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单摆和复摆、混沌现象

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单摆和复摆、混沌现象 同学们好同学们好 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第2页共40页 一、单摆: 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。 l m q 研究摆动的理想模型——单摆和复摆 建立如图自然坐标 mg l m q N t n btt mlmaF == 切向运动方程 2 2 sin t mlmg d d q q =- 0sin2 2 =+ q q l g td d 第五...

单摆和复摆、混沌现象
同学们好同学们好 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第2页共40页 一、单摆: 无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动。 l m q 研究摆动的理想模型——单摆和复摆 建立如图自然坐标 mg l m q N t n btt mlmaF == 切向运动方程 2 2 sin t mlmg d d q q =- 0sin2 2 =+ q q l g td d 第五节第五节 单摆和复摆单摆和复摆 混沌现象混沌现象 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第3页共40页 0sin2 2 =+ q q l g td d ×××-+-= !5!3 sin 53 qq qq 单摆运动的微分方程 非线性微分方程 无解析解 0sin22 2 =+ qw q td d 令 l g=2w 得: mg l m q N t n PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第4页共40页  很小时当q qq »sin 022 2 =+ qw q td d 简谐振动(角谐振动) )cos( jwqq += tm 由初始条件决定 运动方程: g lT p w p 22 ==周期: 0sin22 2 =+ qw q td d PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第5页共40页 二. 复摆 绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体 由刚体定轴转动定律 bJM = 2 2 sin t Jmgh d d q q =- 0sin2 2 =+ q q J mgh td d 令 J mgh =2w 0sin22 2 =+ qw q td d ——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程 mg J C o h q PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第6页共40页  很小时当q qq »sin 022 2 =+ qw q td d 角谐振动 mgh JT p w p 22 == )cos( jwqq += tm 由初始条件决定 运动方程: 周期: 由小角度摆动都是谐振动,可推广到 一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如:晶体中原子或离子在晶体空间点阵格点平衡位 置附近的振动;理想气体分子中原子在平衡位置附近 的振动…… PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第7页共40页 大角度摆动不是谐振动,可用相图 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其运动。 { 以状态参量为坐标变量 相平面上的点与运动状态对应 相点在相平面上的运动轨迹 相平面(相空间) 相点 相图 例. (1)匀速直线运动 (2) 匀速率圆周运动 xO t xv d d = qO td dq w = PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第8页共40页 (4) 简谐振动(3) 匀加速直线运动 )00,( 00 ==+ xvx沿 axv 22 = t xv d d = axv 22 = x 1 )( 2 1 2 1 2 =+ w C t x x c d d t xv d d = x PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第9页共40页 三、单摆和复摆的相图 时设 0=t ,0qq = 得0d d = t q 0 2 cosqw-=C )cos(cos2)( 0 22 qqw q -= td d 作 q q ~ td d 曲线, 即相图 微分方程: 积分: C t =- qw q cos)( 2 1 22 d d )( 由初始条件决定C 0sin d d 2 2 2 =+ qw q t PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第10页共40页 讨论:1. 00 =q 对应0点 系统的稳定平衡点 对t 积分 2. 0 0 5 td dq 向原方向旋转 (2): ¯q 0< td d q 向回摆动 5. 初始能量再增大。相图不再闭合:旋转运动 }行为不完全确定 (1) (2) PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第13页共40页 * 四、混沌 1. 混沌:决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。 运动方程是完全确定的(非线性微分方程) 由方程自身演化出来,在一定条件下行为不完全 确定(内在随机性) 例1:任意摆角的无阻尼单摆 系统运动的描述(微分方程)完全确定 )(系统运行中一定条件下 pq = 出现随机性状态: GG ¢,鞍点 0sin d d 2 2 2 =+ qw q t PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第14页共40页 :,GG ¢ 介于往复摆动和单向旋转间临界状态, 究竟如何运动? 取决于初始条件的细微差别 轻杆上联结质点组成单摆,给一个初值, 让它恰好摆到最高点静止,能否实现? 问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 P34图 T :小角度摆动周期 :大角度摆动周期 ¥®¢® Tm ,pq T ¢ PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第15页共40页 例2:湍流 雷诺实验 流速达一定值 层流 湍流 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第16页共40页 蜡烛周围的空气 金星的大气层 尾喷管气流 湍流 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第17页共40页 湍流 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第18页共40页 水流速较高时, 滴水间隔时间出现混沌。 例4:滴水龙头 例3: 洛仑兹水桶 水流速度达到一定值,水轮的运动不可预测, 出现混沌。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第19页共40页 2. 混沌的特征和意义 世界本质上是非线性的,线性系统只是理想 模型。混沌是自然界的普遍现象。 物理、化学、生物、气象、农业、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 、经济…... 无所不在 (稳定与突变) (1)普遍性 (2) 对初始条件的极端敏感 混沌的发现 1961年:美国气象学家洛仑兹用计算 机模拟求解天气变化的序列数据, PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第20页共40页 偶然发现初值的微小差异(0.506127~0.506) 带来结 果的巨大偏差 蝴蝶效应:“巴西亚马逊河丛林中的一只蝴蝶扑腾 了几下翅膀,三个月后在美国得克萨斯州可能引 起一场龙卷风” 1963年:洛仑兹在《气象科学杂志》发表《确定 性非周期流》,考虑大气对流过程的动力学效应 和热传输效应,建立非线性方程组。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第21页共40页 相图: 洛仑兹奇异吸引子 1963年:洛仑兹构建大气动力学模型 bzxyxyz t z xzyxxzyx x y yxyx t x -=+-= --=--= --=+-= 3 8 28 )(1010 d d d d d d g s 温度分布的非线性度 上升、下降流温差 对流强度 : : : z y x PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第22页共40页 相轨迹在两“翅”上跳跃,自身不相交,不构成 任何周期运动,系统状态变化具有不可预测的随机性 ---长期的天气预报是不可能的。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第23页共40页 系统状态演变对初值极端敏感,相图中两个任意靠 近的点经过足够长时间,在吸引子上宏观地分离开,对 应截然不同的状态——由于实际上对初值的测量不可能 绝对精确,这种不确定性在一定条件下被放大,导致不 可预测的结果——蝴蝶效应。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第24页共40页 台球问题 理论计算的完全对称的结 果实际操作如何? 不能保证A与B、C同时接 触,初值无限小的偏离造成 截然不同的结果。 光滑水平面上有三个完全相同的台球,A 沿 B、C 中心联线的垂直平分线射去,完全弹性碰撞,碰后如 何运动? A v B C PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第25页共40页 数学问题 迭代 )1(4 11 -- -= nnn xxx 取 1.00 =x 10000001.00 =x 1000001.00 =x 混沌:不稳定性, “差之毫厘,失之千里” PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第26页共40页 (3)强调整体论思维方式,开创复杂性研究的新方向。 物理学中的 两类描述 确定性描述——牛顿力学... 概率性描述——分子物理 ,量子力学... 确定性实例: “我们必须把目前的宇宙状态看成它以前状态 的结果,以及以后发展的原因。如果有一种智 慧能了解在每一时刻支配着自然界的所有力, 了解宇宙中所有物体的相互位置,如果这种智 慧伟大到能对这样众多的数据进行分析,把宇 宙中最庞大的天体到最轻微的原子的运动归结 到一个公式之中,那么对他来说没有什么事情 是不确定的,将来就象过去的那样展现在他的 眼前” 拉普拉斯 (法.1749-1827) PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第27页共40页 一定条件下必然发生某一结果: •物理实验中采用多次重复求平均值 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来减小误差, •日食、月食、哈雷彗星回归 …... 概率性描述实例: 分子运动与气体压强, 投骰子、硬币, 打靶 ... PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第28页共40页 概率性描述的共同特征: 物理量在随机因素影响下可取不同数值,无 法预知。但存在总体规律,物理量取某值的 概率是确定的。伴随涨落。 短期(少量)无法预侧。 长期(大量)呈现规律。 混沌——确定性系统的内在随机性 伪随机性 (貌似随机) 方程是确定的.物理量短期值可以预测.但由于初值不 可能绝对准确.长期预测是不可能的。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第29页共40页 推荐读物: 1. 梁美灵、王则柯, 童心与发现——混沌与均衡纵横谈 (三联书店:1996) 2. (美)米歇尔·沃尔德罗普, 复杂——诞生与秩序与混沌边沿的科学 ( 三联书店:1997) PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第30页共40页 掌握: 4. 同一直线上同频率谐振动合成 2. 旋转矢量法 3. 振动曲线 1. 简谐振动的运动方程,特征量,能量计算 (弹簧系统,准弹性系统) 第12章习题课 一.教学要求 二. 基本练习 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第31页共40页 练习1: 一弹簧振子沿 x 轴作简谐振动,已知振动物体的最大 位移为 ,最大回复力 , 最大速度为 ,又知 t =0 时的初位移 为0.2m,初速度与 x 轴反向。求: (1)振动能量;(2)振动方程。 m40m .x = N80m .F = -1 m sm80 ×= p.v 解:(1) N80 m40 m m .kAF .xA == == 1m mN2 40 80 -×=== . . A Fk (J)160402 2 1 2 1 22 ..kAE =´´== PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第32页共40页 解:(2) 由初始条件: 0sin- 2 1 40 20cos 00 0 0 <= === jw j Av . . A x 30 p j = 又: )(s2 40 80 1m m -=== = p p w w . . A v Av ( ) ( )SI32cos40)cos( 0 ppjw +=+= t.tAx 得: PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第33页共40页 练习2: 图中水平面光滑。两弹簧完全相同,且最初处 于原长状态。令m 沿水平面振动,经过平衡位 置 O时,另一质点M 恰自由落下粘在 m 上,求 M 粘上前后,振动系统角频率比及振幅比。 M m k k x O PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第34页共40页 解:粘上M以前 运动微分方程 2 2 22 t xmkxFFx d d =-== 022 2 =+ x m k t x d d 系统作简谐振动 m k2 1 =w 粘上M以后 Mm k + = 2 2w m mM + = 2 1 w w m k k x O F F PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第35页共40页 M与m粘接过程水平方向动量守恒 21 )( vMmmv += 12 vMm mv + = 11max1 wAvv == 1 1 1 w vA = 2 2 2 w vA =同理: m mM v v A A + ==\ 1 2 2 1 2 1 w w 1vOmM 时速率为经过平衡位置前,设粘上 2vOmMM 时速率为经过平衡位置后,设粘上 + PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第36页共40页 思考和讨论 21 21 kk kkk + =串 ; 111 21 ) kkk ( += 21 kkk +=并 (1) 如果M是在m运动到最大位移处,垂直落在m上 的,情况如何? (2) 如果两弹簧串接在一起,再联结m,情况又如何? k m k1 k2 x O m k x 等效于 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第37页共40页 m x 已知: 求: T m,J,R,k 对滑轮:由刚体定轴转动定律 )4(d d)( 2 2 12 t JRFF q=- 解:以平衡位置为坐标原点, 向下为正。 )2( )1(0 qRx mgkx = = R J 1F 2F 2F mg )3()( 01 xxkF += 对质点:由牛顿第二定律 )5( d d 2 2 2 t xmFmg =- 练习3 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第38页共40页 k RJmT RJm k 2 2 22 ; + == + = p w p w 可得: PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第39页共40页 练习4:用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度 宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品,此弹簧 秤在10cm长的刻度尺上读数从0——10N,他称一块月 球岩石时读数为4N,让岩石上下自由振动时的周期为 0.98s,试由此估算月球表面的重力加速度。 解: m k T kxmg x = = = = w w p2 04.0 0 0 m 2 2 2 2 0 2 20 98.0 404.04 ) 2 ( pp pw ´ == === T xg gTg k mgx 264.1 -×= sm PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com 第40页共40页 三. 自学内容: 电磁振荡 阻尼振动、受迫振动、共振 四.大作业 任选下列内容之一,完成自学 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 , 1.阻尼振动、受迫振动、共振 2.电磁振荡(12章),电磁波(13章) 第7周交报告,在期末总成绩中占10分。 完成作业No.1,星期五交作业。 PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
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分类:理学
上传时间:2011-05-15
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