高三数学第一轮复习——数列

数列 1、​ 知识梳理 数列概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式：如果数列 的第 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 . 3.递推公式：如果已知数列 的第一项（或前几项），且任何一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即 或 ，那么这个式子叫做数列 的递推公式. 如数列 中， ，其中 是数列 的递推公式. 4.数列的前 项和与通项的公式① ； ② . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何 ,均有 . ②递减数列:对于任何 ,均有 . ③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数 使 . ⑥无界数列:对于任何正数 ,总有项 使得 . 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 ，这个数列叫做等差数列，常数 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 项和公式 ⑴通项公式 ， 为首项， 为公差. ⑵前 项和公式 或 . 3.等差中项 如果 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项.即： 是 与 的等差中项 ， ， 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法： （ ， 是常数） 是等差数列； ⑵中项法： ( ) 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 是等差数列，则数列 、 （ 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 为等差数列，公差为 . ⑶ ； ( , 是常数)； ( , 是常数， ) ⑷若 ，则 ； ⑸若等差数列 的前 项和 ，则 是等差数列； ⑹当项数为 ，则 ；当项数为 ，则 . 等比数列 1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 ，这个数列叫做等比数列，常数 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 项和公式 ⑴通项公式： ， 为首项， 为公比 . ⑵前 项和公式：①当 时， ②当 时， . 3.等比中项 如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项.即： 是 与 的等差中项 ， ， 成等差数列 . 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法： （ ， 是常数） 是等比数列； ⑵中项法： ( )且 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列 是等比数列，则数列 、 （ 是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 为等比数列，公比为 . ⑶ ⑷若 ，则 ； ⑸若等比数列 的前 项和 ，则 、 、 、 是等比数列. 二、典型例题 A、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知 为等差数列 的前 项和， ，求 ； 2、等差数列 中， 且 成等比数列，求数列 前20项的和 ． 3、设 是公比为正数的等比数列，若 ，求数列 前7项的和. 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 ，中间两数之和为 ，求这四个数. 2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知 为等差数列 的前 项和， ，则 ； 2、设 、 分别是等差数列 、 的前 项和， ，则 . 3、设 是等差数列 的前n项和，若 （ ） 4、等差数列 , 的前 项和分别为 , ,若 ,则 =（ ） 5、已知 为等差数列 的前 项和， ，则 . 6、在正项等比数列 中， ，则 _____ __。 7、已知数列 是等差数列，若 , 且 ,则 _________。 8、已知 为等比数列 前 项和， ， ，则 . 9、在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ） 10、在等比数列中，已知 ， ，则 . 11、已知 为等差数列， ，则 12、等差数列 中，已知 B、求数列通项公式 1） 给出前几项，求通项公式 3，-33,333，-3333,33333…… 2）给出前n项和求通项公式 例1、⑴ ； ⑵ . 例2、设数列 满足 ，求数列 的通项公式 3）给出递推公式求通项公式 a、⑴已知关系式 ，可利用迭加法或迭代法； 例：已知数列 中， ，求数列 的通项公式； b、已知关系式 ，可利用迭乘法. 例、已知数列 满足： ，求求数列 的通项公式； c、构造新数列 1°递推关系形如“ ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 中， ，求数列 的通项公式. 2°递推关系形如“ n”，两边同除 或待定系数法求解 例、 ，求数列 的通项公式. 3°递推已知数列 中，关系形如“ ”，利用待定系数法求解 例、已知数列 中， ，求数列 的通项公式. 4°递推关系形如" ,两边同除以 例1、已知数列 中， ，求数列 的通项公式. 例2、数列 中， ，求数列 的通项公式. d、给出关于 和 的关系 例1、设数列 的前 项和为 ，已知 ，设 ，求数列 的通项公式． 例2、设 是数列 的前 项和， ， . ⑴求 的通项；⑵设 ，求数列 的前 项和 . C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 例1、已知 为等差数列 的前 项和， .求证：数列 是等差数列. 例2、已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2Sn·Sn－1=0（n≥2），a1= .求证：{ }是等差数列； 2）证明数列等比 例1、设{an}是等差数列，bn＝ ，求证：数列{bn}是等比数列； 例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列； 例3、已知 为数列 的前 项和， ， .⑴设数列 中， ，求证： 是等比数列； ⑵设数列 中， ，求证： 是等差数列；⑶求数列 的通项公式及前 项和. 例4、设 为数列 的前 项和，已知 ⑴证明：当 时， 是等比数列；⑵求 的通项公式 例5、​ 已知数列 满足 ⑴证明：数列 是等比数列. ⑵求数列 的通项公式； ⑶若数列 满足 证明 是等差数列. D、求数列的前n项和的基本方法： 1）公式法， 2）拆解求和法. 例1、求数列 的前 项和 . 例2、求数列 的前 项和 . 例3、求和：2×5+3×6+4×7+…+n（n+3） 2）裂项相消法，数列的常见拆项有： ； ； 例1、求和：S=1+ 例2、求和： . 3）倒序相加法， 例、设 ，求： ⑴ ； ⑵ 4）错位相减法， 例、若数列 的通项 ，求此数列的前 项和 . 5）对于数列等差和等比混合数列分组求和 例、已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. E、数列单调性最值问题 例1、数列 中， ，当数列 的前 项和 取得最小值时， . 例2、已知 为等差数列 的前 项和， 当 为何值时， 取得最大值； 例3、数列 中， ，求 取最小值时 的值. 例4、数列 中， ，求数列 的最大项和最小项. 例5、设数列 的前 项和为 ．已知 ， ， ． （Ⅰ）设 ，求数列 的通项公式；（Ⅱ）若 ， ，求 的取值范围． 例6、已知 为数列 的前 项和， ， .⑴求数列 的通项公式；⑵数列 中是否存在正整数 ，使得不等式 对任意不小于 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数 ，若不存在，说明理由. 例7、非等比数列 中，前n项和 ，（1）求数列 的通项公式；（2）设 ， ，是否存在最大的整数m，使得对任意的n均有 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。 F、有关数列的实际问题 例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块? 例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的 ％，从2003年开始, 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 每年将非绿化面积的8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2％被非绿化. ⑴设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为 ,经过 年后绿化的面积为 ,试用 表示 ； ⑵求数列 的第 项 ； ⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%(参考数据: )