一 一．课题：不等式性质（2） 二．教学目标：1．理解同向不等式，异向不等式概念，掌握并会证明定理1，2，3； 2．初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 三．教学重点、难点：定理1，2，3及推论的证明思路及运用. 四．教学过程： （一）复习：实数运算的符号法则： ； ； ． （二）新课讲解： 1．同向不等式，异向不等式概念： 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式. 例： 是异向不等式， 是同向不等式. 2．不等式的性质： 定理1：若 ，则 ；若 ，则 ．即 ． 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。 证明：∵ ，∴ ， 由正数的相反数是负数，得： ， ∴ ，∴ ． （定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证．） 定理2：若 ，且 ，则 ． 证明：∵ ，∴ ， 根据两个正数的和仍是正数，得： ，∴ ，∴ ． 说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性. 定理3：若 ，则 ． 证明： ， ∴ ． 说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立（可让学生自证）； （4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 理由是：根据定理3可得出：若 ，则 即 定理3推论：若 ． 证明：∵ ， ∴ ① 又∵ ， ∴ ② 由①、②得 ． 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出； （2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向。 例1．已知 ，求证 证明：由 知 ，由 知 ， ， ∴ ． 例2．已知 ， ，比较 与 的大小．并说明 在什么条件下 与 相等。 解：∵ ， ∴ （1） 又 ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ （2） 由（1）（2）知 当（1）（2）同时取等号时，即 且 时 与 相等。 五．小结：要求大家熟悉并掌握定理1，2，3，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法。 六．作业： 补充：1．能否判定下列两式大小？若能加以证明，若不能举出反例。 （1）如果 ，判断 与 的大小； （2）如果 ，判断 与 的大小； （3）如果 ，判断 与 的大小； （4）如果 ，判断 与 的大小。 2．已知： ，求 的取值范围。
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