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学习指导》 第三章 中值定理与导数的应用 一、知识脉络 二、重点与难点 1．重点：拉格朗日中值定理，函数增调区间、函数的凹凸区间，求函数的极值，求具体问题的最大最小值。 2．难点：柯西定理、泰勒展式、不等式证明、函数作图。 三、问题与分析 1．学习洛尔定理、拉格朗日定理与柯西定理应注意的问题： ①洛尔定理是一个函数满足3条，拉格朗日定理一个函数满足2条，柯西定理是两个函数满足2条，才有相应结论； ②定理的条件是充分的，但不是必要的； ③三个定理都是存在性定理，只肯定了有 存在，而未指出如何确定该点。 2．学习罗必塔法则应注意问题： ①罗必塔法则仅仅用于 型和 型未定式； ②如果 不存在（不包括 ），不能断言 不存在，只能说明罗必塔法则在此失效，应采用其它方法求极限； ③ ， ， ， ， 也叫未定型，必须转化为 型或 型之后，方可用罗必塔法则求极限； 思路“： 型转化为 或 型； 可通分转化为 型或 型； 型转化为 ，其中指数是 型； 型转化为 ，其中数是 ； 型转化为 ，其中指数是 型。 ④罗必塔法则求极限与其它方法求极限在同一题中可交替使用； ⑤有时要连续用几次洛必塔法则，每一次都要验证是否是 型或 型。 3．学习函数单调性应注意的问题： ①如果 在某个区间内只有有限个点处等于零，在其它点处均为正（或负）时，则函数 在该区间内仍为单调增加（或单调减少）； ②求单调区间的步骤：先令 ，求出驻点与不可导点，这样的点将定义域分成了几个区间；再在每个区间内验证 的符号，若为正，则单增，若为负，则单减。 4．学习函数极值应注意的问题： ①函数极值是一个局部性的概念，它只与极值点邻近的所有点的函数值相比较是大还是小，并不是说它在定义区间上是最大或最小。因此一个函数可能存在其极大值小于极小值的情形； ②求函数极值的步骤：先求 的解以及 不存在的点，这些点是可疑的极值点；其次，可疑极值点将 的定义域分成了几个区间，在每个区间考察 的符号；最后确定极值点； ③极值点与极值是两个不同的概念。 5．学习函数最值应注意的问题： ①极值点是函数在一点附近函数值的大小比较，是局部性质，而最大值最小值是在区间 上的性质； ②最值在区间的端点和极值点上产生。所以确定最大值最小值的步骤为：首先求出定义域；然后求出 ，求出可疑点；最后比较可疑点的函数值与边界处的函数值。 6．学习凹凸性应注意的问题： ①用一阶导数确定单调区间，用二阶导数确定凹凸区间及拐点，确定拐点时不但需要 ，而且还要在该点的左右变号； ②拐点一定是坐标形式的点 ，拐点的表达与极值点的表达不同，拐点是曲线上的某一点。 7．学习渐近线应注意的问题： ①函数的图形不一定有渐近线； ②渐近线分为水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线。 8．学习泰勒展开式应注意的问题： ①麦克劳林展开是特殊的泰勒展式； ②用关于 的 次多项式近似表示函数 时，一定有一个余项，该余项即误差一定是 的高阶无穷小量； ③应该熟记一些常用的泰勒展式。 9．证明不等式的方法有： ①利用单调性； ②利用中值定理 关键在于构造一个函数 ，这就需要分析不等式的特点。 10．求具体问题最值的步骤 ①分析问题，明确求哪个量的最值； ②写出函数关系式。确定函数关系常常要用几何、物理、化学、经济学等方面的知识，函数关系式列出后，依具体情况要写出定义域； ③由函数式求驻点，并判断是否为极值点； ④根据具体问题，判别该极值点是否为最值点。一般如果函数在 连续，且只求得唯一的极值点，则这个极值点就是所求的最值点。 ⑤最后写出最值。 四、解题格式 例1 函数 在区间 上是否满足罗尔定理的条件？如满足求出定理中的 。 解：因 是多项式，故 满足： ①在 上连续； ②在 内可导，且 ； ③ ； 所以 在 上满足罗尔定理条件。 令 得 例2 求极限 解：原式 例3 设 ，试证 证法一：用中值定理 设 ，则 ① 在 上连续； ② 在 内可导，且 则存在 ，使 即 因为 ，故 又因为 ，故 ，从而 所以 证法二：用函数的单调性 设 ，则 因为 ，故 ，即 从而当 时 是单调减少的 又 所以当 时，有 即 故 例4 求函数 的单调区间和极值。 解： 的定义域为 令 ，得 当 时， 不存在 故定义域分为 ， ， ，列表为 0 2 不存在 - 0 + 极大值 极小值 由极值判别法知 为极大值点，极大值 ， 为极小值点，极小值 。 在 和 内单调增加， 内单调减少。
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