www.dearedu.com 四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解
题
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。数学中的定理、
公式
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、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP
1 C. a>0 D. a<－1或a>1 4. 椭圆 ＋ ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为_____。 A. 8 C. 7.5 C. D. 3 5. 奇
函数
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f(x)的最小正周期为T，则f(－ )的值为_____。 A. T B. 0 C. D. 不能确定 6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值 为_____。 【简解】1小题：利用并集定义，选B； 2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B； 3小题：利用复数模的定义得 < ，选A； 4小题：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A； 5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－ )＝f( )＝－f(－ )，选B； 6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z ＋3 －4，求w的三角形式； ② 如果 ＝1－ｉ，求 实数a、b的值。（94年全国理） 【
分析
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】代入z进行运算化简 后 ，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z ＋3 －4＝(1＋ｉ) ＋3 －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是 （cos ＋ｉsin ）； 由z＝1＋ｉ，有 ＝ ＝ ＝(a＋2)－(a＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得： ， 解得 。 【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。 例2. 已知f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判定在( ,1)上的单调性。 【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。 【解】 解得： ∴ f(x)＝－x ＋x 解f(x)>0得：0 ， x +x > ∴ (x +x )( x +x )〉 × ＝1 ∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ,1)上是减函数 ∵ <1 ∴ y＝log f(x) 在( ,1)上是增函数。 A’ A D C’ C O H B’ B 【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。 例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。 1 证明：AB’∥平面DBC’； 2 假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD ∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形 ∴ O是B’C中点 △AB’C中， D是AC中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面DBC’ 2 作DH⊥BC于H，连接OH ∴ DH⊥平面BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH为所求 二面角的平 面角。 设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝ ； Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ， ∴ OH＝ ＝DH ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。 【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解 三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，所以B’E＝ 。 y M F A x 例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到： ，消m得：（x－1） ＋ ＝1， 所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋ ＝1。 【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数y＝f(x)＝a ＋k的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则f(x)的
表
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达式是___。 2. 过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A 、B ,则∠A FB 等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知A＝{0,1}，B＝{x|x A}，则下列关系正确的是_____。 A. A B B. A B C. A∈B D. A B 4. 双曲线3x －y ＝3的渐近线方程是_____。 A. y＝±3x B. y＝± x C. y＝± x D. y＝± x 5. 已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6. C ＋C ＝________。 7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数 的辐角主值是__________。 8. 不等式ax ＋bx＋c>0的解集是(1,2)，则不等式bx ＋cx＋a<0解集是__________。 9. 已知数列{a }是等差数列，求证数列{b }也是等差数列，其中b ＝ (a ＋a ＋…＋a )。 10. 已知F 、F 是椭圆 ＋ ＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F 与抛物线y ＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F F ·cos∠MF F ＝ ，求椭圆方程。
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