关于圆弧拟合的计算

关 于 圆 弧 拟 合 的 计 算 四机部一� 五� 所 曾春灵 数控线切割机由于具有能进行直线插补和圆弧插补 , 以及加工精度高的特点 , 因而广泛用 于加工一些精度要求高和形状复杂的工件或样板 。 如果通过一定的数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 , 那么还能使它切 割一些更为复杂的曲线 。 例如用直线拟合或圆弧拟合的方法来处理某些只给出一些型值点的非 圆曲线等等。 特别是圆弧拟合 , 由于它是用分段圆弧代替曲线 , 并且相邻两圆弧有公切线 , 故 各型值点均有连续的斜率 , 而使整个曲线的连接更加光滑 。 因此圆弧拟合比直线拟合具有更大 的用处 , 然而程序的计算和编制也就成了一个关键的问题 。 目前 , 除部分有条件的地区和单位 通过 电子计算机进行自动编程外 , 绝大多数单位仍用人工计算的方法编制程序 。 在复旦大学编 著的 《曲线与曲面 》中 , 介绍了圆弧拟合的计算 � 但由于此 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 提出的公式有某些局限性 , 因此在 实际应用中 , 必须对这些计算公式作进一步的订正 , 才能解决圆弧拟合计算中常碰到的一些问 题 。 本文通过实例将计算公式整理成表格 , 以介绍我们对这些公式的订正及使用 。 由于篇幅所 限 , 计算公式的证明过程从略 。 文中 , 除为了方便计算而增加了一些符号外 , 其余符号保持与 原书相同 , 以利读者对照阅读 。 例如 , 要加工图 所示凸轮 ,在它轮廓线上有点! ∀ # ∃ , % � & ∋ ( ! % #一 ) , ∗ ∋ ( !‘ #一 & , ∃ ∋ ( ! 。 # 一 ) , 一 % ∋ , 且有一段以点� # � , ∃ ∋ 为圆心 , + 一 % 的圆弧 , 现要求用圆 弧拟合 的方 法 , 将其光滑地连接起来 。 刀, 乙, , � 七, ∋ ! #− 尸梦! ∋ 通过图形的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 可知 , 只要解决下列三类问题的计算就可以 了 。 # ∋ 已知圆� 和圆外二点. ∀ # , , , / ∀ ∋ , . ∀ # , ∀ , / ∀ ∋ , 求圆! , 使它通过 . ∀ , . ∀ , 并且和圆�相切 , 且求出切点. 。 # , 。 , / 。 ∋ ( #)∋ 已知圆0和圆外一点. ∀ # , ∀ , / ∀ ∋, 求圆! , 使它通过定点. ∀ , 并且和圆 0 相切于 定点. ( ( #%∋ 已知圆0和圆 ∃ 尹, 求圆! , 使它和圆� 尹相切 , 且和圆0相切于定点 . # , , / ∋ 。 从以上分析可知 , 在图 中, 要确定圆弧! ∀ ! ∀ ! , 与圆� 相切 , 且求出切点! , , 即属于第 #劝 第一类问题的计算 #见图 ) ∋ 计 算 过 程 实 例 计 算 备 注 , 1 2 , 3 2 一 % 一 ) / 已知条件 求 圆�半径为 + 点 . ∀ # , , , / , ∋ 点 . ∀ # , ∀ , / ∀ ∋ 圆心! # 4 5 , 6 5 ∋ 半径7 切点. 。 # , 。 , / 。 ∋ 图 中点 ! , 解 8 , 1 9 , ∀ ) 8 / , 9 / 3 ) : 一 % ; & < 一斌#, ( 一 , ∀ ∋“ 9 #/ , 一 / ∀ ∋’ < 一 ) � ∃ = & 久, 一 入, > / ∀ 一 / 1 < 入二一 一 ∃ � ) ∗ ) & 见说明一 , ? 一 , 3 < 入, > 一∃ � ≅ ; ∃ 。 , , 久Α 十 / , 入, 、Β 二二二 — Χ 2 8 % Δ Ε 一 Χ 忿一 Φ 一鱼三(土互鱼兰土已) + Γ 一Φ Χ 9 入二 Η 9 入, : Ε 一 ∃ 8 ) Δ ∃ Φ 一 % 8 Δ % % % Γ > ∃ � ≅ ∗ % Ι 一Φ 3 一 Η 3 一 : 3 Ι ? 一∃ � % = Δ % 1ϑ Γ 士双丽不万百可?Ε ∃ ) 一 = � ≅ ∃ ) & 。 ∀一 ∃ � ≅ ∃ ∃ △一〔, 1 一 ) #Η 9 ‘· , 。∋〕 9 / 1〔/ Κ 一 ) #: 9 ‘, , 。∋〕 根据题意要求选 。 △( 一 % ) � Δ ; ) ; Λ ∃ 见说明二 △∀ 2 一 & � ) ≅ ∃ Μ ∃ 取1。 , 一 = � ≅ ∃ ) &为解 Ν 一 Η 9 入二 。 Ν > 一 ) 8 = ; % ≅ Ο一 : 9 入, 1。 Ο ? 一) � ≅ ∗ = 一 了% 一 一类问题的计算 , 确定圆弧!‘ ! ∀ 与! % ! ∀ ! , 相切 于点!。和确定圆弧! 。 !‘与 ! ‘尸, 相切于点 !‘ ΠΠΠΠΠ 一斌百百干下汀一一 Π 一 % � ≅ ; Δ ===== ””” ΝΝΝ Θ 二一 ∃ � = ; ) ΘΘΘΘΘ , ? 一一冬冬 Θ , 一 ∃ � ; ∗ ∃ &&&&&ΠΠΠΠΠΠΠ 4 5 一 ) � = ; % ≅≅≅≅≅ΟΟΟΟΟΟΟ 6 5 “ 一) � ≅ ∗ = ΘΘΘΘΘ , > ? �共奢奢 7 2 = � ≅; Δ ;;;;;ΠΠΠΠΠΠΠ , 。一 ) � Π = &&&&& 44444 5 一 ΝΝΝ / ϑ 一 ) � ) ) ===== 66666 5一 ΟΟΟΟΟΟΟ 77777 > 双 #Ν 一 , ( ∋) 9 #Ο 一/ ∀ ∋ ))))))) ,,,,, 。一 Ν 十 Θ ∀ 7777777 ///// ϑ 一 Ο 9 Θ , 7777777 尸声> 、、即属于第二类问题的计算 , 而确定圆弧!。 !。和圆� 相切 , 与圆� 的切点! 。 , 即属于第三类问题的计算 。 上面分别进行具体计算。 且与而添目切于点 ! 。 , 并求出斌 所以 , 以!。 ) � = ; % ≅ , 一) � ≅ ∗ = ∋为圆 心 , 7 切点为! , # ) � ∃ = & , ) � ) ) = ∋ 。 一 = � 。了。了为半径所作的圆弧即为所求式瓦斌 , 说明一 ∀ 原书中久#入二 , 入, ∋“ # “ / ∀ 一 / , , + 一 , 么砍可二瓦∋耳又瓦丁乙「厂 , “护压百石刀耳而子瓦 �∋了 , 、、 它是和 . ∀ . ∀ 垂直的一个向量 。 事实上 , 此处 。与确定 内切还是外切时所采用的 。有完 全不同 的意义 。 为了避免混淆 , 这里用入二 一 。产 / ∀ 一 / 1 < 入 , 二 。‘卫工二丛 来表示入#入二 , 入, ∋ , 至于 与 。了 的符号可以这样来确定 ∀ 根据整个曲线的走向和圆!与圆� 内切的要求 , 很容易确定 !点在 8 九‘ 8 、 ? ? ? ? 二‘. ∀ . ∀ 垂直平分线上 Ρ点的哪一侧 。 并且规定 ∀ 当. ∀ . ∀ 按顺时针方向旋转≅ ∃ 。后即与 Ρ !方向 8 、、 8 、‘相同时 , 取 。 产 二 #图 % 所示∋ ( 当. ∀ . ∀ 按逆时针方向旋转 ≅∃∃ 后即与Ρ !方向相同时 , 则取 ‘ 产2 一 #图 ∗ 所示 ∋。 一 Β ∗ 一 按上述规定 , 可确定出本例 中 。 尹应为一 。 由于加了这些规定 , 因此任选! ∀ 或! ∀ 作为. ∀ , 对计算结果就不会有什么影响 。 否则 , 如 按原书中规定 , 在点! ∀ 作为. , 时, 因 “ > , 则最后结果将会是 ∀ 。一 ∃ � ≅ ∃ ∃ , 4 , > 一∃ � ≅ & % ≅ , 6 , > % � ≅ % ∗ % , 7 一 � ∃ ∗ Δ , , 。> 一 ∃ � ; ∃ ; ∃ , / 。一 ) � ≅ & Δ #如图 & 所示 ∋ , 显然 , 这是不符合实际 的 。 说明二 ∀ 。代表的是. ∀ . ∀ 的中点Ρ到圆心!的距离 , 是由方程Ε 1。“一)Γ Σ。十 Ι 一 ∃ 来确定 的 。 在一般情 况下 它 有 两个实数解 , 它们分别对应于一个通过点 . , , . ∀ , 且与已知圆� 相 、、 切的圆 , 当两个解同号时 , 则表示点 !#4 5 , 6 5 ∋位于. ∀ . ∀ 垂直平分线上 Ρ 点的同侧 , 两个解 异号则表示点!位于 Ρ点的异侧 。 这个结论 , 是根据如下事实而得出的 , 因为 !. ∀ 一 !� 一 。+ #见原书公式= � ) � ∋ , 这表明 ∀ 点!至定点� 与. ∀ 的距离之差为常数 + , 因此 !在以. ∀ 和 � 为焦点 , +为实轴的双 曲线上 。 同时 !又在 . ( . ∀ 垂直平分线上 , 因此 !是 . ( . ∀ 垂直平分线与此双曲线的交点 #见 图 = ∋ 。 在一般情况下, 交点会有两个 。 因此 , 方程是否有满足题意的解 , 可以这样来判断 ∀ 由于 材 #Η 9 入二 1。一 , , ∋“ 9 #: 9 入, 1。一/ ∀ ∋“ 二斌#Η 9 入二1。∋Τ 9 #: 9 入, 几∋ ‘车 。+ #见原书 5 3 − = ∋ 故可将解分别代入上式 , 视 。应取 9 还是 一 而定 。 这相当于判断 △一双而不兀斤二可弃石丙下石斤刁动了一双而,初百万石不刃不瓦厂 的符号。 当△Λ ϑ 时 , 则 。一 , 表示圆!和已知圆� 内切 ( 当△Μ 。时 , 则 。2 一 , 表示圆 ! 和已知圆 �外切 。 然后根据题意要求和曲线的走向, 看有无满足题意的解 , 从而决定 。的值 。 为了简化运算 , 上述差△的符号判断可用 △一〔, 1 一 ) #Η 9 入二 , 。 ∋〕9 / Κ〔/ ∀ 一 ) #: 9 入, , 。∋〕 的符号代替 。 #) ∋ 第二类问题的计算 #见图 了 ∋ 由下面分别进行计算 ∀ 所以 , 以! #一 ) � ) Δ ) =, 尹声� , 、弧即为所求 !‘! ∀ 。 同理可求出 ∀ 以 ! # ∃ � ∃ ∃ ) & , � ∃ Δ ; ) ∋为圆心 , 7 2 ) � ≅ ) = &为半径所作的圆 ) � ∃ ∃ ) & ∋ 为圆心 , 7 2 & � % Δ Δ ∗ 为半径所 作 的 尹尸� , 、圆弧即为所求的!。 ! � 。 一 % & 一 Υ二二止些二工三二几竺二三二⋯1 8 定圆圆心0 #ς , Ω ∋ & 2 一 ) � = ; % ≅ , Ω一 ) � ≅ ∗ = Ξ 11匕 ⋯ Ξ ⋯ 1Υ知 Κ 半径为+ Ξ +一 = · 。了Δ‘ Υ ΥΥ霖Ξ“ . Κ #, Κ , / Κ , Υ , Κ一 ) , / Κ 一 ‘ ⋯图 ‘中点 ! % Υ卜止皇兰垫>些—一一卫全二全 ?竺丝一 一一卫且竺堕兰Υ1 Υ 圆心5 #4 ! , 6 ! ∋ Κ Υ 1Σ求 8 1 Υ 1卜土>兰塑‘一一一一?— ? ? ?一 ?—ΥΚ 】 � , , 9 , , Ξ ‘ 8 。 二 Υ 1月 Ψ Ζ ?— Υ Η 一 一 � 8 Ζ �Υ解 ⋯ “ � 一 Ξ Υ 、 ∀ / ∀ 9 / , Υ ∀ ∀ 。 Υ 1日 Ξ : ?—> Κ : 一 ‘ Υ 1Υ Υ ‘ Υ ⋯ Υ1 Υ Θ 2 旦红二竺 1 Υ Θ 2 一 ∃ � ; = Υ 1Υ 】 。 ‘一 。) Ξ Υ1 Υ 、 , / � 一 Ω Υ 、 , ( 。 。 。 , 。 Υ 11 Υ [ 1 >— Υ 通∴且> Σ Ζ � � Ζ � 。 Ξ 1Υ Ξ “ , 一 ” 、 8 Ξ Ξ ΥΥ 4 5 二卫上少尽少奥止垫一 Ξ 二! > 一− � ) , ) = Ξ ΣΥ Ξ ‘ Γ 一入 Κ Ξ ΥΥ ⋯犷一 / 1 9 Γ‘] ! 一, Κ兰 一 Ξ 6 ! 一‘· ∃ Δ‘) ΥΥ8 二二二全一 “ ’“艺二几之兰 � 8上多丝竺竺一一一一一二二一一? 」 说明三 ∀ 此处增加了一个新的变量 , 。 我们规定 ∀ 以0为原点设座标系 ] ∀ 0Α ( #它只是座 标系] � Α 的平移 ∋ , 线段0. 与] ∀ 轴正向的夹角定义为 , #见图 ≅ ∋。 ⊥ ϑς , , “_⎯ , 的符号由 , 所 处的象限按照一般三角函数的规定决定 。 说明四 ∀ 此处增加了一个新 的变量5。 我们规定 ∀ 以!为原点 设座标系] ∀ !Α ∀ #它只是座标系 ] � Α的平移∋ , 线段!� 尹与 ] ∀ 轴 正向的夹角定义为日#见图 ≅ ∋。 ⊥ ϑ ς日, “ _⎯ 5的符号由所处的象限 按照一般三角函数的规定决定 。 说明五 ∀ 对于第三类问题 的 计算 , 如不增加对 α ϑ ς , , ς _⎯ , , 。。 ς日, ς _⎯ 日的符号规定 , 仍按原 图 砂 书上公式计算 , 其最后结果将是 ∀ 4 5 2 一 � Δ Δ = ) , 6 5 二 一) � ; & = , 7 一 ∃ � % ∃ =∗ , 4 尹2 一 � ; ∗ , 6 ‘二 一 ) � ∗ = % ≅ 。 如 图 ∃ 中虚线所示 。 显然它不符合实际使用的要求 。 同时应说明的是 ∀ 由于需求点!在直线. 0上 , 且有 !. 一 ! � 一 。 + 一 了‘ 一 这表明它与第一类问题实质上是相同的 。 因此可用第一类问题的计算方法来处理第三类问题 。 直线! . 相当于刀。里的戒 ∀ 的垂直平分线Ρ ! , 因此‘一# 材托至千_ 迈生丈、材 Θ “ 9 1β 而 . 点相 当于那里的. ∀ , . ∀ , Ρ ( . 尹相当于那里的. 。。 #%∋ 第三类问题的计算 , #见图 Δ ∋ ������叮��用�,�����饭��、������ ��������‘曰曰�旧目����月吸�� ��””“�+“““““”阳曰“””引”“盯州”引引引州叫日”5“卜升卜�卜引,引曰门引�引护引日“Β卜日曰曰日引曰州划日Β翻引引川卜引引”引⋯实 例 计 算、 算 过 程 ⋯实 圆0的圆心0 # χ , Ω ∋ 半径为 + 点 . # , , / ∋ 圆 � 产的圆心坐标� 产#ς 尹 , Ω 户∋ 半径为 + 产 ς一 � 8 ∃ ∃ ) & , Ω一 ) 8 Π∃ ) & + 2 & 8 % Δ Δ ∗ , 一 一 3 / 一 一 % 图 中点!。 ς , 一 ∃ , Ω , 二 ∃ + , 一 % 巳知条件 !#4 ! , 6 5 ∋ , 的切点. 尹#4 尹, 6 矛 ∋ Θ > /一 Ω, 一 χ Θ 一 ) � ∗ ≅ Δ , “。 χ , , 气而击丁 α ϑ ς , Υ二 ∃ � % ; = 见说明三 Υς ( ⎯ 。 Σ一 Υ下缨一 ΚΥ : 人 ‘ 十 Κ & _⎯ 。 Κ一 ∃ � ≅ ) Δ % δ > , 一 + , α ϑ ς , ⎯ 二 / 一 + ς _⎯ ε 因 , 在第三象限 。1。⋯习一 一一 ∀Κ 、,φ1一、⋯� 一α ϑ ς , Μ ∃& _⎯ , Μ ∃得δ 二 , 一卜+ ‘ Υα ϑ ς 。 Υ ⎯ 二 / 9 + ‘卜_⎯ , 1 ∀ 一∃ � Δ Δ & ) 一 ∃ � ) & δ 9 & Η “ ? 一厄一一 ⎯ 9 Ω , Υ ’ 一 ) Η 二一∃ � ∗ ∗ ) = : 一 一 ∃ � ∃ ; Δ 解 Θ 产 δ 一 ς ,Ω , 一 ⎯ Θ 产 ? 一∗ 8 & % : 一 Η Θ 尹 一 / 9 , Θ Θ 一 Θ 产 了。一 : 9 Θ 产#4 5 一 Η ∋ 4 ! 2 一∃ � & ≅ %& 6 ! 2 ∃ � & % ∗ 7 2 材#一又, 二 , ∋ “9 #6 ! 一 / ∋“ 7 一 % 8 ; Δ ∗ & Θ 介 8 Ω , 一 6 5ς , 一 4 ! Θ 即 2 一 ∃ Δ = & ∃ � ⊥ 。 χ。�布岩育_? 卜、Τ1。卜卜万寺毓> Υ Υα ϑ ς日Υ2 ∃ � ; & = % 见说明四 Υ& _⎯ 日Ξ2 ∃ � = & ∗ ) 4 产 > 4 , 9 7 α ϑ ς日 6 尹一 6 , 9 7 & _⎯ 5 因日在第四象限 α ϑ ς 5Λ ∃ & _⎯ 日Μ ∃ 得 4 尹 > 4 。 9 7 Υα ϑ ς日Σ 6 夕一6 ! 一 7 卜_⎯ 日Υ 4 , 2 ) � ) = Δ ; 6 , 2 一 � ≅ = ) ∗ 见说明五 所以 , 以 !#一。� &。% & , 。� & % ∗ ∋ 为圆心 , 7 一 % � ∀ Δ∗ & 为半径所作的圆弧即为所求式欢, 切 点为! 。#) � ) Δ = ; , 一 � ≅ = ) ∗ ∋ 。 至此 , 我们已将所有需求的数据计一算完毕 。这些点的座标值都统一于 ] � Α坐标系中 , 只要 扣照线切割机床程序编制的格式和要求进行编程 , 就可使问题得到圆满解决 。 以上仅介绍了我们对圆弧拟合计算问题的肤浅认识 , 难免会有许多错误的地方 , 现提出来 与同志们商讨 , 望批评指正 。 本文在成稿过程中 , 得到了常州市机械工业局七二一工大宋建川 同志和上海圆珠笔厂沈景元同志的大力支持和帮助 , 并提出不少宝贵意见 , 借此机会 , 一并表 示衷心的感谢 。 一 Βχ 一