任 李委明 华图网校 客服电话：400-678-1009 1 讲义结构及内容安排 l 专题一 余数与同余 l 专题二 浓度问题 l 专题三 牛吃草问题 l 专题四 统筹问题 l 专题五 时钟问题 l 专题六 等差数列 l 专题七 行程问题 l 专题八 排列组合 l 专题九 概率问题 l 专题十 容斥原理 强烈建议：请网络班学员将电子讲义打印为纸版进行学习。 后期答疑服务及网上信息 1 专家答疑：http://bbs.htexam.com 2 个人邮箱：lwm2005@gmail.com 3 个人博客：http://blog.sina.com.cn/lwmgk 4 求职指南：http://bbs.qzzn.com 5 新浪题库：http://shiti.edu.sina.com.cn 参考书目 《数量关系模块宝典》第五版 《资料分析模块宝典》第五版 （bbs.htexam.com上面有两本宝典勘误专帖） 华图网校 客服电话：400-678-1009 2 专题一 余数与同余 基础核心公式 余数基本关系式：被除数÷除数=商…余数（0≤余数＜除数） 余数基本恒等式：被除数=除数×商＋余数 解题关键 1、掌握基础核心公式； 2、熟练代入法、试值法、赋值法； 3、典型题目学会用 口诀 小学生乘法口诀表下载关于乘法口诀表的题目党史口诀下载一建市政口诀下载健身气功八段锦功法口诀下载 。 【例 1】（内蒙古 2009-15）a除以 5余 1，b除以 5余 4，若 3a>b，那么 3a-b除以 5余 几？ A.1 B.2 C.3 D.4 【例 2】（北京社招 2009-15）某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人， 按每五个人一组分也多一个，按每六个人一组分还是多一个，该车间至少有多少名工人？ A.31 B.41 C.61 D.122 【例 3】（江西 2009-43）学生在操场上列队做操，只知人数在 90～110之间。如果排成 3排则不多不少；排成 5排则少 2人；排成 7排则少 4人；则学生人数是多少？（ ） A. 102 B. 98 C. 104 D. 108 【例 4】（浙江二类 2007-21）小张在做一道除法题时，误将除数 45看成 54，结果得到 的商是 3，余数是 7。问正确的商和余数之和是（ ）。 A. 11 B.18 C.26 D.37 【例 5】（北京社招 2006-14）两个整数相除，商是 5，余数是 11，被除数、除数、商及 余数的和是 99，求被除数是多少？（ ） A.12 B.41 C.67 D.71 【例 6】（山东 2006-8）有四个自然数 A、B、C、D，它们的和不超过 400，并且 A除 以 B商是 5余 5，A除以 C商是 6余 6，A除以 D商是 7余 7。那么，这四个自然数的和是 （ ）。 A. 216 B. 108 C. 314 D. 348 【例 7】（北京 2007应届-11）一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是 8。 问被除数、除数、商以及余数之和是多少？ A.98 B.107 C.114 D.125 同余问题核心口诀 “余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期” 1.余同：“一个数除以 4余 1，除以 5余 1，除以 6余 1”，则取 1，表示为 60n+1 华图网校 客服电话：400-678-1009 3 2.和同：“一个数除以 4余 3，除以 5余 2，除以 6余 1”，则取 7，表示为 60n+7 3.差同：“一个数除以 4余 1，除以 5余 2，除以 6余 3”，则取-3，表示为 60n-3 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的 60n）都满足条件。 注意：n的取值范围为整数，即可以取负值，也可以取零值。 【例 8】（浙江 2005-13）自然数 P满足下列条件：P除以 10的余数为 9，P除以 9的余 数为 8，P除以 8的余数为 7。如果：100＜P＜1000，则这样的 P有几个?（ ） A.不存在 B.1个 C.2个 D.3个 【例 9】有一群人，想平均分组，如果每组 21个人，那么还差 1个人，如果每组 35个 人，那么还差 15个人。请问：如果每组 15个人的话，还差多少人？ A.1个 B.5个 C.10个 D.14个 【例 10】（国 2006一类-50、国 2006二类-34）一个三位数除以 9余 7，除以 5余 2，除 以 4余 3，这样的三位数共有（ ）。 A. 5个 B. 6个 C.7个 D.8个 【例 11】（浙江 2010-77）有一个自然数“x”，除以 3的余数是 2，除以 4的余数是 3， 问“x”除以 12的余数是多少？ A.1 B.5 C.9 D.11 【例 12】一个数除以 5余 3，除以 6余 4，除以 7余 1，这样的数在 100-1000之间有多 少个？ A. 5个 B. 6个 C.7个 D.4个 【例 13】一个自然数，被 7除余 2，被 8除余 3，被 9除余 1，1000以内一共有多少个 这样的自然数？ A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 专题二 浓度问题 基础知识 溶液＝溶质+溶剂；浓度＝溶质÷溶液；溶质＝溶液×浓度；溶液＝溶质÷浓度 【例 1】（山西 2009-97）在一杯清水中放入 10克盐，然后再加入浓度为 5％的盐水 200 克，这时配成了浓度为 2.5％的盐水，问原来杯中有清水多少克？ A.460克 B.490克 C.570克 D.590克 【例 2】（安徽 2009-11）当含盐 30％的 60千克盐水蒸发为含盐 40%的盐水时，盐水重 量为多少千克？（ ） A45 B50 C55 D60 华图网校 客服电话：400-678-1009 4 【例 3】（北京应届 2008-14）甲杯中有浓度为 17％的溶液 400克，乙杯中有浓度为 23 ％的溶液 600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中， 把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。现在两杯溶液的浓度是（ ） A.20％ B.20.6％ C.21.2％ D.21.4％ 【例 4】（江西 2009-41）在浓度为 40％的酒精中加入 4千克水，浓度变为 30％，再加 入 m千克纯酒精，浓度变为 50％，则m为多少千克？（ ） A. 8 B. 12 C. 4.6 D. 6.4 【例 5】（上海 2005-7）在 20℃时，100克水中最多能溶解 36克食盐。从中取出食盐水 50克，取出的溶液的浓度是多少？ A.36.0% B.18.0% C.26.5% D.72.0% 【例 6】在某温度下，将 27克某种溶质放入 98克水中，恰好配成饱和溶液。从中取出 1/5的溶液，加入 3克溶质和 10克水，请问此时浓度变为多少？ A.21.6% B.22.1% C.22.5% D. 23.4% 【例 7】（湖南 2009-113）有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水。 先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶。请 问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？（ ） A. 无法判定 B. 甲桶糖水多 C. 乙桶牛奶多 D. 一样多 多次混合问题核心公式： 1. 设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒出M0克盐水，再倒入M0克清水： 0 0 N n M Mc c M 骣 - ÷ç= ÷ç ÷ç桫 （多次混合问题第 I型， 0c 为原浓度， nc 为新浓度） 2. 设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒入M0克清水，再倒出M0克盐水： 0 0 N n Mc c M M 骣 ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç +桫 （多次混合问题第 II型， 0c 为原浓度， nc 为新浓度） 【例 8】(安徽 2008-10)从装满 1000克浓度为 50%的酒精瓶中倒出 200克酒精，再倒入 蒸馏水将瓶加满。这样反复三次后，瓶中的酒精浓度是多少？（ ） A.22.5% B.24.4% C.25.6% D.27.5% 【例 9】（江苏 2007A-14）杯中原有浓度为 18%的盐水溶液 100ml，重复以下操作 2次， 加入 100ml水，充分配合后，倒出 100ml溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少？ A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6% 抽象比例型浓度问题 在“浓度问题”中，有一类题型不涉及具体溶液总量，只涉及溶质与溶剂的相对比例。 这类问题非常抽象，我们一般令其中那个“不变量”或者“相等量”为一特值，从而简化计 算。 华图网校 客服电话：400-678-1009 5 【例 10】（山东 2008-43、广东 2005上-13）两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子 中酒精与水的体积比是 3∶1，另一个瓶子中酒精与水的体积比是 4∶1，若把两瓶酒精溶液 混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？（ ） A.31∶9 B.7∶2 C.31∶40 D.20∶11 【例 11】（四川，2008-13）木材原来的水分含量为 28%，由于挥发，现在的水分含量 为 10%，则现在这些木材的重量是原来的？（ ） A．50% B. 60% C. 70% D. 80% 【例 12】（广东 2008-12）一杯溶液，每次加同样多的水，第一次加水后浓度为 15%， 第二次加水后浓度为 12%，请问第三次加水后浓度为多少？ A.8% B.9% C.10% D.11% 【例 13】一杯溶液浓度为 5%，蒸发 V升的水之后浓度变为 6%，请问再蒸发 2V升的 水之后浓度变为多少？ A.7.5% B.8% C.9.6% D. 10% 专题三 牛吃草问题 基本公式 核心公式：y＝（N－x）×T 1. “y”代表原有存量（比如“原有草量”）； 2. “N”代表促使原有存量减少的外生变量（比如“牛数”）； 3. “x”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）； 4. “T”代表存量完全消失所耗用时间。 三种变形 1. 有牛有羊时，需要将牛全部转换为羊，或者将羊全部转化为牛，再代公式计算； 2. 如果算得 x为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的； 3. 出现“M头牛吃 W亩草”时，N用“M/W”代入，此时 N代表单位面积上的牛数。 【例 1】有一块牧场，可供 9头牛吃 3天，或者 5头牛吃 6天。请问多少头牛能够 2天 吃完？ A.12 B.13 C.14 D.15 【例 2】（江苏 2009-78）有一池泉水，泉底均匀不断涌出泉水。如果用 8台抽水机 10 小时能把全池水抽干或用 12台抽水机 6小时能把全池水抽干。如果用 14台抽水机把全池水 抽干，则需要的时间是（ ） A. 5小时 B. 4小时 C. 3小时 D. 5.5小时 【例 3】（广东 2006上-14）有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一 段时间后，用 2台抽水机排水，则用 40分钟能排完；如果用 4台同样的抽水机排水，则用 16分钟排完。问如果 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 用 10分钟将水排完，需要多少台抽水机？（ ） A.5台 B.6台 C.7台 D.8台 华图网校 客服电话：400-678-1009 6 【例 4】有一口很深的水井，连续不断涌出泉水。使用 17架抽水机来抽水，30分钟可 以将水井抽干。若使用 19架抽水机，则 24分钟就可以将水井抽干。现在有若干架抽水机在 抽水，6分钟后，撤走 4架抽水机，再过 2分钟后，水井被抽干。那么原来有抽水机多少架？ A、25 B、30 C、35 D、40 【例 5】（国家 2009-118）一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市 12万人 20 年的用水量。在该市新迁入 3万人之后，该水库只够维持 15年的用水量。市政府号召节约 用水，希望能将水库的使用寿命提高到 30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水 才能实现政府制定的目标？（ ） A. 2/5 B. 2/7 C. 1/3 D. 1/4 【例 6】有一水池，在某次大雨后灌满了一池水，水在池底以均匀的速度渗走进入深层 地下水。如果想把水池的水抽干，8台抽水机需要 3小时，5台抽水机需要 4小时。如果想 在 6小时之内抽干水，至少需要多少台抽水机？ A.4 B.3 C.2 D.1 【例 7】有一个水池装满水，池底有一个打开的出水口。已知 5台抽水机 20小时能将 水抽干，8台抽水机 15小时能将水抽干。请问，如果只靠出水口排水，需要多少天才能排 干水？ A.40 B.45 C.50 D.60 【例 8】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供 16头牛吃 20天，或 者供 80只羊吃 12天。如果一头牛一天的吃草量相当于 4只羊一天的吃草量，那么这片草地 可供 10头牛和 60只羊一起吃多少天？ A.6天 B.8天 C.12天 D.15天 【例 9】有一块草地，每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供 4头牛和 8只羊吃 8 天，或者供 7头牛和 6只羊吃 6天，或者 12头牛和 4只羊吃 4天。那么这片草地可供 10 头牛和 16只羊吃几天？ A.4 B.3 C.2 D.1 【例 10】有三块草地，面积分别为 5、6和 8公顷。草地上的草一样厚，而且长的一样 快。第一块草地可供 11头牛吃 10天，第二块草地可供 12头牛吃 14天。问第三块草地可供 19头牛吃多少天？ A.8 B.9 C.10 D.12 【例 11】（江苏 2008C-19）在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客， 为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好 票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出 10个售票窗口，5小时可使大厅内所有 旅客买到票；如果开 12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售 票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的 1.5倍，在 2小时内使大厅中所有旅 客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（ ）。 A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 华图网校 客服电话：400-678-1009 7 专题四 统筹问题 一、时间安排问题 【例 1】（山西 2009-105）妈妈给客人沏茶，洗开水壶需要 1分钟，烧水需要 15分钟， 洗茶壶需要 1分钟，洗茶杯需要 1分钟，拿茶叶需要 2分钟，依照最合理的安排，要几分钟 就能沏好茶？ A16分钟 B17分钟 C18分钟 D19分钟 【例 2】（河北选调 2009 -59）星期天，小明的妈妈要做下列事情：擦玻璃要 20分钟， 收拾厨房要 15分钟，拖地要 15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要 10分钟，打开全自动洗衣 机洗衣服要 40分钟，晾衣服要 10分钟，干完所有这些事情至少需要多少分？ A.110 B.95 C.70 D.60 【例 3】（山西 2009-98）A、B、C、D四人同时去某单位和总经理洽谈业务，A谈完要 18分钟，B谈完要 12分钟，C谈完要 25分钟，D谈完要 6分钟。如果使四人留住这个单 位的时间总和最少，那么这个时间是多少分钟？ A.91分钟 B.108分钟 C.111分钟 D.121分钟 二、拆数求积问题 拆数求积问题核心法则 将一个正整数（≥2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么 我们应该这样来拆数：全部拆成若干个 3和少量 2（0个 2、1个 2或者 2个 2）之和即可。 【例 4】（山西 2009-104）将 14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出 的最大乘积是多少？ A72 B96 C144 D162 【例 5】（河北选调 2009-55）将 19拆成若干个自然数的和，这些自然数的积最大为多 少？ A252 B729 C972 D1563 【例 6】将 9拆成若干自然数之和，再求这些数之乘积，可得最大乘积为多少？ A27 B25 C24 D20 三、货物集中问题 【例 7】（国 2006一类-48、国 2006二类-37）在一条公路上每隔 100公里有一个仓库， 共有 5个仓库，一号仓库存有 10吨货物，二号仓库存有 20吨货物，五号仓库存有 40吨货 物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1公里需要 0.5元运输费，则最少需要多少运费？（ ） 华图网校 客服电话：400-678-1009 8 A.4500元 B.5000元 C.5500元 D.6000元 “非闭合”货物集中问题 核心法则 在非闭合的路径上（包括线形、树形等，不包括环形）有多个“点”，每个点之 间通过“路”来连通，每个“点”上有一定的货物，需要用优化的方法把货物集中到 一个“点”上的时候，通过以下方式判断货物流通的方向： 判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重 的一侧。 特别提示 1. 本法则必须适用于“非闭合”的路径问题中； 2. 本法则的应用，与各条路径的长短没有关系； 3. 实际操作中，我们应该从中间开始分析，这样可以更快得到答案。 【例 8】(安徽，2008-15)某企业有甲、乙、丙三个仓库，且都在一条直线上，之间分 别相距 1千米、3千米，三个仓库里面分别存放货物 5吨、4吨、2吨。如果把所有的货物 集中到一个仓库，每吨货物每千米运费是 90元，请问把货物放在哪个仓库最省钱？（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.甲或乙 【例 9】如图，姚乡长召集甲、乙、丙、丁、戊、己六个村的干部参加会议，这六个村 子每两个村子之间的间隔和每个村参加会议的人数如图所示。请问姚乡长应该在哪个村子召 集会议可以使所有参加会议的人所走路程和最小？（ ） A.乙 B.丙 C.丁 D.戊 四、空瓶换酒问题 【例 10】（国 2006二类-33）如果 4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15个矿泉 水空瓶，不交钱最多可以喝矿泉水多少瓶？（ ） A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶 【例 11】（陕西 2008-15）某商店规定每 4个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了 24 瓶啤酒，他家前后最多能喝多少瓶啤酒？（ ） A.30 B.31 C.32 D.33 华图网校 客服电话：400-678-1009 9 【例 12】（湖南 2009-112）超市规定每 3个空汽水瓶可以换一瓶汽水,小李有 11个空汽 水瓶,最多可以换几瓶汽水?（ ） A.5瓶 B.4瓶 C.3瓶 D.2瓶 五、统筹工效问题 【例 13】（河北 2009-107）服装厂的工人每人每天可以生产 4件上衣或 7条裤子，一件 上衣和一条裤子为一套服装。现有 66名工人生产，每天最多能生产多少套服装？( ) A.168 B.188 C.218 D.246 【例 14】甲一天可以生产 9件上衣或 7条裤子，乙一天可以生产 7件上衣或 6条裤子， 丙一天可以生产 5件上衣或者 5条裤子。一件上衣和一条裤子为一套服装，那么甲、乙、丙 13天最多可以生产多少套服装？ A.121 B.131 C.141 D.151 六、优化构造问题 【例 15】小华有糖 300克，他有一架天平及重量分别为 30克和 5克的两个砝码。问： 小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重 100克，另一分重 200克？ A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【例 16】（天津 2008-9）如果售货员将一袋袋的水饺摆成 10堆，其中 9堆是合格的， 每袋 500克；一堆是份量不足的，每袋 450克，从外形上看，分不出哪一堆是 450克的， 执法人员最少称几次就可发现份量不足的那一堆？ A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【例 17】（浙江 2007二类-15）8个一元真币和 1个一元假币混在一起，假币与真币外 观相同，但比真币略重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这 9个硬币中找出假币？ A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 专题五 时钟问题 “时钟问题”基本知识点 1. 设时钟一圈分成了 12格，则时针每小时转 1格，分针每小时转 12格。 2. 时针一昼夜（24小时）转 2圈，分针一昼夜转 24圈。 3. 钟面上每两格之间为 30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的两种情况。 4. 时针与分针一昼夜重合 22次，垂直 44次，成 180°也是 22次。 【例 1】（山西 2009-108）清晨 5点时，时钟的时针和分针的夹角是多少度？ A.30度 B.60度 C.90度 D.150度 【例 2】（江西 2008-38）小李开了一个多小时会议，会议开 华图网校 客服电话：400-678-1009 10 始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针和分针恰好互换了位置。问这次会议大约 开了 1小时多少分？（ ） A．51 B．47 C．45 D．43 核心提示 钟面问题很多本质上是追及问题，可选用公式 T＝T0+ 1 11 T0，其中：T为追及时间， 即分针和时针要“达到条件要求”的真实时间。T0为静态时间，即假设时针不动，分针 和时针“达到条件要求”的时间。 【例 3】（四川 2008-12）从钟表的 12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重 叠中间相隔的时间是（ ） A．43分钟 B. 45分钟 C. 49分钟 D. 61分钟 【例 4】（国 2006一类-45、国 2006二类-45）从 12时到 13时，钟的时针与分针可成 直角的机会有多少次?（ ） A.1次 B.2次 C.3次 D.4次 【例 5】（广东 2008年真题）时针与分针在 5点多少分第一次垂直？ A.5点 10分 B.5点 10 11 10 分 C.5点 11分 D.5点 12分 【例 6】（福建、辽宁、海南联考 2009-96）现在时间为 4点 13 7 11 分，此时时针与分针 成什么角度？ A.30度 B.45度 C.90度 D.120度 核心提示 当时钟问题涉及到“坏表”时，其本质是“比例问题”。解题的关键是抓住“ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 比”，按比例计算。 【例 7】（国 2005二类-46）有一只钟，每小时慢 3分钟，早晨 4点 30分的时候，把钟 对准了标准时间，则钟走到当天上午 10点 50分的时候，标准时间是多少?（ ） A.11点整 B.11点 5分 C.11点 10分 D.11点 15分 【例 8】（国 2005一类-46）一个快钟每小时比标准时间快 1分钟，一个慢钟每小时比 标准时间慢 3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在 24小时内，快钟显示 10点整时， 慢钟恰好显示 9点整。则此时的标准时间是多少？（ ） A.9点 15分 B.9点 30分 C.9点 35分 D.9点 45分 【例 9】（河北 2009-113）一个快钟每小时比标准时间快 3分钟，一个慢钟每小时比标 准时间慢 2分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在 24小时内，快钟显示 11点整时， 慢钟显示 9点半。则此时的标准时间是 A. 10点 35分 B. 10点 30分 C. 10点 15分 D. 10点 06分 华图网校 客服电话：400-678-1009 11 【例 10】（浙江 2010-88）有一只怪钟，每昼夜设计成 10小时，每小题 100分钟。当这 只怪钟显示 5点时，实际上是中午 12点，当这只怪钟显示 8点 50分钟，实际上是什么时间？ A.17点 50分 B.18点 10分 C.20点 04分 D.20点 24分 【例 11】8月 28日零点时，某钟表比标准时间慢 4.5分钟，9月 4日上午 7点时，该钟 表比标准时间快 3分钟，那么这只钟表指时正确的时刻是多少？ A.8月 30日 22点 B.8月 31日 10点 C. 8月 31日 20点 D. 9月 1日 09点 专题六 等差数列 等差数列核心公式 求和公式：和＝ ( ) 2 + 首项 末项 项数 ＝平均数×项数＝中位数×项数 项数公式：项数＝ 末项 首项 公差 - +1 【例 1】（四川 2009-9）有一堆钢管，最下面一层是 30根，逐层往上，每一层比下一层 少一根钢管，则这堆钢管最多有（ ）根。 A. 450 B. 455 C. 460 D. 465 【例 2】（浙江 2008-13）在自然数 1至 50中，将所有不能被 3除尽的数相加，所得的 和是（ ） A. 865 B. 866 C. 867 D. 868 【例 3】（天津、湖北、陕西联考 2009-94）甲乙两人从相距 1350米的地方，以相同的 速度相对行走，两人在出发点分别放下 1个标志物，前进 10米后放下 3个标志物，前进 10 米放下 5个标志物，前进 10米放 7个标志物，以此类推。当两人相遇时，一共放下几个标 志物？ （ ） A.4489 B.4624 C.8978 D.9248 【例 4】（浙江 2010-80）定义 4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按此规律， （26△15）+（10△3）的值为 A.528 B.525 C.423 D.420 【例 5】（北京社招 2009-12）训练时，若干新兵站成一排，从一开始报数，除了甲以外 华图网校 客服电话：400-678-1009 12 其他人报的数之和减去甲报的数恰好等于 50。请问共有多少名新兵？ A.10 B.11 C.12 D.13 【例 6】（山西 2009-99）某志愿者小组外出进行志愿服务活动，小组成员排成一列进行 报数点名，除小李外，其他志愿者所报数字之和减去小李所报数字，恰好等于 100。问小李 是第几位，该志愿者小组共有多少人？ A10位，16人 B10位，15人 C12位，15人 D12位，16人 【例 7】六个连续偶数的和为 54，则其中最大的偶数为多少？ A.10 B.12 C.14 D. 16 【例 8】（江苏 2008A-23）某一天节秘书发现办公桌上的台历已经有 9天没有翻了，就 一次翻了 9张，这 9天的日期加起来，得数恰好是 108，问这一天是几号？ A.14 B. 13 C. 17 D. 19 【例 9】(安徽 2008-12)某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了 6张，这 6天的 日期加起来数字是 141，他翻的第一页是几号？（ ） A.18 B.21 C.23 D.24 【例 10】（山东 2003-10）四个连续自然数的积为 3024，它们的和为（ ）。 A.26 B.52 C.30 D.28 【例 11】（国 2008-48）{ }na 是一个等差数列， 3 7 10 8a a a+ - = ， 11 4 4a a- = 则数列 前 13项的和是（ ） A. 32 B. 36 C. 156 D. 182 【例 12】（四川 2009-13）一个等差数列共有 2n-1项，所有奇数项的和为 36，所有偶数 项的和为 30，那么 n的值为（ ）。 A. 5 B. 6 C. 10 D. 11 【例 13】（国家 2009-118）100人参加 7项活动，已知每个人只参加一项活动，而且每 项活动参加的人数都不一样。那么，参加人数第四多的活动最多有几人参加？（ ） A. 22 B. 21 C. 24 D. 23 【例 14】（国 2008-55）小华在练习自然数数数求和，从 1开始，数着数着他发现自己 重复了一个数，在这种情况下他将所数的全部数求平均，结果为 7.4，请问他重复数的那个 数是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10 【例 15】（天津、湖北、陕西联考 2009-98）一本 100多页的书，被人撕掉了 4张，剩 下的页码总和为 8037，则该书最多有多少页？ A.134 B.136 C.138 D.140 华图网校 客服电话：400-678-1009 13 专题七 行程问题 行程问题核心技巧 设未知、套公式、找等量。 【例 1】甲、乙两车从 A.B两地同时出发，相向而行。如果甲车提前一段时间出发，那 么两车将提前 30分钟相遇。已知甲车速度是 60千米/时，乙车速度是 40千米/时。那么， 甲车提前了多少分钟出发？ A.30 B.40 C.50 D.60 【例 2】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6千米，顺水下行需要 4小时，返 回上行需要 7小时．则这两个港口之间的距离为（ ） A.56千米 B.88千米 C.112千米 D.154千米 【例 3】（2009浙江-46）甲、乙两港相距 720千米，轮船往返两港需要 35小时，逆流 航行比顺流航行多花 5小时；帆船在静水中每小时行驶 24千米，问帆船往返两港需要多少 小时？ A. 58小时 B. 60小时 C. 64小时 D. 66小时 【例 4】（国家 2010-53）某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路，经测试， 旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需 3小时；从乙返回甲逆水匀速行驶需 4小时。假设水流速度 恒定，甲乙之间的距离为 y公里，旅游船在静水中匀速行驶 y公里需要 x小时，则 x满足的 方程为： A. 1 1 1 1 3 4x x - = - B. 1 1 1 1 3 4x x - = + C. 1 1 1 3 4x x = - + D. 1 1 1 4 3x x = + - 【例 5】（福建、辽宁、海南联考 2009-98）河道赛道长 120米，水流速度为 2米/秒， 甲船静水速度为 6米/秒，乙船静水速度为 4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点 出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？（ ） A.48 B.50 C.52 D. 54 【例 6】（国 2005一类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走 得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走 2个梯级，女孩每 2秒钟向上走 3个梯级。 结果男孩用 40秒钟到达，女孩用 50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多 少级?（ ） A. 80级 B. 100级 C. 120级 D.140级 【例 7】（国 2005二类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的 扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了 40级到达楼上，男孩 走了 80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 2倍。则当该扶梯静止时， 可看到的扶梯梯级有多少级?（ ） A.40级 B.50级 C.60级 D.70级 华图网校 客服电话：400-678-1009 14 【例 8】（山东 2007-55）甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分 钟走扶梯的级数是乙的 2倍；当甲走了 36级到达顶部，而乙则走了 24级到顶部。那么，自 动扶梯有多少级露在外面？（ ） A. 68 B. 56 C. 72 D. 85 基本解题思路 当行程问题出现间隙休息运动、分段变速运动及可视判断问题等时，建议大家根据题目 的具体形态，综合选项进行代入。 【例 9】（江苏 2009C-15）甲、乙两人骑车在路上追逐，甲的速度为 27千米/小时，每 骑 5分钟休息 1分钟，乙的速度是 300米/分，现在已知乙先行 1650米，甲开始追乙，追到 乙所需的时间是( )。 A.10分钟 B.15分钟 C.16分钟 D. 17分钟 【例 10】（北京社招 2006-21）如图所示：某单位围墙外面的小路 围成了一个边长 300米的正方形，甲、乙两个人分别从两个对角处沿 逆时针方向同时出发，如果甲每分钟走 90米，乙每分钟走 70米，那 么经过多少时间甲才能看到乙？（ ） A.16分 40秒 B.16分 C.15分 D.14分 40秒 常见典型行程模型核心公式 1. 等距离平均速度问题核心公式： 往返平均速度= 1 2 1 2 2v v v v+ （其中 v1和 v2分别代表往、返的速度） 2. 沿途数车问题核心公式： 发车时间间隔= 1 2 1 2 2t t t t+ ，车速：人速= 2 1 2 1 t t t t + - 3. “漂流瓶”问题核心公式： 漂流所需时间= 2t t t t- 顺逆 顺逆 （其中 t 顺和 t 逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间） 4. 两次相遇问题： 单岸型： 1 2 3 2 S SS += ；两岸型： 1 23S S S= - （其中 S表示两岸的距离） 【例 11】（湖南 2009-120）小王登山，上山的速度是每小时 4 km，到达山顶后原路返 回，速度为每小时 6 km。设山路长为 9 km，小王的平均速度为（ ）km/h。 A.5 B.4.8 C.4.6 D. 4.4 【例 12】一辆汽车从 A地到 B地的速度为每小时 60千米，返回时速度为每小时 90千 米，则它的平均速度为多少千米/小时？（ ） A. 64千米／小时 B.72千米／小时 C. 75千米／小时 D. 84千米/小时 华图网校 客服电话：400-678-1009 15 【例 13】（江苏 2007B-78） 在村村通公路的社会主义新农村建设中，有两个山村之间 的公路都是上坡和下坡，没有平坦路。农车上坡的速度保持 20千米/小时，下坡的速度保持 30千米/小时，已知农车在两个山村之间往返一次，需要行驶 4小时，问两个山村之间的距 离是多少千米？（ ） A.45 B.48 C.50 D.24 【例 14】一人骑车从M地到 N地速度为每小时 12千米，到达 N地后，立刻接到通知 返回M地。为了使其往返于两地之间的平均速度为每小时 8千米，则其骑车返回M地的速 度应为 A. 4千米／小时 B. 5千米／小时 C. 6千米／小时 D.7千米/小时 【例 15】（云南 2009-8）小明去上学，有两条同样长的路，一条是平路，另一条一半是 上坡路，一半是下坡路，两条路所用的时间相同，已知小明走下坡路的速度是平路的 1.5倍， 问他走上坡路的速度是平路的多少？（ ） A. 5 3 B. 5 2 C. 4 3 D. 4 1 【例 16】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以 不变速度不停地运行。每隔 9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 4.5分钟就遇到迎面 开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 【例 17】（广东 2009-7）地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每 6分钟有一列地铁从后面 追上，每 2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间 隔是( )。 A.2分钟 B.3分钟 C.4分钟 D. 5分钟 【例 18】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速 度不停地运行。每隔 10分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 6分钟就遇到迎面开来的 一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（ ）倍? A.3 B.4 C.5 D.6 【例 19】小丽沿某路公共汽车路线以不变速度走路去公园，该路公共汽车也以不变速 度不停地双向运行，出发时恰好迎面遇到一辆公共汽车，4分钟后再次迎面遇到一辆公共汽 车。如果已知公共汽车的双向发车的时间间隔均为 6分钟，请问每隔多少时间，会从背后有 一辆公共汽车超过小丽？ A.15 B.12 C.10 D.8 【例 20】（浙江 2005-22）一艘游轮逆流而行，从 A地到 B地需 6天；顺流而行，从 B 地到 A地需 4天。问若不考虑其他因素，一块塑料漂浮物从 B地漂流到 A地需要多少天? （ ） A.12天 B.16天 C.18天 D.24天 【例 21】（江苏 2008A-18）一条船从甲地到乙地要航行 4小时，从乙地到甲地要航行 5 华图网校 客服电话：400-678-1009 16 小时（假定船自身的速度保持不变），今有一木筏从甲地漂流到乙地所需小时为（ ） A.12 B. 40 C.32 D. 30 【例 22】（北京社招 2006-23）AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，从 A城到 B 城需行 3天时间，而从 B城到 A城需行 4天，从 A城放一个无动力的木筏，它漂到 B城需 多少天？（ ） A.3天 B.21天 C.24天 D.木筏无法自己漂到 B城 【例 23】甲、乙两车同时从 A、B两地相向而行，在距 A地 80千米处相遇，相遇后两 车继续前进，甲车到达 B地、乙车到达 A地后均立即按原路返回，第二次在距 A地 60千 米处相遇。求 A、B两地间的路程。 A.130千米 B.150千米 C.180千米 D.200千米 【例 24】两艘渡轮在同一时刻垂直驶离 H 河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向 乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸 720 米处相遇。这两艘船在距离甲 岸 400 米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？ A.1120米 B.1280米 C. 1520米 D. 1760米 【例 25】甲、乙两车同时从 A、B两地相向而行，在距 A地 80千米处相遇，相遇后两 车继续前进，甲车到达 B地、乙车到达 A地后均立即按原路返回，第二次在距 B地 60千 米处相遇。求 A、B两地间的路程。 A.130千米 B.150千米 C.180千米 D.200千米 【例 26】如图：甲，乙二人分别从 A，B两地同时相向出发，往返于 A，B之间，第一 次相遇在距 A地 30公里处，第二次相遇地点在距第一次相遇地右边 10公里处。问 A、B 两点相距多远？ A地 B地 30km 10km 第一次相遇地点 第二次相遇地点 A.90 B.75 C.65 D.50 专题八 排列组合 排列组合基本知识点 ìì ïï镲 眄 镲镲î î 排列：与顺序有关加法原理：分类用加法 乘法原理：分步用乘法 组合：与顺序无关 排列公式： ! ( -1) ( - 2) ( - 1) ( - )! m n nA n n n n m n m L= = 创 创 + 组合公式： ! ( -1) ( - 2) ( - 1) ( - )! ! ( -1) ( - 2) 1 m n n n n n n mC n m m m m m L L 创 创 += = 创 创 华图网校 客服电话：400-678-1009 17 逆向公式：满足条件的情况数＝总情况数-不满足条件的情况数 排列组合八大常考题型 一、基础公式型 二、分类讨论型 三、分步计算型 四、捆绑插空型 五、错位排列型 六、重复剔除型 七、多人传球型 八、等价转化型 “捆绑插空法”核心提示 1. 相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列； 2.. . 不邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不邻元素有序插入所成间隙中。 【例 1】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中 A、B两人必须站一起，共有（ ） 种排法？ A.120 B.72 C.48 D.24 【例 2】A、B、C、D、E五个人排成一排，其中 A、B两人不站一起，共有（ ） 种排法？ A.120 B.72 C.48 D.24 错位排列问题核心提示 错位排列问题：有 N封信和 N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法 的种数计作 Dn，则 D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265…（请牢牢记住前五个数） 【例 3】小明给住在五个国家的五位朋友分别写一封信，这些信都装错了信封的情况共 有多少种？（ ） A.32 B.44 C.64 D.120 【例 4】甲、乙、丙、丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位， 丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？（ ） A.6 B.12 C.9 D.24 【例 5】（北京社招 2007-16）五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能 情况共有多少种？（ ） A.6 B.10 C.12 D.20 【例 6】幼儿园某小班有 7名小朋友，上课铃响慌乱中迅速回到座位上，结果只有 3名 小朋友坐到了自己的位置之上，请问这样的情况一共有多少种？（ ） A.315 B.350 C.385 D.420 【例 7】将 6个人平均分成三组，请问一共有多少种分配的方法？ A.15 B.30 C.45 D.90 华图网校 客服电话：400-678-1009 18 【例 8】将 11个人分成“3、3、2、2、1”这样的五组，请问一共有多少种分配的方法？ A.4620 B.69300 C.138600 D.277200 【例 9】（上海 2005-11）某小组有四位男性和两位女性，六人围成一圈跳集体舞，不同 排列方法有多少种（ ）。 A.720 B.60 C.480 D.120 【例 10】八位同学出去野营，晚上他们在沙滩上玩游戏，游戏需要这八位同学围成两 个四人的圆圈，请问一共有多少种方法？ A.720 B.900 C.1080 D.1260 【例 11】用 6枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？（ ） A.720 B.60 C.480 D.120 A D B C F E A D F E B C 【例 12】（国 2006一类-46、国 2006二类-39）四人进行篮球传接球练习，要求每人接 球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中， 则共有多少种传球方式？（ ） A.60种 B.65种 C.70种 D.75种 传球问题核心公式 M个人传 N次球，记 N(M-1)X= M ，则与. . X. 最接近的整数为传给. . . . . . . . . “. 非自己的某人. . . . . . ”. 的. 方法数，与. . . . . X. 第二接近的整数便是传给自己的方法数. . . . . . . . . . . . . . . . . 。 如上例之中， 5(4-1)X= 4 =60.75，最接近的整数是 61，第二接近的整数是 60，所以传 回甲自己的方法数为 60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为 61。 【例 13】某人去 A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去 A城市，第七天到 E城市。 如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有 多少种旅游行程安排的方式？（ ） A.204 B.205 C.819 D.820 【例 14】对右图正八边形的 8个区域进行涂色，颜色从红、黄、 1 2 3 4 56 7 8 华图网校 客服电话：400-678-1009 19 蓝三种当中选取，每个区域选择一种颜色，并且要求相邻区域选取不同的颜色。请问一共有 多少种涂色的方法？ A.86 B.174 C.216 D.258 【例 15】从 1-100当中选出 3个数互不相邻，请问一共有多少种选法？（ ） A.142880 B.147440 C.608384 D.152096 【例 16】一名医生给三名学生打疫苗，这种疫苗必须按顺序依次注射 a、b、c三针， 请问这一共九针有多少种不同的顺序？（ ） A.1200 B.1440 C.1530 D.1680 【例 17】一次射击比赛当中，6个瓷制靶子排成两列，左边挂了 4个靶 子，右边挂了 2个靶子。射手在射击每一列的时候，必须先击碎此列尚未击碎 的靶子当中的最下面一个。请问全部击碎所有 6个靶子一共有多少种方法？ （ ） A.10种 B.12种 C.15种 D.21种 【例 18】一张节目表上原有 7个节目，如果保持这 7个节目的相对顺序不变，再添加 3 个新节目，一共有多少种安排方法?（ ） A. 310A B. 2 10A C. 3 9A D. 2 9A 【例 19】将 6个相同的苹果分给 3个小朋友，要求每个小朋友至少得到 1个苹果，请 问一共有多少种分配的方法？ A.8 B.10 C.12 D.14 【例 20】将 12个相同的苹果分给 3个小朋友，要求每个小朋友至少得到 3个苹果，请 问一共有多少种分配的方法？ A.8 B.10 C.12 D.14 【例 21】将 6个相同的苹果分给 3个小朋友，请问一共有多少种分配的方法？ A.16 B.20 C.24 D.28 【例 22】A、B、C、D、E、F六个人排成一排，请问 A要站在 B的前面（不要求挨着） 的站法有多少种？ A.120 B.240 C.360 D.720 【例 23】A、B、C、D、E、F六个人排成一排，请问 A要站在 B的前面（不要求挨着） 并且 B要站在 C的前面（不要求挨着）的站法有多少种？ A.120 B.240 C.360 D.720 【例 24】A、B、C、D、E、F六个人排成一排，请问 A要站在 B的前面（不要求挨着） 并且 A要站在 C的前面（不要求挨着）的站法有多少种？ A.120 B.240 C.360 D.720 A B C D 华图网校 客服电话：400-678-1009 20 【例 25】（国家 2010-48）一公司销售部有 4名区域销售经理，每人负责的区域数相同， 每个区域都正好有两名销售经理负责，而任意两名销售经理负责的区域只有一个相同。问这 4名销售经理总共负责多少个区域的业务？ A.4 B.6 C.8 D.12 专题九 概率问题 概率问题核心公式 1. 单独概率＝满足条件的情况数÷总的情况数； 2. 某条件成立概率＝1－该条件不成立的概率； 3. 总体概率＝满足条件的各种情况概率之和； 4. 分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积； 5. 条件概率：“A成立”时“B成立”的概率＝A、B同时成立的概率÷A成立的概率。 【例 1】将一个硬币掷三次，恰好有一次正面朝上且有两次反面朝上的概率是多少？ A.1/2 B.1/4 C.5/8 D.3/8 【例 2】（广东 2009-9）一道多项选择题有 A、B、C、D、E五个备选项，要求从中选 出 2个或 2个以上的选项作为唯一正确的选项。如果全凭猜测，猜对这道题的概率是( )。 A.1/15 B.1/21 C.1/26 D.1/31 【例 3】（陕西 2008-8）口袋中有 6个黄球和若干个白球，他们除颜色外完全相同，从 中摸出一球，若摸出黄球的可能性是 3/4，则白球比黄球少多少个？（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【例 4】张老师编写了 5道例题，并将这 5道例题“ABCDE”按照“例 1-例 5”依次排 好了顺序。第二天张老师觉得例题顺序不够合理，又重新编排了一下顺序，其中只有 2道题 目前面的例题序号没有改变。请问张老师改动顺序之后，5道题目的排列变为“ABDEC” 的概率有多大？ A.5% B.10% C.15% D.20% 【例 5】（江苏 2009-79）某商店搞店庆，购物满 200元可以抽奖一次。一个袋中装有编 号为 0到 9的十个完全相同