收稿日期：!""!#"$#"%；修改稿收到日期：!""!#"&#’(
作者简介：郎和（’)*(—），浙江余杭人，讲师 + 主要研究方向为物理教育与计算物理 +
·教学研究·
保守单摆系统中的混沌运动
郎 和
（西北师范大学 物理与电子工程学院，甘肃 兰州 &(""&"）
摘 要：分析并数值模拟了受扰保守单摆系统中 ,-.环面的变形、扭曲、破裂及混沌出现的过程 +
关键词：保守单摆系统；,-.环面；混沌
中图分类号：/ (!! 文献标识码：- 文章编号：’""’#)%%!（!""!）"0#"’"%#"(
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内容
财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容
，然而，学
生学完单摆后，只知道单摆做简谐振动，对单摆所
包含的其它运动形态一无所知 + 现在我们已知道，
具有耗散（即阻尼）的单摆系统，在任意摆幅下
（非线性的），当受到周期驱动时会出现极其复杂的
运动形态，并且可通过周期倍分岔进入混沌状
态［ ’］+ 事实上，没有耗散的保守单摆系统，当受
到扰动后同样也会出现混沌运动 + 文献［ !］数值模
拟了保守单摆系统在界轨（即周期振动与单向转动
的分界处）附近随机层的演变特征 + 笔者分析并数
值模拟了保守单摆系统的不变环面（即 ,-.环面）
随扰动的演变特征及环面的破裂到混沌的出现过
程 +
设单摆摆锤的质量为 ! + 为了包括大振幅摆
动，设连接摆锤的细线为刚性细线，其质量可忽
略，长为 "，设其相对于平衡的下垂位置的角位移
为!+ 重力加速度为 #，不考虑空气阻力（保守系
统），且单摆受到一周期性外力扰动 + 则运动方程
为［ ’］
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万方数据
坏 ! 对保守、受扰动的非线性摆（（ "）式），由于其
振动频率是随振幅变化的，因而，不同半径的不变
环面上的振动频率不同 ! 振动频率与驱动频率之比
为有理数的不变环面称为有理面，否则称为无理环
面 ! 当扰动较小时（ !!#），大多数无理面仅发生
形变而不破裂，这种不变环面称为 $%&环面 ! 当
扰动大时，$%& 环面会被破坏而破裂，出现复杂
运动 ! 为了展示 $%&环面的破裂过程，我们数值
求解了方程（ "），图 "为当! ’!时，在不同扰动
下的相图 ! 从图中可清楚地看出，随扰动的增大，
环面不断变形，且在 ! ’ ( 时环面严重扭曲 ! 当
! ’ )*+时，被扭曲、变形的环面再不能维持，并
首先从两端破裂，相轨线脱离环面，系统进入混沌
运动状态 !
图 " 不同扰动下的相图
图 (为与图 "相对应的庞加莱截面图，该图进
一步形象地展示了环面的破裂过程 ! 庞加莱截面从
! ’ #*)的椭圆首先变得左右不对称（ ! ’ "），并逐
渐变形（ ! ’ "*,-），当 ! ’ (， ! ’ (*-)时，由于环面
严重扭曲，使庞加莱截面图表现为分离的 (部分 !
之后，庞加莱截面进一步变形（ ! ’ (*.)），并在
! ’ )*+时，相点在庞加莱截面上出现了大范围的随
机层，系统进入了混沌运动 !
图 ( 不同扰动下的庞加莱截面
另外，数值分析发现，$%& 环面破裂对扰动
的依赖与驱动频率的大小有关，越小，则较小的扰
动就可使 $%&环面破裂 ! 当!变大时，系统趋于
混沌运动的过程随之增大减缓，即需较大的扰动才
可使 $%&环面破裂 !
上面通过数值模拟，形象、直观地展示了保守
单摆系统中 $%&环面的破裂过程，可从中了解到
$%&环面破裂的中间历程，也进一步看到了单摆
系统的复杂性 !
参考文献：
［ /］ 赵凯华 ! 从单摆到混沌［0］! 现代物理知识，/,,"，
!（(）：/-—/(；/,,"，!（)）：-)—-.!
［ -］ 李元杰 ! 单摆的
规则
编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf
随机及混沌运动的研究［0］! 大
学物理，/,,.，"#（,）：+—.!
（责任编辑 孙晓玲）
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西 北 师 范 大 学 学 报（自然科学版） 第 ".卷
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