高等数学2··

暋[收稿日期]2007灢07灢12 暋[基金项目]合肥工业大学教研项目(XJ2009005);合肥工业大学研究生教改项目(119灢033010) 第26卷第1期 大暋学暋数暋学 Vol.26,曧.1 2010年2月 COLLEGEMATHEMATICS Feb.2010 一个有趣不等式的新证明 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 及推论 赵德勤,暋殷暋明 (合肥工业大学 数学学院,合肥 230009) 暋暋[摘暋要]对文[1]中的不等式,通过构造函数条件极值的方法,给出了它的新证明方法,并给出了不等式 的几个推论. [关键词]不等式;条件极值;Jensen不等式;拉格朗日函数 [中图分类号]O172暋暋[文献标识码]C暋暋[文章编号]1672灢1454(2010)01灢0201灢02 1暋引暋暋言 文[1]提出,利用凸函数的性质及Jensen不等式 - æ è çln 暺 n j=1 aj 暺 n i=1 ai ·xj a ö ø ÷ j 曑-暺 n j=1 aj 暺 n i=1 ai ·lnxjaj 可以得到下述结论 设xi暿RR+,ai暿RR+(i=1,2,…,n),则 暻 n i=1 x ai i 曑 暻 n i=1 a ai i æ è ç ç· 暺 n i=1 xi 暺 n i=1 a ö ø ÷ ÷ i 暺 n i=1 ai . (1) 本文给出不等式(1)的另一个证明方法,并说明其应用. 2暋 证明过程 构造如下问题:求函数u=暺 n i=1 ailnyi 在球面暺 n i=1 y2i =mr2 上的最大值,其中ai 暿RR +,yi 暿RR +, m=暺 n i=1 ai.作拉格朗日函数 L=暺 n i=1 ailnyi+ æ è ç毸 暺 n i=1 y2i-mr ö ø ÷2 . 令 Lyi= ai yi+ 2毸yi=0,暋i=1,2,…,n. 由暺 n i=1 y2i=mr2,解得yi= air,i=1,2,…,n. 因为u在球面暺 n i=1 y2i=mr2位于yi>0,i=1,2,…,n部分上连续,在这部分边界上yi至少有一个 为零,u为负无穷大,故u的最大值只能在集合{yi旤yi>0,i=1,2,…,n}内部达到.而(a1r,a2r, …,anr)是唯一的驻点,所以u的最大值为 u(a1r,a2r,…,anr)=a1ln(a1r)+a2ln(a2r)+…+anln(anr) =ln(a a1 2 1a a2 2 2 …a an 2 nra1+a2+…+an). 于是 u=ln(y a1 1y a2 2 …y an n )曑ln(a a1 2 1a a2 2 2 …a an 2 nra1+a2+…+an = é ë êêlna a1 2 1a a2 2 2 …a an 2 æ è çn 暺 n i=1 y2i ö ø ÷ m 1 2暺 n i=1 a ù û úú i , 故y a1 1y a2 2 …y an n 曑a a1 2 1a a2 2 2 …a an 2 æ è çn 暺 n i=1 y2i ö ø ÷ m 1 2暺 n i=1 ai .两边同时平方,并令yi= xi,i=1,2,…,n,即得式(1). 3暋 推 暋暋 论 推论1暋 令ai=1,i=1,2,…,n,则有暻 n i=1 xi æ è ç曑 暺 n i=1 xiö ø ÷ n n ,即 n 暻 n i=1 xi 曑 暺 n i=1 xi n . (2) 推论2暋 令xi=1,i=1,2,…,n,则有1 æ è ç曑 暻 n i=1 a ai ö ø ÷i æ è ç· n 暺 n i=1 a ö ø ÷ i 暺 n i=1 ai , æ è ç 即 暺 n i=1 aiö ø ÷ n 暺 n i=1 ai 曑 暻 n i=1 a ai i . (3) 推论3暋 在推论2中令a1=1,a2=2,…,an=n, æ è ç则有 n+1ö ø ÷ 2 n(n+1) 2 曑暻 n i=1 ii,或者写成它的等价形式 n(n+1) 2 ln n+1 2 曑 暺 n i=2 ilni. (4) 推论4暋 令x1=a,x2=b,x3=c,a1=1,a2=2,a3=3,则有ab2c3 曑11·22·3 æ è ç3 a+b+cö ø ÷ 6 6 , 即ab2c3 曑 æ è ç108a+b+c ö ø ÷ 6 6 ,此为1981年清华大学硕士研究生入学试题. [参暋考暋文暋献] [1]暋钱照平.一个有趣的不等式[J].高等数学研究,2007,10(2):33-34. [2]暋毛纲源.高等数学解题方法技巧归纳(下册)[M].武汉:华中科技大学出版社,2002. [3]暋裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1993. 202 大暋学暋数暋学暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋第26卷 一个有趣不等式的新证明方法及推论 作者： 赵德勤， 殷明 作者单位： 合肥工业大学数学学院,合肥,230009 刊名： 大学数学 英文刊名： COLLEGE MATHEMATICS 年，卷(期)： 2010，26(1) 被引用次数： 0次 参考文献(3条) 1.裴礼文 数学分析中的典型问题与方法 1993 2.毛纲源 高等数学解题方法技巧归纳 2002 3.钱照平 一个有趣的不等式[期刊 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ]-高等数学研究 2007(02) 相似文献(1 0条 超市营销方案100条新疆维吾尔自治区教学常规60条中医养生知识100条工伤保险条例第30条感动服务100条 ) 1.期刊论文 孙作胜 利用条件极值证明不等式 -山东轻工业学院学报(自然科学版)2003,17(3) 本文给出了利用条件极值的知识证明不等式的方法,并利用条件极值证明了哈达马(Hadamard)不等式与和尔窦(Holder)不等式. 2.期刊论文 刘证.LIU Zheng 条件极值和一个不等式 -鞍山科技大学学报2005,28(5) 应用多元函数条件极值理论和Lagrange乘数法去证明一个不等式. 3.期刊论文 朱江红.孙兰香.ZHU Jiang-hong.SUN Lan-xiang 几种多元函数条件极值的解法之比较 -沧州师范 专科学校学报2010,26(2) 多元函数的条件极值是数学分析和高等数学中的一个重要内容,它的一般求解方法为拉格朗日乘数法.给出了四种求多元函数条件极值的方法并 比较了适用的条件及难易程度,以便在求解类似的问题时选择适当的方法. 4.期刊论文 袁明贤 两类不等式的证明及应用 -浙江万里学院学报2003,16(2) 文章利用求条件极值的方法,证明了两类不等式,由此获得构造具体不等式的技巧,可以方便地构造出不等式的证明题. 5.期刊论文 潘杰.苏化明 某些条件极值问题的初等解法 -大学数学2008,24(6) 以考研数学试题为例,介绍了某些条件极值问题的初等解法. 6.期刊论文 岳嵘 一类不等式的统一证明 -高等数学研究2007,10(2) 利用多元函数求条件极值的方法证明一类不等式 7.期刊论文 岳嵘.YUE Rong 一类不等式的统一证明 -山东电大学报2006(3) 利用多元函数求条件极值的方法证明一类不等式. 8.期刊论文 李波.韩利娟 利用条件极值的方法证明一类不等式 -濮阳职业技术学院学报2004,17(1) 采用构造多元函数,利用条件极值的方法证明一类不等式. 9.期刊论文 查良松 凸函数与不等式 -宁波职业技术学院学报2004,8(5) 本文对凸函数有关定理中的 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 研究推导出若干重要不等式,进一步应用于证明不等式和求条件极值问题,简化了证题、解题的过程. 10.期刊论文 陈涛 浅谈不等式在线性 规划 污水管网监理规划下载职业规划大学生职业规划个人职业规划职业规划论文 中的应用 -固原师专学报2004,25(3) 对初等数学中不等式问题中的"松""紧"关系问题进行探析,由此而引入高等数学中的一些方法,把不等式问题转化为线性规划问题,指明这是一 类有趣而特殊的条件极值问题. 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxsx201001046.aspx 授权使用：四川大学(scdx)，授权号：c0c1bca1-9804-4959-95b9-9edd011ecb0c 下载时间：2011年5月8日