【学习资料-第19期】2011-导数复习

2011-导数复习 2011—4 【考点聚焦】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【命题趋向】 导数命题趋势： 综观往年全国各套高考数学试题，特别是2010年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.分值在15---20分之间，我们江苏一般为1个填空题，1个解答题. 【重点 难点 热点】 考点1:导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】例1. 是 的导函数，则 的值是 ． 〖演练〗例2.设函数 ,集合M= ,P= ,若M P,则实数a的取值范围是 考点2:曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 【问题2】(1)曲线 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . （2）已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （I）求 的最大值； （II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式． 〖演练1〗若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 . 〖演练2〗过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 . 〖演练3〗过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 . 〖演练4〗.已知两抛物线 , 取何值时 ， 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 〖演练5〗已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用 表示 ，并求 的最大值；（II）求证： （ ）． 考点3：导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。 【问题3】函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示， 则函数 在开区间 内有极小值点 个. 〖演练1〗对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f (x) 0， 则必有f(0)＋f(2)- 2f(1) 0. 〖演练2〗函数y= f(x)在定义域 内可导，其图象如图所示．记y= f(x) 的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)≤0的解集为 . 【问题4】设函数 在 及 时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围． 〖演练1〗已知函数 在点 处取得极大值 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示.求： （Ⅰ） 的值； （Ⅱ） 的值. 〖演练2〗函数 的值域是_____________. 【问题5】设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间. 考点4：导数的实际应用 建立函数模型,利用 【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 〖变式〗统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米. （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【问题10】如图所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积． （1）求 的表达式； （2）当 为何值时， 取得最大值？ 【专题训练与高考预测】 1．设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= . 2．函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 . 3．函数 的零点所在的区间是 . 4．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿． 5．曲线 在点 处的切线方程是＿＿＿＿． 6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a= 7.过抛物线y=x2上的点M（ ）的切线的倾斜角是 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 . 9.函数y=x3-3x+3在[ ]上的最小值是 10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则 . 11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的递增区间是 . 12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. 13.若f′(x0)=2, _________. 14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________. 15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________. 16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标. 18.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. Key: 09导数复习 2009—4 考点1:导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 【问题1】 是 的导函数，则 的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] 故填3. 〖演练〗例2. ( 2010年湖南卷）设函数 ,集合M= ,P= ,若M P,则实数a的取值范围是 [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由 综上可得M P时, 考点2:曲线的切线 （1）关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. （2）关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 【问题2】(1)曲线 和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 . 解析：曲线 和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是 . （2）已知函数 在区间 ， 内各有一个极值点． （I）求 的最大值； （II）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若 在点 处穿过函数 的图象（即动点在点 附近沿曲线 运动，经过点 时，从 的一侧进入另一侧），求函数 的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数 在区间 ， 内分别有一个极值点，所以 在 ， 内分别有一个实根， 设两实根为 （ ），则 ，且 ．于是 ， ，且当 ，即 ， 时等号成立．故 的最大值是16． （II）解法一：由 知 在点 处的切线 的方程是 ，即 ， 因为切线 在点 处空过 的图象， 所以 在 两边附近的函数值异号，则 不是 的极值点． 而 ，且 ． 若 ，则 和 都是 的极值点． 所以 ，即 ，又由 ，得 ，故 ． 解法二：同解法一得 ． 因为切线 在点 处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，于是存在 （ ）． 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 设 ，则 当 时， ，当 时， ； 或当 时， ，当 时， ． 由 知 是 的一个极值点，则 ， 所以 ，又由 ，得 ，故 ． 〖演练1〗若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 . [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]与直线 垂直的直线 为 ，即 在某一点的导数为4，而 ，所以 在(1，1)处导数为4，此点的切线为 . 〖演练2〗过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 . Key: y=-3x或y= x [考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为 又 解法2:由解法1知切点坐标为 由 〖演练3〗过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则切线的方程为 . 解：y=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1, 于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得x0＝0或－2，∴切线的方程为x-y+1=0；3x+y+3=0 〖演练4〗.已知两抛物线 , 取何值时 ， 有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. 思路启迪：先对 求导数. 解答过程：函数 的导数为 ，曲线 在点P( )处的切线方程为 ， 即 　 ① 曲线 在点Q 的切线方程是 即 ② 若直线 是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是 的方程，故得 ，消去 得方程， 若△= ，即 时，解得 ，此时点P、Q重合. ∴当时 ， 和 有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 . 〖演练5〗已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用 表示 ，并求 的最大值；（II）求证： （ ）． [考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同． ， ，由题意 ， ． 即 由 得： ，或 （舍去）． 即有 ． 令 ，则 ．于是 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ． 故 在 为增函数，在 为减函数，于是 在 的最大值为 ． （Ⅱ）设 ， 则 ．故 在 为减函数，在 为增函数， 于是函数 在 上的最小值是 ． 故当 时，有 ，即当 时， 考点3：导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式； 2. 求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。 【问题3】函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的 图象如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点 个. Key:1个 [考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. [解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点. 有两个极大值点. 〖演练1〗对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f (x) 0，则必有f(0)＋f(2)- 2f(1) 0. Key: A.f(0)＋f(2)2f(1) B. f(0)＋f(2) 2f(1) C. D. f(0)＋f(2) 2f(1) 解：依题意，当x1时，f (x)0，函数f(x)在（1，＋）上是增函数；当x1时，f (x)0，f(x)在（－，1）上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1). 〖演练2〗函数y= f(x)在定义域 内可导，其图象如图所示．记y= f(x) 的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)≤0的解集为 . Key: 【问题4】设函数 在 及 时取得极值． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围． 思路启迪：利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值． 解答过程：（Ⅰ） ， 因为函数 在 及 取得极值，则有 ， ． 即 解得 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ， ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 所以，当 时， 取得极大值 ，又 ， ． 则当 时， 的最大值为 ． 因为对于任意的 ，有 恒成立，所以　 ， 解得　 或 ， 因此 的取值范围为 ． 〖演练1〗已知函数 在点 处取得极大值 ，其导函数 的图象经过点 ， ，如图所示.求： （Ⅰ） 的值； （Ⅱ） 的值. [考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在 上 ，在 上 ，在 上 , 故 在 上递增，在 上递减， 因此 在 处取得极大值，所以 （Ⅱ） 由 得 解得 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）设 又 所以 , 由 即 得 所以 〖演练2〗函数 的值域是_____________. 思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 解答过程：由 得， ，即函数的定义域为 . ， 又 ， 当 时， ， 函数 在 上是增函数，而 ， 的值域是 . 【问题5】设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间. [考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]由已知得函数 的定义域为 ，且 （1）当 时， 函数 在 上单调递减， （2）当 时，由 解得 、 随 的变化情况如下表 — 0 + 极小值 从上表可知 当 时， 函数 在 上单调递减. 当 时， 函数 在 上单调递增. 综上所述：当 时，函数 在 上单调递减. 当 时，函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增. 考点4：导数的实际应用 建立函数模型,利用 【问题9】用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为 . 故长方体的体积为 从而 令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜ 时，V′（x）＜0， 故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 〖变式〗统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米. （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [解答过程]（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时， 要耗没 （升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，依题意得 令 得 当 时， 是减函数；当 时， 是增函数. 当 时， 取到极小值 因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【问题10】如图所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点 在 边上，且 ，现沿 将 折起到 的位置，使 ，记 ， 表示四棱锥 的体积． （1）求 的表达式； （2）当 为何值时， 取得最大值？ [分析]：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC， ， V(x)= （ ） （2） ，所以 时， ，V(x)单调递增； 时 ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值 ； 【专题训练与高考预测】 1．设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= . Key: 0 [解析]：∵ ∴f′( 0)=0 2．函数 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 . Key: 3，-17 [解析]：由 =0，得 ， 当 时， >0，当 时， <0，当 时， >0， 故 的极小值、极大值分别为 ， 而 故函数 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。 3．函数 的零点所在的区间是 . Key: [解析]： ＞0;∴f(x)在（0，+∞）上是增函数，f( )= -2＜0, f(1)=e-1＞0, ∴零点所在的区间是 . 4．函数 的单调递增区间是＿＿＿＿． Key: [解析]： ∴单调递增区间是 5．曲线 在点 处的切线方程是＿＿＿＿． Key: [解析]： ，∴切线的斜率为k=-5,∴切线方程是 。 6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a= Key: 7.过抛物线y=x2上的点M（ ）的切线的倾斜角是 Key:450 8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是 . Key:（0， ） 9.函数y=x3-3x+3在[ ]上的最小值是 Key: 1 10、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则 . Key: b=c=0 11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的递增区间是 . Key:（-∞，2）,（3，+∞） 12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的实数解的集合中有 个元素. Key:至多有1个元素 13.若f′(x0)=2, _________. Key:解析：根据导数的定义：f′(x0)= (这时 ) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：－1 14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________. Key:解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！ 答案：n! 15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________. Key:解析：函数的定义域是x＞ 或x＜－2, ①若a＞1,函数f(x)在( ,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数. ②若0＜a＜1, f(x)在( ,+∞)上是减函数，当x＜－2时，f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数. 16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. Key:解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+ ,解得 x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h= h (0, R) R ( ,2R) S′ + 0 － S 增函数 最大值 减函数 从而 . 令S′=0,解得h= R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下： 由此表可知，当x= R时，等腰三角形面积最大. 答案： R 17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标. Key:解：由l过原点，知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴ =x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2 又k= ,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= . 由x≠0,知x0= ,∴y0=( )3－3( )2+2· =－ .∴k= =－ . ∴l方程y=－ x 切点( ，－ ). 18.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 解：f′(x)= +2bx+1, (1)​ 由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且 +4b+1=0, 解方程组可得a=－ ,b=－ ,∴f(x)=－ lnx－ x2+x, (2)f′(x)=－ x-1－ x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值 ,在x=2处函数取得极大值 － ln2.