null第八节 多元函数的极值
一、极值和最值第八节 多元函数的极值
一、极值和最值nullnull2、多元函数取得极值的条件证nullnull 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零
的点，称为函数的 驻点.驻点极值点注意：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？nullnullnull例1. 求函数解: 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .在点(1,0) 处为极小值;由的极值.null在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;null及是否取得极值.解: 易证 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为例2.讨论函数null解nullnull求最值的一般
方法
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将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3、多元函数的最值特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点 P 时, (大)(大)null解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点例4. 某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.null解nullnull解由null二、条件极值二、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,方法2 拉格朗日乘数法.方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,故极值点必满足设 记例如,故有null引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件null例7. 要
设计
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一个容量为则问题为求 x , y ,令解方程组解: 设 x , y , z 分别
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示长、宽、高,下水箱表面积最小.z , 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 null得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何 ?提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何 ? 提示:长、宽、高尺寸相等 .null解则null解化简得nullV 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大，故取拉格朗日函数 null得由null例10 求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：设为抛物面上任一点，则 P 的距离为问题归结为约束条件:目标函数:作拉氏函数到平面null令解此方程组得唯一驻点由实际意义最小值存在 ,故内容小结内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法3. 函数的最值问题3. 函数的最值问题设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别• 比较驻点及边界点上函数值的大小• 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)在条件求驻点 . null解思考与练习null2. 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆上求一点 C , 使△ABC 面积 S△最大.解答提示:设 C 点坐标为 (x , y),则 null设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.null练 习 题nullnull
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