微观经济学计算题

计算题 一年级下册数学竖式计算题下载二年级余数竖式计算题 下载乘法计算题下载化工原理计算题下载三年级竖式计算题下载 第二章 需求、供给 计算题 假设X商品的需求曲线为直线，QX=400.5PX,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，请根据上述条件求Y的需求函数。 解:当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY, 由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY. 某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，PX=2元，PY=3元。求（1）为获得最大效用，他会购买几单位X和Y？（2）货币的边际效用和总效用各多少？（3）假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？ 解:（1）由U=XY，得MUX=Y，MUY=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3 考虑到预算方程为2X+3Y=120 解得X=30，Y=20 （2）货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10 总效用TU=XY=600 （3）提价后PX=2.88 新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3 由题意知XY=600，解得X=25，Y=24 将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元 ΔM=144-120=24元 因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。 3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性 证明：dQ/dP=-aP-2, Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1, 故| Ed|=1，为单一弹性。 4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性. 解:由题设, P1=32, P2=40, Q2=880 Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000 于是,Ed=[(Q2-Q1)/( P2-P1)]×[(P1+P2)/(Q1+Q2)]≈-0.57 故需求弹性约为-0.57. 5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10％？ 解：因为（dQ/Q）·（P/dP）=-0.5 要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5 dP=1.2×0.2=0.24 所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元 6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化？ 解：因为芯片弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-2 所以dQ/Q=-2×2%=-4% 因为软盘驱动器弹性（dQ/Q）·（P/dP）=-1 所以dQ/Q=-1×2%=-2% 即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。 7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为：u=xy, x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。 解：Mux=y Muy=x 因为Mux/Px=Muy/Py 得X=y 又因为4X+4y=144 得X=y=18 购买18单位x与18 单位y，在x价格为9时需要的收入M=234 在实际收入不变时，Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4 且9x+4y=234 得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。 再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mux=y Muy=x Y/x=9/4且 9x+4y=144 得X=8 y=18 由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。 8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1；（2）PX=1，PY=3，该消费者均衡时的MRSXY为多少？（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X的需求收入弹性是多少？ 解：（1）消费者均衡时，MRSXY=Y/X=PX/PY，即PXX=PYY， 又因为PXX+PYY=M，故X=M/2PX，可见对X的需求不取决于Y的价格。 由于dX/dPX=-M/2PX2 |EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1 (2)已知PX=1，PY=3，消费者均衡时，MRSXY=PX/PY=1/3。 （3）因为X=M/2PX，所以dX/dM=1/2PX， 若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX =2PX。 对X的需求收入弹性EM=（dX/dM）（M/X）=1 9、已知销售商品X的总收益（R=PQ）方程为：R=100Q-2Q2，计算当边际收益为20时的点价格弹性。 解：由R=100Q-2Q2，得MR=dR/Dq=100-4Q 当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q2，得P=100-2Q=60 Ed=(dQ/dP)·(P/Q)=(-1/2)·(60/20)=-3/2 10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：PX=1000-5QX，PY=1600-4QY，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。（1）求X和Y当前的价格弹性；（2）假定Y降价后，使QY增加到300单位，同时导致X的销售量QX下降到75单位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少？（3）假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理？ 解：（1）PX=1000-5QX=1000-5×100=500 PY=1000-5QY=1600-4×250=600 EdX=(dQX/dPX)·(PX/QX)= (-1/5)·(500/100)=-1 EdY=(dQY/dPY)·(PY/QY)= (-1/4)·(600/250)=-3/5 （2）由题设，QY’=300,QX’=75 则 PY’=1600-4QY’=400 ΔQX=-25, ΔQY=-200 于是EXY=(ΔQX/ΔPY)·[(PY+PY’)/2]·[2/(QX+QX’)]=5/7 (3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性, 这时降价会使销售收入减少,故降价不合理. 第三章 消费者行为理论 计算题 1、某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购买效用最大? 解:max:U=2X2Y S.T 360=3X+2Y 构造拉格朗日函数得:W=2X2Y+λ(360-3X-2Y) dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0 dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0 求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60 2、求最佳需求，maxU=X1+(X2-1)3/3 S.T 4X1+4X2=8 (1) 如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变则最佳需求会改变吗？ (2）如果效用函数不变，而预算约束变为2X1+2X2=4, 则最佳需求会改变吗？ ．解：运用拉格朗日函数，L=X1+(X2-1)3/3+λ(8-4X1-4X2) dL/dX1=1-4λ=0 dL/dX2=(x2_1)2-4λ=0 显然，（X2-1）2=1,求得：X2=0,X1=2;或X2=2, X1=0 代入总效用函数,可将X2=2, X1=0舍去,因此最佳需求为X2=0,X1=2 当U=3X1+(X2-1)3时，同理求得X1=2,X2=0,即最佳需求不变. 当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:X1=2,X2=0,最佳需求也不变. 3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y（各自的价格分别为50、20元），其效用函数为u=xy2。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商品x、y的需求量应分别为多少？ 解：M=10000（1-10%）=9000 Px=50（1+20%）=60 Py=20 预算约束式：60x+20y=9000 由此可得 y=450-3x 代入u=xy2的得 u=9(x3-300x2+22500x） 由du/dx=9（3x2-600x+22500）=0得 x1=150 x2=50 由于x1=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。 4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入（为维持效用水平不变所需的最小收入）是多少？ 解：最初的预算约束式为 2x+10y=100 效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10 由此得y/x=1/5 x=25,y=5,u=125 价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为 m=8x+10y=8x+10·125/x 最小化条件（在xy=125的约束条件下） dm/dx=8-1250x-2=0 解得x=12.5,y=10,m=200 5、若某消费者的效用函数为U=XY4，他会把收入的多少用于商品Y上？ 解:由U=XY4，得MUX=Y4，MUY=4XY3，根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY， 变形得：PXX=（1/4）PYY，将其代入预算方程得PYY=（4/5）M， 即收入中有4/5用于购买商品Y。 6、设某消费者的效用函数为U（x,y）=2lnx+(1-α)lny；消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为PX，PY；求对于X、Y两商品的需求。 解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PXX-PYY) 对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=PX/PY 代入PXX+PYY=M 得:X=2M/(3-α) PX Y=(1-α)M/(3-α) PY 7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最大化（U=X2Y3），则他每年应安排多少个劳动日？ 解：预算约束式为50Y=100L， 即Y=2L=2（365-X） 构造拉格朗日函数L= X2Y3-λ(Y +2X -730） 对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ，进而得X =146，Y =438，L =219, 即该人每年应安排219个工作日. 8、消费X ，Y两种商品的消费者的效用函数为 U = X3Y2 ，两种商品的价格分别为 PX = 2 ，PY = 1 ，消费者收入为 M = 20 ，求其对 X ，Y 的需求量。 解：PXX + PYY = M 2X + Y = 20 U = X3（20-2X）2 = 400X3 — 80X4 + 4X5 效用极大 1200X2 -320X3 + 20X4 = 0 解得X1 = 0 ，X2 = 6 ，X3 = 10 X = 0或10时U = 0 ，不合题意 所以X = 6 ，Y = 8 。 9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t 单位的销售税，使得他支付的价格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。 解:设价格为P时，消费者的需求量为Q1，由P=a-bQ1,得Q1= （a-P）/b。 又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q2，则Q2=[a-P(1+t)]/b 消费者剩余的损失 =∫0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-[∫0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2] =∫Q1Q2(a-bQ)dQ+ P(1+t)Q2-PQ1 =(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2+ P(1+t)Q2-PQ1 政府征税而提高的收益= P(1+t)Q2-PQ1 消费者剩余损失—政府征税得到的收益 =(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)- (aQ2-bQ22/2) =（2tP+t2P2）/2b 因为b、t、P>0 所以（2tP+t2P2）/2b>0 因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。 第四章 生产者行为理论 计算题 1、生产函数为Q=LK-0.5L2+0.08K2，现令K=10，求出APL和MPL 。 解：APL=10-0.5L+8/L，MPL=K-L=10-L 2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为： QX=1.6L0.4C0.4M0.1 QY=(0.4L2CM)1/2 QZ=10L+7C+M 试求这三种产品的生产规模报酬性质. 解：fX(λL,λC,λM)= 1.6(λL)0.4(λC)0.4(λM)0.1=λ0.9QX 产品X的规模报酬递减 fY(λL,λC,λM)= [0.4(λL)2(λC)(λM)]1/2=λ2QY 产品Y的规模报酬递增 fZ(λL,λC,λM)= 10λL+7λC+λM=λQZ 产品Z的规模报酬不变 3、已知生产函数为Q=f（K，L）=10KL/（K+L），求解（1）劳动的边际产量及平均产量函数；（2）劳动边际产量的增减性。 解：(ａ)劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/(K+L)2, 劳动的平均产量APL=Q/L=10K/（K+L） （b）因为MPL=10K2/(K+L)2,得： d(MPL)/dL=[-10K2×2(K+L)]/(K+L)4 =-20K2/(K+L)3<0 所以边际产量函数为减函数。 4、某企业使用资本和劳动生产一种小器具，在短期中，资本固定，劳动可变，短期生产函数为Ｘ＝－Ｌ３＋２４Ｌ２＋２４０Ｌ, 其中，Ｘ是小器具的每周生产量，Ｌ是雇佣工人的数量，每个工人一周工作４０小时，工资率为１２元／小时。 （A）计算企业在下列情况下Ｌ的取值范围：⑴　第一阶段;⑵　第二阶段;⑶　第三阶段 （B）使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少？ （C）产品以一定的价格出售，使得企业每周可能的最大纯利是１０９６元，为了获得这样多的利润，必须雇佣１６个工人，问企业的总固定成本是多少？ 解：Ａ.区分三个生产阶段,关键在于确定AP最大和MP＝０所对应的数值： ＡＰ＝－Ｌ２＋２４Ｌ＋２４０ 所以ｄＡＰ／ｄＬ＝－２Ｌ＋２４Ｌ令其为0得：L＝１２检验当L＜１２时AP是上升的。 MP＝－３Ｌ２＋４８Ｌ＋２４０＝０ 所以　Ｌ２－１６Ｌ－８０＝０ 所以　Ｌ＝２０时　ＭＰ＝０　当Ｌ＞20时ｄＭＰ／ｄＬ＝－６Ｌ＋４８＜０ 所以　ＭＰ对于所有的Ｌ＞２０均小于零。 因此：⑴第一阶段　０＜Ｌ＜１２ 　(2)第二阶段　１２＜Ｌ＜２０ 　(3)第三阶段　Ｌ＞２０ B.当Ｐ＝ｍｉｎＡＶＣ时应停产。ｍｉｎＡＶＣ与ｍａｘＡＰ是一致的。 从Ａ可知：Ｌ＝１２, 而Ｌ＝１２时，由生产函数算出ｘ＝４６０８。 每周工资Ｗ＝１２元×４０＝４８０元 ＡＶＣ＝ＷＬ／Ｘ＝１．２５元 所以最低价格是１．２５元。 C.要使利润最大，应使Ｗ＝ＭＲＰ＝ＭＰ×ＰＸ 所以ＰＸ＝Ｗ／ＭＰ　Ｌ＝１６时，Ｗ＝４８０　ＭＰ＝２４０　Ｐ＝２元 由生产函数知Ｌ＝１６时，Ｌ＝５８８８ 因此　总收益＝２元×５８８８＝１１７７６元 ＴＶＣ＝４８０元×１６＝７６８０Ａ元 所以ＴＦＣ＋利润＝４０９６元 若利润＝１０９６元，则ＴＦＣ＝３０００元 5、某企业仅生产一种产品，唯一可变要素是劳动，也有固定成本。短期生产函数为 　　　　　　　　　　　ｘ＝－０.１Ｌ３＋６Ｌ２＋１２Ｌ， 其中，ｘ是每周产量，单位为吨，Ｌ是雇佣工人数，问： Ａ.劳动的平均实物产量最大时，需雇佣多少工人？ B.劳动的边际实物产量最大时，需雇佣多少工人？ C.平均可变成本最小时，生产多少ｘ？ D.每周工资３６０元，ｘ的价格为３０元／吨，利润最大时，生产多少ｘ？ E.如果工资为每周５１０元，ｘ的价格多大时，企业不扩大或减小生产。 F.ｘ的价格１０元／吨，总固定成本１５０００元，若企业发现只值得雇佣３６个工人，每周纯利润是多少？ 解：Ａ.由生产函数X＝－０.1L３＋６Ｌ２＋１２Ｌ得 Ｘ／Ｌ＝－０.１Ｌ２＋６Ｌ＋１２ 所以令ｄ（Ｘ／Ｌ）／ｄＬ＝－０.２Ｌ＋６＝０则Ｌ＝３０ B.由生产函数得ｄＸ／ｄＬ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２ 令ｄ２Ｘ／ｄＬ２＝－０.６Ｌ＋１２＝０所以Ｌ＝２０ C.由Ａ知：Ｌ＝３０时，Ｘ／Ｌ最大，此时ＷＬ／Ｘ最小。 由该生产函数求得：Ｌ＝３０时，Ｘ＝３０６０ D.利润最大的条件是：ＭＲＰ＝Ｐ×ＭＰ＝Ｗ ＭＰ＝Ｗ／Ｐ＝－０.３Ｌ２＋１２Ｌ＋１２＝１２ 所以０.３Ｌ＝１２所以Ｌ＝４０ 既然Ｌ＞３０时，ＡＰ＞ＭＰ（见Ａ部分）所以进行生产是合算的。 当Ｌ＝４０时，Ｘ＝３６８０ E.停止扩大生产点是ＡＰ的最大点，因此由（Ａ）知，Ｌ＝３０ 利润最大的条件是：ＭＰ＝Ｗ／Ｐ L＝３０时，ＭＰ＝１０２＝５１０／Ｐ所以Ｐ＝５元 F.ＭＰ＝Ｗ／Ｐ当Ｌ＝３６时，ＭＰ＝５５．２＝Ｗ／１０ 所以Ｗ＝５５２当Ｌ＝３６，Ｘ＝３５４２．４ 总收益＝３５４２．４×１０＝３５４２４ ＴＶＣ＝５５２×３６＝１９８７２ 所以ＴＦＣ＋利润＝１５５５２ ＴＦＣ＝１５０００ 利润＝５５２元 假定某厂商只使用一种生产要素劳动进行生产，生产函数为q=-0.1L3 +6L2 +12L, 求:a.劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量 b.劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。 解:因为APL =q/L=-0.1L2 +6L +12, dAPL/dL =-0.2L+6=0, L=30. MPL = dq/dL=-0.3L2 +12L +12, dMPL/dL=-0.6L +12 =0, 则L=20. 已知厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8，又设PL=4元, PK=5元,求该厂商生产200单位产品时，应使用多少单位的L和K才能使成本降至最低？ 解：MPL=（3/8）L-5/8K5/8， MPK=（5/8）L3/8K-3/8 要实现成本最小化，即要求MPL/MPK=PL/PK=4/5，可得L=（3/4）K 于是有（3K/4）3/8K5/8=200，因此K=200（3/4）-3/8，L=200（3/4）5/8 证明在柯布—道格拉斯生产函数Q=AKL中，、分别为资本和劳动的产出弹性。 证明：柯布—道格拉斯生产函数记为：Q=ALαKβ， EL=(dQ/dL)·(L/Q)=(α/L)·Q·(L/Q)=α EK=(dQ/dK)·(K/Q)=(β/K)·Q·(K/Q)=β 计算题 1、某企业的平均可变成本为AVC=X2-30X+310，AVC为平均可变成本，X为产量，当市场价格为310时，该企业利润为0，问该企业的固定成本是多少？ 解：因为利润π=TR-TC=（P-AC）Q 且当P=310时，π=0，得AC=310 AFC=AC-AVC=310-（X2-30X+310）=-X2+30X，所以TFC=-X3+30X2 考虑到MC=d（TVC）/dX= d（X3-30X2+310X）/dX=3X2-60X+310 根据P=MC=AC，得产量X=20，因此TFC=-X3+30X2=4000 该企业的固定成本是4000单位。 2、某企业短期总成本函数为STC=1000+240q-4q2+（1/3）q3。（1）当SMC达到最小值时的产量是多少？（2）当AVC达到最小值时的产量是多少？ 解：（1）SMC=dSTC/dq=240-8q+q2=（q-4）2+224 所以当q=4时SMC达最小值 （2）AVC=（STC-AFC）/q=240-4q+（1/2）q2=1/3（q-6）2+204 所以当q=6时AVC达最小 生产函数q =LK.劳动和资本价格分别为PL 和PK ,求相应的成本函数. 解：生产者均衡时，MPL/MPK = PL/PK ，即K/L= PL/PK ，q= LK， 解得Q= PL L+ PK K=2（q PLPK ）0.5 考虑以下生产函数Q=K0.25L0.25M0.25 在短期中，令PL=2，PK=1，PM=4，K=8，推导出短期可变成本函数和平均可变成本函数。 解：在短期中，K为固定要素，L、M为可变要素 则TFC=PKK=8 TVC=PLL+PMM=2L+4M 由MPL/PL=MPM/PM得0.25K0.25L-0.75M0.25/2=0.25K0.25L0.25M-0.75/4 由此可得L/M=2 代入生产函数Q=80.25(2M)0.25M0.25=2M1/2 所以M=Q2/4 TVC=2L+4M=Q2+Q2=2Q2 AVC=TVC/Q=2Q 即短期总可变成本函数为TVC=2Q2，平均可变成本函数为AVC=2Q。 5、IBM公司是世界上电子计算机的主要制造商，根据该公司的一项 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 ，公司生产某种型号计算机的产量范围为200到700，在此范围内，总成本函数为：C=28303800+460800Q 式中C——总成本 Q——产量 问题一：如果该种机型的全部市场为1000台，且所有企业的长期总成本函数都相同，那么占有50%市场份额的企业比占有20%市场份额的企业有多大的成本优势？ 问题二：长期边际成本为多少？ 问题三：是否存在规模经济？ 解：（1）若占有50%的市场份额，Q为500， 平均成本则为（28303800+460800·500）/500=517408美元。 若占有20%的市场份额，Q为200， 则平均成本为（28303800+460800·200）/200=605120美元 所以占有50%市场份额的企业的平均成本比占有20%市场份额的企业的平均成本低14%。 （2）长期边际成本为460800美元，在200到700的产量范围内，边际成本为常数。 （3）存在规模经济。因为长期平均成本为（460800+28303800/Q），Q越大，平均成本越小。 6、已知某厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8,又设PL=3元,PK=5元.求总成本为160元时厂商均衡的Q、L与K的值。 解： MPPL=（3/8）K5/8L-5/8 MPPK=（5/8）K-3/8L3/8 由均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK 推出 K=L, 代入成本函数3L+5K=160 求得 K=L=20 则 Q=L3/8K5/8=20 7、假设某产品生产的边际成本函数是MC=3Q2-8Q+100,若生产5单位产品时总成本是595,求总成本函数、平均成本函数、总可变成本函数及平均可变成本函数。 解：由边际成本函数MC=3Q2-8Q+100积分得 成本函数C=Q3-4Q2+100Q+A（A为常数） 又因为生产5单位产品时总成本是595 可求总成本函数C=Q3-4Q2+100Q+70 平均成本函数 AC=Q2-4Q+100+70/Q 总可变成本函数 TVC=Q3-4Q2+100Q 平均可变成本函数 AVC=Q2-4Q+100 8、以重油x和煤炭z为原料得某电力公司，其生产函数为y=(2x1/2+z1/2)2，x,z的市场价格分别30，20，其它生产费用为50。 求电力产量y=484时的x,z投入量及总成本为多少？ 求该电力公司的总成本函数。 解：（1）将y=484代入生产函数，得484=(2x1/2+z1/2)2 整理后得z=(22-2x1/2)2 ① 所以，成本函数为c=30x+20z+50 =30x+20(22-2x1/2)2+50 ② 成本最小化条件为dc/dx=30+40(22-2x1/2)(-x-1/2)=0 求解后可得x=64 分别代入①②式可得z1=36 c=2690 (2)把生产函数中的y看作一定数值时，生产函数整理后可得z=(y1/2-2x1/2)2 总成本函数即为c=30x+20z+50 =30x+20(y1/2-2x1/2)2+50 ④ 成本极小化的条件为dc/dx=30+40(y1/2-2x1/2)(-x-1/2)=0 ⑤ 由此可得 x=(16/121)y 代回④式后即得总成本函数c=(60/11)y+50 9、一厂商用资本（K）和劳动（L）生产x产品在短期中资本是固定的，劳动是可变的。短期生产函数是：x=-L3+24L2+240L ，x是每周产量，Ｌ是劳动量，每人每周工作４０小时，工资每小时为１２元，该厂商每周纯利润要达到１０９６美元，需雇佣１６个工人，试求该厂商固定成本是多少？ 解：设W为周工资率，MPL为劳动的边际产量，P是产品价格， 当厂商均衡时，有W=MPL·P，得P=W/ MPL 由于MPL=-3L2+48L+240L=-3×162+48×16+240=240，且W=12×40=480 得P=W/ MPL=2美元 当L=16时，X=-L3+24L2+240L=5888 因此总收益TR=P·X=11776美元 而TVC=W·L=480×16=7680美元 所以TC=TR-π=10680，TFC=TC-TVC=10680-7680=3000美元， 即固定成本为3000美元 10．企业的生产函数为q=L1/3K2/3 ,L的劳动投入（短期可变）、K为资本投入（仅长期可变）、各自的报酬率WL=1、WK=2，求企业的长期成本函数。 解：由长期生产函数得L=q3K-2+2K 因此，短期成本为 C=L+2K=q3K-2+2K 极小化的条件为 对K求偏微分得-2q3K-3+2=0 由此得K=q 代入成本函数得c=3q 11．某厂商使用两种生产要素A和B，生产一种产品Q，可以选用的生产函数有两种：（1）Q=aA0.25B0.75；(2)Q=bA0.75B0.25。已知生产要素A的价格为1元，令生产要素B的价格为P，求解：（ａ）Ｂ的价格为若干时两种生产方法对厂商并无区别；（ｂ）假如Ｂ的价格超过了上面的价格，厂商将选用哪种生产方法？ 解：（a）两种生产方法对厂商无差别，要求在每个相同的产量水平下，两种生产方法所费成本相等，即C1=C2， 首先求生产方法1的成本函数C1，由MPA/MPB=PA/PB，得 (0.25aA-0.75B0.75)/1=(0.75aA0.25B-0.25)/PB 可求出B=3A/PB 将其代入生产函数1,得Q1=aA0.25(3A/PB)0.75=30.75aAPB-0.75 所以A=3-0.75(1/a)PB-0.75Q1,将其代入C1=PAA+PBB=A+3A=4×3-0.75(1/a)PB-0.75Q1 类似地,可求出生产方法2的成本函数,得C2=4×3-0.75(1/b)PB0.25Q2 要求C1=C2，即4×3-0.75(1/a)PB-0.75Q1=4×3-0.75(1/b)PB0.25Q2，得PB=(a/b)2 即当B的价格为(a/b)2时,两种生产方法对厂商无差别. (b)采用生产方法1,产品的平均成本为:C1/Q1=(4PB-0.75)/30.75a 采用生产方法2,产品的平均成本为:C2/Q2=(4PB0.25)/30.75b 所以,两种生产方法的产品平均成本之比为(PB0.5b)/a 当PB>(a/b)2时,(PB0.5b)/a>1,即第1种生产方法的产品平均成本大于第2种生产方法,故应选用第2种生产方法. 12、某企业成本函数为c=x2+100，c为总成本，x为产品x的产量 画出边际成本曲线和平均成本曲线 若产品市场价格p=40，那么x为多少 产品价格达到多少时，企业利润为正 解：(1)MC=2x AC=x+100/x (2)π=PX-C=40x-x2-100 dπ/dx=40-2x=0 x=20 (3)企业利润为正 即π=PX-C>0 P>C/X=X+100/X 即 p>20 第五章 完全竞争市场 计算题 1.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3，若该产品的市场价格是1440元，试问该厂商利润最大时的产量和利润。 解：均衡条件为P=MC，即240-50Q+3Q2，可得Q=30，л=31500 2.一个完全竞争的厂商每天利润最大化的收益为5000美圆。此时，厂商的平均成本是8美圆，边际成本是10美圆，平均变动成本是5美圆。试求该厂商每天的产量和固定成本各是多少？ 解：根据利润最大化条件P=MR=MC，得P=10 由TR=PQ=5000，得Q=TR/P=500 又∵AC= 8 TC=AC×Q=4000（元） TVC=AVC×Q=5×500=2500（元） ∴TFC=TC-TVC=4000-2500=1500（元） 即产量为500，固定成本为1500元。 3.完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q3－6q2+30q+40 ,假设产品的价格为66元. （1）求利润最大时的产量及利润总额; （2）若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少? （3）该厂商在什么情况下才会退出该产业? 解：(1)根据利润最大化条件P=MR=MC 可算出q=6 π=176 (2)当短期均衡时, P=MR=MC ,可得q=4,AC=q2－6q+30+40/q=32 可知单位产品的亏损额为2元. 因此总的亏损额为8元 (3)AVC=q2－6q+30 MC=3q2－12q+30 根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3 代入P=AVC=q2－6q+30,可得p=21 即当p<21时 该厂商退出该产业。 4.假设某完全竞争厂商生产的某产品的边际成本函数为MC=0.4Q12, 总收益的函数为TR=20Q, 并且已知生产10件产品时总成本为100元, 求生产多少件时利润极大,其利润为多少? 解:TR=PQ=20Q,可得P=20 由P=MC,得均衡产量Q=80 对MC=0.4Q-12进行积分,推出TC=0.2Q2-12Q+A,其中A为任意值 将Q=10,TC=100代入上式,得A=200,即TC=0.2Q2-12Q+200 所以π=TR-TC=1080 5.完全竞争厂商的短期成本函数STC=0.04Q3-0.8Q2+10Q+5.试求厂商的短期供给函数. 解:厂商的短期供给曲线为高于停止营业点的边际成本曲线. P=MC=0.12Q2-1.6Q+10 AVC=0.04Q2-0.8Q+10 当AVC=MC时,AVC达到最低点为6 故短期供给曲线:P=0.12Q2-1.6Q+10 (P≥6) 6.用劳动L生产x的企业生产函数为x=4L1/4，x的价格设为p，求供给价格弹性 解: 设工资报酬率为w，企业利润Л即为 Л=px-wL=4pL1/4-wL 利润极大化条件为dЛ/dL=pL-3/4-w=0 由此得L=(p/w)4/3 进而有x=4L1/4=4(p/w)1/3 该式 对p价格求导 得dx/dp=(4/3)p-2/3w-1/3 所以供给价格弹性为(dx/dp)·(p/x)=(4/3)p-2/3w-1/3·p/4(p/w)1/3=1/3 7.某企业的成本函数为C=X3-6X2+15X+10.C为总成本，X为产量，产品价格为15,问：（1） 对企业每单位产品征收2.28单位的产品税时，企业的产量如何变化。（2）对企业只征收10单位的定额税时，企业产量如何变化？ 解: (1）课税前的利润极大化条件P=MC,即15=3X2-12X+15.此时产量为4单位. 征收产品税时,厂商的供给价格是消费者需求价格减去产品税, 这样一来利润极大化条件为15-2.28=3X2-12X+15, 求解得产量为3.8单位,与征税前相比产量减少0.2单位。 （2） 征收定额税相当于增加厂商的固定成本,并不对边际成本产生影响, 故而按照利润极大化条件，征收定额税时产量不变。 8.一个完全竞争厂商成本函数为STC=10Q2+1000， 1）求他的供给曲线 2）产品价格为500元，为了利润最大化，产量应该是多少？ 解：1）P=MC=20Q 由于最低平均可变成本为零,所以短期供给曲线可记为P=20Q 2）P=MC=20Q=500 得Q=25 计算题 1.80年代，世界铜的供给曲线和需求曲线分别为:供给Q=-4.5+16P, 需求 Q=13.5-8P 。求铜的均衡价格和均衡产量. 解:因为均衡, 所以-4.5+16P=13.5-8P，所以P=0.75，则Q=7.5。 2.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P。求：（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？（2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？ 解：（1） ∵ QD=70000-5000P，QS=40000+2500P 市场均衡时QD=QS ∴70000-5000P=40000+2500P 即P=4（元） ∵P=LAC最低点=4元 ∴ 该行业处于长期均衡状态。 （2） 当P=4元时，QD=QS=70000-5000*4=50000单位 而长期均衡时每家厂商的产量为500单位，故该行业厂商数为n=50000/500=100 即该行业有100家厂商。 3.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q2+Q3，试问市场长期均衡时的产品价格。 解：长期均衡条件P=MC=AC，可得Q=12.5 P=83.75 4.成本不变的完全竞争行业存在大量的潜在进入者（如果该行业存在经济利润）。假设每个厂商有相同的成本曲线，其长期平均成本最低点当其产量为20单位时为10元，市场需求曲线为D=1500-50P。求：       该行业长期供给函数;     长期中,均衡的价格—产量组合及其厂商的数目；      使得厂商位于长期均衡中的短期成本函数为TC=0.5q2-10q+200,求出厂商的短期平均成本函数和边际成本函数,以及当短期平均成本最低时的产出水平;   厂商和行业的短期供给函数;   假设市场需求曲线变为D=2000-50P,如果厂商无法在极短时间内调整产出水平,求出此时的价格水平及每个厂商的经济利润水平;   长期中,该行业的均衡价格—产量组合及其厂商数目。 解：（1）每个厂商的成本函数相同，长期中厂商的均衡产出水平由其长期平均成本最低点给定。行业供给曲线由与长期平均成本最低点相等的价格水平（10元）非出，即P=MC=AC=10。 （2）已知需求曲线为D=1500-50P，价格水平为10元，令行业供给S=1500-50×10=1000，每个厂商的均衡产出为20，厂商的个数为1000/20=50。 （3）厂商短期平均成本函数为AC=0.5q-10+200/q;边际成本函数MC=q-10.当AC最低时,AC=MC,求出产出水平为q=20. （4）厂商的短期供给函数q=P+10（P≥10）；行业供给函数为：q=50×（P+10）=50P+500。 （5）由于厂商不能在极短时间内调整其产出水平，令S=1000=D=2000-50P，得P=20，此时单个厂商的利润水平为π=20（20-10）=200。 （6）长期中，均衡价格水平由于新厂商的进入将重新回到P=10元的水平（每个厂商均衡产出仍为20），令S=D=2000-50×10=1500；厂商个数为1500/20=75。 5.某种商品的需求曲线为QD=260-60P,供给曲线为QS=100+40P。其中，QD与QS分别表示需求量和供给量(万斤)，P表示价格(元/斤)。假定政府对于每单位产品征收0.5元税收。①求税收后的均衡产量Q与消费者支付的价格PD以及生产者获得的价格PS。②计算政府的税收收入与社会的福利净损失。 解：(1)在征税前，根据QD=QS，得均衡价格P=1.6, Q=164 令T=0.5,新的均衡价格为P’,新的供给量为QS’,新的需求量为QD’.则有: QS’=100+40( P’-T) QD’=260-60 P’ 得新的均衡价格为P’= 1.8新的均衡价格为Q’=152 所以税收后的均衡产量为152万斤,消费者支付价格1.8元,生产者获得价格1.3元. (2)政府的税收收入=T×Q’=76万元,社会福利损失=(1/2)×0.5×(164-152)=3万元. 6.某产品X的市场需求函数D ，供给函数S分别为D = 10-2 PX + 0.5M + 4PY ，S = 10 + 2I +3.5PX , PX为X的价格，PY为相关品Y的价格，M为消费者收入，I代表生产技术水平，求当M = 22 ，PY = 5.5 ，I = 2.75时的均衡价格和均衡数量。 解：D = 10-2PX + 0.5×22 + 4×5.5 = 43-2PX S = 10 + 2×2.75 + 3.5PX = 15.5 + 3.5PX 43 -2PX = 15.5 + 3.5PX PX = 5 D = S = 43 -2×5 = 33 7.完全竞争厂商在长期中，当其产量达到1000单位时，长期平均成本达到最低值3元。求：   如果市场需求曲线为D=2600000-200000P，求长期均衡的价格和均衡产量，以及长期均衡中厂商的数目。 如果市场需求曲线由于某种原因变为D=3200000-200000P，假设厂商无法在短期内调整其产量，求此时的市场价格及每个厂商的利润水平。    给定（2）中的需求状况，求长期中均衡的价格和数量组合及此时的厂商数目。 解：（1）厂商的长期均衡由其长期平均成本最低点给定。因此厂商长期平均成本最低点等于均衡价格3元，单个厂商的均衡产量为1000单位。已知需求曲线为D=2600000-200000×3=2000000=长期行业供给曲线S，所以厂商数目为2000000/1000=2000。 （2）尽管需求发生变化，但是由于厂商无法在短期内调整其产出水平，故供给量固定在2000000。令D=3200000-200000P=S=2000000，求得价格水平为P=6；此时，单个厂商的利润水平π=1000×（6-3）=3000。 （3）随着需求的变化，长期中，由于超额利润的存在，会促使新厂商进入到该行业中来，使其均衡价格水平恢复到与其长期最低平均成本相等，即3元。与（1）类似，令长期供给S=D=3200000-200000×3=2600000。厂商的数目为2600000/1000=2600。 8.在商品X市场中,有10000个相同的个人,每个人的需求函数均为d=12-2p,同时又有1000个相同的生产者,每个生产者的供给函数s=20p,假设政府对售出的每单位X征收2美元的销售税,而且1000名销售者一视同仁,这个决定对均衡价格和均衡产量有何影响?实际谁支付了税款?政府收到了多少? 解：市场需求函数为： D=120000-20000p 市场供给函数为： S=20000p 则 D=S 时，p=3 D=60000 商品征税后，市场供给函数为： S'=20000（p-2） 则 D=S' p'=4 D'=40000 所以由消费者承担的税费为4-3=1 而销售商承担的2-1=1 政府从销售商和消费者分别征得40000美圆 9．市场期情况下，新鲜草莓的供给量=8000个单位，市场上的需求函数为=20000-100P，求：（1）市场期的均衡价格；（2）如果价格不是由市场调节，而是固定在每单位100元，那么市场的供需缺口是多少？ 解：市场期的供给量是固定不变的， 市场出清的条件是= 8000=20000-100P P=120（元） 当价格P达到120元时，供求平衡，价格不再变动，市场达到均衡。 如果价格被固定在100元，需求=10000>，市场上新鲜草莓会供不应求，一部分需求得不到满足，供求缺口为2000个单位。 10．水蜜桃的生产成本是每公斤2元，但运输成本较高，每公斤桃子每公里0.2元。市场上对它的需求为：=5000-200P，在离市场5公里的地区有果园，每季产量为3000公斤，不考虑水蜜桃的储存，求：（1）生产厂商共得多少净利润？（2）若要新建一个产量为1000公斤的果园，那么这个新果园离市场最远的距离。   解：不考虑储存，属于市场期均衡 市场出清的条件是= （1）3000=5000-200P P=10 利润π=30000-9000=21000 （2）新的均衡价格 = 4000=5000-200P P=5 对于新果园里的厂商来说，利润π=5000-1000×(2+0.2×n), n为距离市场的公里数 必须满足π≥0，否则新厂商不会经营下去 5000-1000×(2+0.2×n) ≥0 n≤15　　 这个新果园离市场最远的距离为15公里。 11．在短期的完全竞争市场上，市场供给函数为=1800P-60000，市场需求函数为=100000-200P,求：（1）短期均衡价格；（2）厂商面对的需求函数。    解：均衡条件：= 1800P-60000=100000-200P 短期均衡价格为：P=80(元) 在完全竞争市场，厂商的产量在市场上是微不足道的，它是价格的接受者，可以在既定的价格下卖出任意多的商品，所以，厂商面对的需求曲线是一条水平直线 P=80 12．上题中，若有个厂商的短期成本函数为：STVC=0.1–6+132.5q,STFC=400，求：（1）该厂商的利润最大化产量是多少?（2）该厂商的净利润是多少？（3）若该厂商的生产成本发生变化，固定成本增加：STFC=400 +c，那么c为多少时该厂商开始停止生产？    解：（1）厂商追求利益最大化，即π最大化，必须MR=MC 完全竞争厂商的边际收益就是产品的价格，所以均衡产量是P=MC的产量 0.3-12q+132.5=80 q=35或q=5，经检验q=5不是π的极大值点 所以该厂商的短期均衡产量是35 （2）π=TR-TC=Pq-(0.1–6+132.5q+400)=825 （3）固定成本的变化不影响MC的大小，从而不影响均衡产量，只影响到利润 π=825-c，当固定成本的增量c为825时，厂商的净利润为零， 当c超过825元，厂商的净利润开始为负，产生亏损，但只要c小于1225元，此时的总收益能够补偿全部的变动成本和一部分固定成本，短期内厂商仍然会选择生产。 当c超过1225元时总收益不仅不能补偿固定成本、连变动成本也不能补偿，此时厂商会停止生产、退出此行业。 13．快餐业是近似的完全竞争市场，厂商的短期成本函数是：STVC=0.2+3q,STFC=2000，q是每天的产量、单位是份，成本单位是元，（1）求：该厂商的短期供给函数；（2）假设这个完全竞争市场中共有1000家成本函数相同的厂商，求：市场的供给函数。   解：（1）厂商的短期边际成本SMC=0.4q+3 当市场价格为P时，厂商的均衡产量是使SMC=MR=P的产量， 并且由于是短期均衡，只要TR≥STVC，现有厂商还是愿意供给产品的 得出厂商的短期供给函数为：q=2.5P-7.5，（其中q<100的部分，厂商处于亏损） （2）市场上有100家相同的厂商，市场供给量Q=1000q=2500P-7500 市场供给函数为：Q=2500P-7500 14．某企业处于完全竞争市场中，它的成本函数为STC=0.1+8q,该企业利润最大化的产量为q=30。现在企业准备再建一条生产线，新生产线的成本函数为STC*=0.05+10q，求：新生产线的产量是多少？ 15．完全竞争市场中，厂商的长期成本函数LTC=０.05-+10q，当市场价格P=30时，该厂商的利润最大化产量以及净利润是多少？这个产出点是均衡的吗？   解：厂商的长期利润最大化产量是由LMC=MR来决定的 0.15-2q+10=30 解得q=20 π=TR-LTC=600-(０.05-+10q)=400 厂商的净利润为400，在完全竞争市场，这种产出点是不稳定的，因为长期净利润的存在会吸引新的加入者，使行业的供给曲线增加，在需求不变的情况下价格会下降，直到厂商的净利润为零。 小家电市场上的年消费量（单位：万台）与价格水平有关：Q=20000-4P (P是产品单价) ,市场是完全竞争的。厂商的成本函数均为LTC=０.001-2+2000q（q是厂商的年产量，单位：台）。求：（1）市场的长期均衡价格、厂商的均衡产量；（2）市场均衡产量、市场中厂商个数。   解：完全竞争市场的长期均衡价格是厂商的长期平均成本的最低点 P=LAC=LMC= SAC = SMC 根据厂商的长期成本曲线，可知LAC曲线的最低点为q=1000(元),LAC=1000(元) 市场的均衡价格为1000元，厂商的均衡产量为1000台 市场的均衡产出是指在均衡价格水平上达到供求平衡的产出 ==20000-4P=16000(万台) 市场中厂商的个数为16万 17．完全竞争市场，各项条件同上题，但市场需求发生变化，新的需求函数为：Q=22000-4P。（1）在短期对市场及厂商会有什么影响？（2）若此行业是成本固定不变，求新的长期均衡价格、产量、厂商个数，以及行业的长期供给函数（3）若此行业的成本随新厂商进入而发生变化，厂商的新的成本函数为LTC=０.001–2.2+2500q，求新的均衡价格、产量、厂商个数，以及该行业是成本递增型的还是递减型的？   解：（1）在短期由于市场需求增加，原有的供给不足，会推动价格上升，厂商在新的价格条件下确定产量，使每个厂商的产量都提高了，同时厂商获得净利润，这也促使新的厂商开始进入这一行业。 （2）此行业是成本不变的，所以厂商的长期均衡点依然是q=1000(台),LAC=1000(元)，新的均衡价格P=1000(元)，厂商的均衡产量q=1000(台) 新的行业均衡产量 Q=22000-4P =18000(万台) 新的均衡下厂商数目为18万。 行业规模扩大过程中，产品价格不变，说明供给函数为平行于Q轴的直线P=1000 （3）若新厂商加入使得此行业中厂商的成本函数发生变化， 新的长期均衡就要依据新的成本曲线来决定 LAC=0.001+2.2q+2500 最低点为q=1100(台),LAC=1290(元) 新的均衡价格为1290元，厂商的均衡产量q=1100(台) 新的行业均衡产量 Q=22000-4P =16840(万台) 新的均衡下厂商数目为15.31万 随着行业规模扩大，产品价格上升，说明该产业是成本递增型的，供给函数是向右上方倾斜的。 18农产品市场是近似的完全竞争市场，生产者的长期成本函数LTC=0.01-4+500q，市场需求函数Q=1200-0.1P，Q的单位是万吨、q的单位是吨、成本单位为元。（1）求：市场的长期均衡价格、总产量及生产者个数；（2）政府决定给农产品以补贴，每单位产品补贴5元，求此时的长期均衡价格、总产量及生产者个数。    解：（1）生产者的长期平均成本LAC=0.01+4q+600 完全竞争市场长期均衡价格P= =100 生产者的均衡产量为200吨 市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190（万吨） 市场中的生产者数目为59500 （2）政府的补贴使生产者的成本减少：LTC=0.01-4+500q-5q 完全竞争市场长期均衡价格P= =95 生产者的均衡产量仍然为200吨 市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190.5（万吨） 市场中的生产者数目为59525 政府的补贴行为使产品价格下降、生产者数目和总产量增加。 假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50%为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少？ 解答：设被这１００个消费者购得的该商品总量为Ｑ，其市场价格为Ｐ。 据题设，其中７５人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为 －２，这样，他们每人的弹性 Ｅｄｉ＝－２＝ｄＱｉ/ｄＰ·Ｐ/Ｑｉ， ｄＱｉ/ｄＰ＝－２·Ｑｉ/Ｐ，ｉ＝１，２，…，７５ （１） 且 Ｑｉ＝Ｑ／２ （２） 又，另外２５人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为－３，这样，他们每人的弹性 Ｅｄｊ＝－３＝ｄＱｊ/ｄＰ·Ｐ/Ｑｊ， ｄＱｊ/ｄＰ＝－３·Ｑｊ/Ｐ，ｊ＝１，２，…，２５ （３） 且Ｑｊ＝Ｑ／２ （４） 由此，这１００个消费者合计的弹性为 Ｅｄ＝ｄＱ/ｄＰ·Ｐ/Ｑ＝ｄ（∑Ｑｉ＋∑Ｑｊ）/ｄＰ·Ｐ/Ｑ ＝（ｄＱｉ/ｄＰ＋ｄＱｊ/ｄＰ）·Ｐ/Ｑ 将式（１）、（３）代入，得 Ｅｄ＝[（－２·Ｑｉ/Ｐ）＋（－３·Ｑｊ/Ｐ）]·Ｐ/Ｑ ＝[－２/ＰＱｉ＋（－３/Ｐ）Ｑｊ]·Ｐ/Ｑ 将式（２）、（４）代入，得 Ｅｄ＝（－２/Ｐ·Ｑ/２－３/Ｐ·Ｑ/２）·Ｐ/Ｑ ＝（－２/