单摆系统通向混沌的道路

第27卷第1期 2008年1月 大学物理 COLLEGEP}IYSICS V01．27No．1 Jan．2008 单摆系统通向混沌的道路 符五久，饶黄云 (东华理工学院物理系，江西抚州 344000) 摘要：对受迫非线性单摆系统进入混沌的道路进行了研究，发现单摆系统的运动是极其复杂的．目前在其他系统发现的 进入混沌的通道，在该系统中几乎均可找到．这是一个介绍混沌运动的典型系统． 关键词：单摆；混沌道路；异宿缠绕 中图分类号：O313 文献标识码：A 文章编号：1000—0712(2008)01一0005—06 随着非线性科学研究的不断深入，特别是20世 纪60年代混沌现象的发现，极大地激发了人们探索 自然界和社会中存在的各种复杂性问题的热情，同 时也改变了人们观察周围世界的思维方法．目前，人 们已经发现，在自然科学的各个不同的领域内，各种 系统有着共同的概念．非线性系统具有超越不同学 科领域局限性的共同性质，非线性研究正从范例的 研究走向一个以探索复杂性为目标的学科——非线 性科学．以混沌现象作为中心课题的非线性科学的 基本概念将会持久地影响自然科学的进程，成为继 量子力学、相对论之后的一次新的科学革命，并且在 哲学与方法论方面引起深刻的变革．作为21世纪的 大学生，接受非线性思想的熏陶已势在必行，这己成 为人们的普遍共识． 但是，如何在大学物理的水平引入混沌现象，是 一直在探讨的问题．我们认为从单摆引进混沌现象 是一种较合适的方式．为此，本文对单摆系统中的混 沌现象作了较细致的分析，在此基础上做些修改就 可向学生介绍混沌现象． 1 单摆系统的动力学方程 为了能让单摆做大幅度的运动，我们把悬挂小 球的细线换成刚性细棒，细棒的质量忽略不计．设摆 长为Z，小球的质量为优，阻尼系数为y，在摆运动 方向上受到一个简谐外力的作用，则其运动方程为 mZ口+”口+优gsin目=Fcos∞。。￡(1) 令∞。=√手，，=嘉，r=∞。z，n=罢，p2五急， 将方程(1)无量纲化，得 臼+2矽+sin口=厂cos0r (2) 其中J=掣．在小摆幅情况下，方程(2)可化为线性 方程，其解包含了有关阻尼振动、受迫振动和共振等 问题的结果．如果不限制摆动的幅度，则单摆的运动 变得非常复杂． 在动力学理论中，通常将一个高阶微分方程改 写成一阶微分方程组的形式．令日=cU，则方程(2)可 改写为 f： {∥2∞ (3) 【西=一2pct，一sin口+厂cosnr 再令妒=0r，则方程(3)可写成一阶的自治方程组 形式： I万=叫 j曲=一2卢c￡J—sin目+，cos驴(4) b：o 称自治方程组(4)为动力学方程(2)的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式，也 称为动力学方程，运动方程或状态方程． 当方程(4)中卢=0，，=0时，系统是无阻尼无 驱动的，其相轨线如图1(a)所示．在能量较小时，单 摆的相轨迹是封闭的曲线，代表摆做周期振荡；在能 量较大时，单摆的相轨线是朝着一个方向逃逸的非 封闭曲线，代表摆做旋转运动．图1(a)中两相交的 轨线是周期轨线和逃逸轨线的分界线，称为异宿线， 两交点A、B称为异宿点(或双曲点、鞍点)，封闭轨 线包围的中心点O称为中心或椭圆点．对于高维保 守系统，由于相轨线受守恒定律的约束，相轨迹在相 收稿日期：2006—05—22；修回日期：2007—05—15 作者简介：符五久(1956一)，男，安徽无为人，东华理工学院物理系教授。主要从事物理学教学和研究工作 万方数据 6 大学物理 第27卷 空间中被限制成一定的形式，是个维数低于相空间 维数的曲面，通常称为KAM环面．图1(a)中的封闭 轨线和非封闭轨线是一维的KAM环面．当有驱动 时，单摆系统可以出现混沌运动，典型相轨迹如图1 (b)、(c)所示，它是由周期(或准周期)轨线和旋转轨 线组成的．所以，无阻尼单摆系统的混沌运动就是一 (a)无驱动无阻尼单摆相轨迹 忽儿做振动(周期或准周期的)，一忽儿又做转动．而 这些振动(周期或准周期的)和转动是完全随机的， 即何时做振动何时做转动，在什么位置上做振动在 什么位置上做转动，运动方向如何，做振动、转动的 次数等都是不确定的，无法预测的． 2保守单摆系统进入混沌的道路 酬rad 【b)有驱动无阻尼单摆相轨迹(口=1，产029522) 图1 当方程(4)中口=0时，我们用龙格一库塔方法 对方程(4)进行数值求解，作出的庞加莱截面如图 2、4、5所示．可见，受迫保守单摆系统进入混沌的过 程有两种方式：第一种方式是随着驱动幅度厂增 大，首先KAM环变形，然后破裂，最后破碎(混沌)， 如图2所示．应该注意，图2中的(c)图是有结构的， 如图3所示．图3(b)是图3(a)(它就是图2(c))的一 个小环的放大，图3(c)是图3(b)的一个小环的放大 8，忍d (c)有驱动无阻尼单摆相轨迹(口_(5”一1)，2，产1．O) 图．可见，它们的结构都是由环构成的，是无穷层次 的自相似结构，即一层一层地环中套环．仔细观察图 2(d)，可以看出，它是由许多破碎的KAM环组成， KAM环的破碎情况如图3(d)所示．第二种方式是 随着驱动幅度厂增大，KAM环发生扭曲，然后直接 破碎(混沌)，这种情况参数变化范围很窄，如图4、 图5所示．图4(c)是图4(a)的一个扭曲部分的放大 图．可见，图4(a)也是由环构成自相似结构．图4(b) 也是由许多破碎环组成，其破碎情况与图3(d)完全 一样．对扭益情况，还存在一种无自相似结构的情 8扭ad (c)o=1，／卸．252 图2 KAM环变形一破裂一破碎(混沌) 万方数据 第1期 符五久，等：单摆系统通向混沌的道路 7 况，如图5(c)(是图5(a)的一个扭曲部分的放大图) 所示．图5(b)仍然由许多破碎环组成，其破碎情况 与图3(d)类似．于是，保守单摆系统进入混沌的机 制是环面破碎． 删 (a) 0，仡d (c) 因为非线性系统的振动频率与振幅有关，当驱 动幅度厂变化时，系统频率也随之变化．当接近或 满足共振条件时，KAM环破裂或严重扭曲，甚至破 碎导致混沌．应当注意的是，破碎的状态所对应的能 图3椭圆点的KAM环的自相似结构 图5 KAM环扭曲一破碎(混沌) e{rad (m 万方数据 8 大学物理 第27卷 量大于环面上状态的能量．这样，系统就可以从原来 振动状态(对应图1(a)中的封闭轨线)跃迁到转动 状态(对应图l(a)的逃逸轨线)．由于驱动是周期性 的，当驱动使系统偏离共振条件时，系统又可以从转 动状态回到振动状态．这样，系统的状态就在图1 (a)中的封闭轨线和逃逸轨线之间不断穿越．在穿越 过程中，轨迹一定与异宿轨线相交，根据异宿、同宿 缠绕理论，不管是稳定轨道还是不稳定轨道，一旦与 同宿或异宿线(稳定或不稳定的)有一个交点，就会 有无穷多交点．这种同宿缠绕(homoclinictangle)或 异宿缠绕(heteroclinictangle)只有在满足共振条件 的不可积系统中才会出现，而同宿缠绕或异宿缠绕 即蕴涵着混沌．所以，单摆系统出现的混沌还存在异 宿缠绕机制． 总之，无耗散的受迫单摆系统，从规则运动进入 混沌运动的机制是：当驱动幅度变化使系统发生共 振时，KAM环破碎，同时伴随异宿缠绕使系统进入 混沌运动．摆的混沌运动就是一忽儿做振动(周期或 准周期的)，一忽儿又做转动，做振动、转动的时间、 位置、运动方向、次数等都是不确定的，无法预测的． 典型的混沌相轨迹如图1(b)、(c)所示． 3 阻尼单摆系统进入混沌的道路 3．1倍周期序列分岔到准周期，再经准周期进入 _^ 唑 堇 龟 删 (a)口叠(5m—1)／2，卢墨o．35，产1．32 蝴 (c)口=(5“一1)／2，卢=o．35，，-1．35 混沌 在方程(4)中考虑阻尼，对不同的驱动幅度厂 求解方程(4)．随着厂增大，环面从1环分岔到2环， 2环分岔到4环，4环分岔到8环，这是倍周期分岔， 如图6(a)、(b)所示．但不是一直由倍周期序列到混 沌的，中间要经过图6(c)的准周期过程才进入混沌 (我们已验证图6(d)是混沌轨迹)．由图6(d)可以看 出，相轨线在某一位置缠绕多圈后又转到另一处缠 绕多圈，但轨线不封闭．它对应着摆在某处作准周期 振动多次后，通过旋转数圈后又转移到另一个地方 再作准周期振动，这与2．1节中的混沌运动是一样 的．所以，倍周期分岔到准周期后，最后混沌状态还 是在振动和转动之间变化，在穿越异宿轨线时也发 生异宿缠绕现象． 3．2倍准周期序列进入混沌 在方程(4)中取参数口=0．35，n=0．3，对不同 厂的相轨迹作庞加莱截面得图7(a)一(e)．图中的 点，实际上是由短线组成的，表示是准周期运动．准 周期轨道局限在一个小邻域上缠绕，随着驱动幅度 增大，缠绕邻域稍有扩大，进入混沌之前，准周期环 面破碎．这样，图7进入混沌的过程可以看作是通过 倍准周期序列进入混沌的．图7(e)的混沌相轨道由 振动和转动轨线组成，如图7(f)所示，必然伴随着 异宿缠绕现象． ‘ 萼 删 ∞口一(5”一1)／2，卢卸．35，产1327 图6相轨迹 洲 (d)口鼍5”一l胆，口=o．35，产1．4 万方数据 第l期 符五久，等：单摆系统通向混沌的道路 9 图8旋转一混沌(左列为相轨道，右列为庞加莱截面) 3．3倍周期序列分岔到准周期，再由准周期到周期 3，然后进入混沌 在方程(4)中取口=O．45，0=2／5，厂在1．23至 1．27之间，我们发现由倍周期序列到准周期，再由 准周期到周期3，然后由周期3进入混沌的道路．按 李天岩一约克定理，出现周期3，必存在沙尔可夫斯 基序列，也意味着混沌的存在．混沌轨道也是由封闭 曲线和逃逸曲线组成，伴随着异宿缠绕现象． 3．4由旋转进入混沌 如果仍取p=0．45，力=2／5，将参数．厂调到 1．41至1．42之间，我们发现由旋转进入混沌的道 路，如图8所示．图8(a)表示的是由两种旋转速度 万方数据 10 大学 物理 第27卷 组成的规则旋转运动，图8(b)表示的是由无数不同 旋转速度组成的无规则旋转运动；由庞加莱截面可 以看出，KAM环已破碎，我们对它进行了研究，它 对初值不敏感，是一种非混沌的随机运动．图8(c) 表示的是混沌运动，对初值非常敏感．由混沌轨道可 以看出，它是由旋转轨线来回缠绕组成的．它从上旋 转轨线折回下旋转轨线的过程中必穿过界轨，与异 宿线相交，出现异宿缠绕现象． 3．5环破碎进入混沌 在有阻尼的单摆系统中也存在保守系统的情 况，由环面破碎进入混沌的道路．我们取口=0．25， n=2／5，研究了厂在0．9至O．99之间的情况，没有 发现倍周期分岔等其他情形，而是由环面破碎直接 进入混沌的． 4单摆系统中的一些结论 由以上讨论，我们可以得出以下结论：s 1)单摆系统模型虽然简单，但其中有各种通向 混沌的道路．它的运动行为是极其复杂的，属于复杂 系统． 2)单摆系统虽然通向混沌的道路很多，但最终 的混沌状态，都是一忽儿做振动，一忽儿又做转动 (作振动、转动的次数、位置、运动方向等都是不确定 的，无法预测的)．所以，由其相轨迹很容易判断混沌 运动：如果相轨迹是由振动轨线和转动轨线无规组 成的或由转动轨线无规则来回缠绕组成的，则一定 是混沌运动． 3)因为单摆在作混沌运动时，状态在振动态和 转动态之间来回穿梭，必与界轨相交．所以，同宿和 异宿轨道理论适应单摆系统的混沌分析． 参考文献： [1]刘秉正，彭建华．非线性动力学[M]．北京：高等教育出 版社，2004． [2]王瑞丽，吴光敏，段良和．非线性物理理论及应用[M]． 北京：科学出版社，2000：1_11；85_171． [3]赵凯华．从单摆到混沌[J]．现代物理知识，1993，5(4， 5)． 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