null8.8 多元函数的极值8.8 多元函数的极值每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的提出8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件播放8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件null1、二元函数极值的定义null例1例２例３null2、多元函数取得极值的必要条件证nullnull 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.null8.8.2 极值的充分条件8.8.2 极值的充分条件null 注： 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按
极值定义判定之.nullnullnullnull解null例4 讨论函数例4 讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为8.8.3. 多元函数的最大值、最小值问题求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.8.8.3. 多元函数的最大值、最小值问题null解如图,nullnullnull解由null无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.null例7 用一块面积为 12 平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大? 解：设水柜的长、宽、高分别为x，y，z，则 null因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容积为4。条件极值：对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制8.8.4 条件极值与拉格朗日乘数法8.8.4 条件极值与拉格朗日乘数法null条件极值：对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题例:方法2 拉格朗日乘数法.方法2 拉格朗日乘数法.如方法1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记故 故有null引入辅助函数辅助函数L称为拉格朗日函数, 极值点必满足则极值点满足:拉格朗日乘数法 null则极值点满足:null拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 推广:null例8 求函数f(x,y)=x2 +2y2在条件x2 +y2 =1下的最值.解null目标函数：约束条件：x2 +y2 =1null例9 求椭圆抛物面 z=x2 +2y2 与平面 3x+6y+2z=27 的交线上与xOy平面的最短的距离.解null解则nullnullnullnull解nullnullnull可得null由数学模型小 结小 结多元函数的极值求条件极值的拉格朗日乘数法（取得无条件极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值思考题null思考题解答练 习 题练 习 题nullnullnull8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件null8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件
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