第27卷第1期
2011年2月
大 学 数 学
COLLEGEMATHEMATICS
V01．27，№．1
Feb．2011
之一 微分
凌波能信步，
苦海岂无边．
函数千千万万，
一次最简单．
微积分诗四首
李尚志
(北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191)
之二Taylor展开
漫天休问价，
就地可还钱．
我有乘除加减，
翱翔天地间．
之三定积分
一帆难遇风顺，
一路高低不平，
平平淡淡分秒，
编织百味人生．
之四原函数
量天何必苦登高，
借问银河落九宵．
直下凡尘几万里，
几公里处宴蟠桃．
诗的数学：以上四首诗涉及到一元微积分中四个最重要的专题，通过浪漫的比喻和形象讲述了这四
个专题的主要思想．
金庸武侠小说中的九阴真经分成上下两篇，上篇讲的是想法(idea)，下篇讲的是具体招数
(technique)．虽然打架靠Teehnique，但是在idea指挥下才能对Technique应用自如，应付战场上的千
变万化．没有idea的指挥，梅超风练出的Technique就只是歪门邪道．诗歌不是丁笔画而是写意J母j，不能
象数学语言那样严格地讲述定理和公式，但是却可以讲述指挥这些定理和公式的idea，帮助你领会到这
些定理和公式的真谛．
之一微分：
函数千千万万，千变万化，太复杂，难以研究，犹如无边苦海．将难以研究的函数转化为最简单的一
次函数来研究，这就是微分．毛主席《水调歌头·游泳》词中说“不管风吹浪打，胜似闲庭信步”．将难以研
究的函数变成最简单的一次函数来研究，犹如在苦海的波浪上信步来往，进退自如．
之二Taylor展开：
研究一般的函数太困难，犹如面对漫天要价，难以对付．将它变成一次函数来研究，这是就地还钱．
在很多情况下，一次函数又过分简单，精确度不够．这时可以再“涨一点价”．例如，研究变化速度，一次就
够了．研究加速度，研究弯曲程度，研究极大极小值，一次不够，就用二次函数．我们不会算i角函数、指
数函数、对数函数这些“超越函数”，只会算加减乘除．将超越函数变成一次、二次多项式，就可以通过加
减乘除算出来．精确度如果还不够，就用三次、四次以至更高次数的多项式．通过提高多项式的次数来提
高精确度，达到满意的程度．这就是Taylor展开．无限地提高次数，用无穷级数可以达到完全精确．这就
是Taylor级数．凭借通过加减乘除算多项式这样简单的本事，就能在“超越函数”这个“天”与“一次函
数”这个“地”之间自由翱翔，游刃有余．
之三定积分：
人生难得一帆风顺，总是高低不平．人生由每分每秒组成，然而每分每秒却都是平平淡淡。变化很
小．每分每秒的人生道路积累起来就编织成丰富多彩的人生．
匀速运动的路程等于速度乘时间．但是，宇宙间的运动难得有真正匀速的，运动总是有快有慢，速度
有大有小，不能直接将速度乘时间．很短一瞬间内速度来不及变化，可以近似地看成匀速运动，将速度乘
[收稿日期]2009-08—17
万方数据
2 大 学 数 学 第27卷
时间来计算路程．运动的时间段可分成一个个短暂瞬间，在每个短暂瞬间内将速度乘时间得到短暂路程
的近似值，将这些短暂路程相加就得到是总路程的近似值．分成的短暂瞬间越短，误差越小．无限细分，
短路程之和就无限接近于总路程的精确值．
分分秒秒的平淡生活编织成不平淡的人生．各个短暂瞬间近似匀速的运动组成整个变速运动．
之四原函数：
已知速度求路程，是求定积分，很难，就象登上天去量天的高度一样的难．
但是，为什么一定要自己从下往上去量天的高度呢?可以反过来，可以天上到地下度量李白诗云
“疑是银河落九天”．让银河度量一下从九霄到凡尘的路程，不就是天的高度了吗．银河说从天到地九万
里，就知道从地到天九万里．银河说从天到地的起点在举行蟠桃宴，就知道从地到天的终点是蟠桃宴
地址．
由速度"(￡)求路程5(￡)太难．反过来由路程s(f)求速度口(￡)是求导数，比较容易．求一个函数F(f)
使它的导数是已知的速度口(￡)，这个函数F(t)，这个函数是否就是路程呢?不一定．F(z)不一定是路
程，但一定是位置．最末时刻b的位置F(6)与最初时刻a的位置F(口)之差F(6)--F(a)就是路程s(￡)，
也就是所求的定积分：
F(6)一F(口)=．r。6口(f)d￡．
当然，定积分不仅是由速度u(f)求路程．例如，也是由函数口(f)的曲线求面积S．
F(￡)就是口(￡)的原函数．上述通过原函数求定积分的方法就是微积分基本定理，就是牛顿一莱布
尼兹公式．
既然叫微积分基本定理，当然就是微积分中最重要的定理．最重要的定理的想法其实非常简单：由
下到上太困难，变成由上而下，将困难的事情变简单．
万方数据
微积分诗四首
作者： 李尚志
作者单位： 北京航空航天大学,数学与系统科学学院,北京,100191
刊名： 大学数学
英文刊名： COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)： 2011，27(1)
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下载时间：2011年5月8日
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