2011年高考数学题分类汇编（4）数列

2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编 第4部分:数列 一、选择题: 1．（2010年高考山东卷理科9）设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的 （A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若已知 ，则设数列 的公比为 ，因为 ，所以有 ，解得 且 ，所以数列 是递增数列；反之，若数列 是递增数列，则公比 且 ，所以 ，即 ，所以 是数列 是递增数列的充分必要条件。 【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。 2．（ 2010年高考全国卷I理科4）已知各项均为正数的等比数列{HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 }，HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 =5，HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 =10，则HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 = (A) HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 (B) 7 (C) 6 (D) HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 10,所以HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 , 所以HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 3．（2010年高考福建卷理科3）设等差数列 的前n项和为 ,若 , ,则当 取最小值时,n等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为 ，则 ，解得 ， 所以 ，所以当 时， 取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 4．（2010年高考安徽卷理科10）设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为 ，则下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 4.D 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】取等比数列 ,令 得 代入验算，只有 选项D满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. 5. (2010年高考天津卷理科6)已知{ }是首项为1的等比数列， 是{ }的前n项和，且 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 。则数列 的前5项和为[来源:Z+xx+k.Com] （A） HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 或5 （B） 或5 （C） HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 （D） 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为 ，则当公比 时，由 得， ，而 ，两者不相等，故不合题意；当公比 时，由 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 及首项为1得： ，解得 ，所以数列 的前5项和为 = HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 ，选C。 【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思想以及计算能力。 6．（2010年高考广东卷理科4）已知 为等比数列，Sn是它的前n项和。若 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 ， 且 与2 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 的等差中项为 ，则 HYPERLINK "http://www.zxsx.com" EMBED Equation.DSMT4 =w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 【解析】设{ }的公比为 ，则由等比数列的性质知， ，即 。由 与2 的等差中项为 知， ，即 ． ∴ ，即 ． ，即 ． 7．（2010年高考四川卷理科8）已知数列 的首项 ，其前 项的和为 ，且 ，则 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由 ,且 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1w_w w. k#s5_u.c o*m 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 则 答案：B 8．（2010年高考陕西卷理科9）对于数列｛a n｝，“a n+1＞∣a n∣（n=1，2…）”是“｛a n｝为递增数列”的【B】 ( A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件[来源:学+科+网] (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当 时，∵ ，∴ ，∴ 为递增数列. 当 为递增数列时，若该数列为 ，则由 不成立，即知： 不一定成立. 故综上知，“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.故选 . 9．（2010年高考北京卷理科2）在等比数列 中， ，公比 .若 ，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C 【解析】由 得 ，又 ，所以 ，解得 m=11，故选C。 10．（2010年高考江西卷理科5）等比数列 中， ， ，函数 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 11．（2010年高考浙江卷3）设Sn 为等比数列{an}的前n项和，8a2+ a5=0, 则S5/S2= （A）11 （B）5 （C）-8 （D）-11 【答案】D 12．（2010年高考辽宁卷理科6）设{an}是有正数组成的等比数列， 为其前n项和。已知a2a4=1, ,则 （A） (B) (C) (D) 【答案】B 13．(2010年高考全国2卷理数4）如果等差数列 中， ，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C [来源:学科网][来源:Zxxk.Com] 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 13(2010年高考重庆市理科1)在等比数列 中， ，则公比q的值为 （A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 8 【答案】A 解析： 。 二、填空题： 1．（2010年高考福建卷理科11）在等比数列 中,若公比 ,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 . 【答案】 【解析】由题意知 ，解得 ，所以通项 。 【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。 2. (2010年高考湖南卷理科15)若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数列 ．例如，若数列 是 ，则数列 是 ．已知对任意的 ， ，则 ， ． 【答案】2， 【解析】因为 ，而 ，所以m=1,2,所以 2. 所以 ＝1, ＝4， ＝9， ＝16， 猜想 【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，属难题。 3．（2010年高考江苏卷试题8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____ 【答案】21 [解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为： 当 时，解得 ， 所以 。 4．（2010年高考浙江卷14）设n≥ 2，n ，（2 x+ ） －（3x+ ） = a + a x2+…+ a xn,将∣a ∣（0≤k≤n）的最小值记为 ，则 =0， = － ， =0， = － ，… ，… 其 =_______. 【答案】 5．（2010年高考浙江卷15）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an }的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是 。 【答案】 或 6．（2010年高考辽宁卷理科16）已知数列 满足 则 的最小值为_________ _. 【答案】 三、解答题： 1．（2010年高考山东卷理科18）（本小题满分12分） 已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ． （Ⅰ）求 及 ； （Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有 ，解得 ， 所以 ； = = 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= = = ， 所以 = = ， 即数列 的前n项和 = 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2. （22）(2010年高考天津卷理科22)（本小题满分14分） 在数列 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 中， ，且对任意 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 成等差数列，其公差为 。 (Ⅰ)若 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 =2k，证明 成等比数列（ HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 ）； (Ⅱ)若对任意 ， HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 成等比数列，其公比为 . （i）设 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 1.证明 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 是等差数列； (ii)若 ，证明 HYPERLINK "http://www.xkb123.com" EMBED Equation.DSMT4 【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。 【解析】（Ⅰ）证明：由题设，可得 。 所以 = =2k(k+1) 由 =0，得 于是 。 所以 成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由 成等差数列，及 成等比数列，得 当 ≠1时，可知 ≠1，k 从而 所以 是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明： ， ，可得 ，从而 =1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： （1）​ 当n为偶数时，设n=2m( ) 若m=1,则 . 若m≥2，则 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（ ） 所以 从而 ··· 综合（1）（2）可知，对任意 , ,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由 可知 。可得 ， 所以 是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为 所以 。 所以 ，从而 ， 。于是，由（i）可知所以 是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得 = ，故 。 从而 。 所以 ，由 ，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。 3. (2010年高考数学湖北卷理科20） (本小题满分13分) 已知数列 满足: , , ；数列 满足： = - （n≥1）. (Ⅰ)求数列 ， 的通项公式; (Ⅱ)证明:数列 中的任意三项不可能成等差数列. 4. (2010年高考湖南卷理科21) （Ⅱ）是否存在 【 解析】易知 令 (1) 故 在 （2） （3） 5. （2010年高考安徽卷理科20）（本小题满分12分） 设数列 中的每一项都不为0。 证明： 为等差数列的充分必要条件是：对任何 ，都有 。 [来源:Zxxk.Com] 6. （22）（ 2010年高考全国卷I理科22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效） 已知数列HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 中，HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 . （Ⅰ）设HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 ，求数列HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 成立的HYPERLINK "http://www.ks5u.com/" EMBED Equation.DSMT4 的取值范围 . 【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】 （Ⅱ） 用数学归纳法证明：当 时 . （ⅰ）当 时， ，命题成立； 7．（2010年高考四川卷理科21）（本小题满分12分） 已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*都有 a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2 （Ⅰ）求a3，a5； （Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列； （Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn. 8．（2010年高考江苏卷试题19）（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列。 （1）求数列 的通项公式（用 表示）； （2）设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为 。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知： ， ， 化简，得： ， 当 时， ，适合 情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又 ， ， 故 ，即 的最大值为 。 （方法二）由 及 ，得 ， 。 于是，对满足题设的 ， ，有 。 所以 的最大值 。 另一方面，任取实数 。设 为偶数，令 ，则 符合条件，且 。 于是，只要 ，即当 时， 。 所以满足条件的 ，从而 。 因此 的最大值为 。 9. (2010年全国高考宁夏卷17）（本小题满分12分） 设数列 满足 （1）​ 求数列 的通项公式； （2）​ 令 ，求数列的前n项和 （17）解： （Ⅰ）由已知，当n≥1时， 。 而 所以数列{ }的通项公式为 。 （Ⅱ）由 知 ① 从而 ② ①-②得 。 即 10．（2010年高考陕西卷理科16）(本小题满分12分) 已知 是公差不为零的等差数列, 成等比数列. 求数列 的通项; 求数列 的前n项和 解 由题设知公差 由 成等比数列得 解得 (舍去) 故 的通项 , 由等比数列前n项和公式得 11．（2010年高考江西卷理科22）（本小题满分14分） 证明以下命题： （1）对任一正整数 ，都存在正整数 ，使得 成等差数列； （2）存在无穷多个互不相似的三角形 ,其边长 为正整数且 成等差数列. 22．（本小题满分14分） 证明：（1）易知 成等差数列，故 也成等差数列， 所以对任一正整数 ，都存在正整数 ，使得 成等差数列． （2）若 成等差数列，则有 ， 即 …… ① 选取关于 的一个多项式，例如 ，使得它可按两种方式分解因式，由于 因此令 ，可得 …… ② 易验证 满足①，因此 成等差数列， 当 时，有 且 因此 为边可以构成三角形． 其次，任取正整数 ，假若三角形 与 相似，则有： ，据比例性质有： 所以 ，由此可得 ，与假设 矛盾， 即任两个三角形 与 互不相似， 所以存在无穷多个互不相似的三角形 ,其边长 为正整数且 成等差数列． 12．(2010年高考全国2卷理数18）（本小题满分12分） 已知数列 的前 项和 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）证明： ． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式 的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.[来源:Z&xx&k.Com] 【参考答案】 【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. 13. (2010年高考重庆市理科21) (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．) 在数列 中， ， 其中实数 ． (Ⅰ) 求 的通项公式； (Ⅱ) 若对一切 有 ，求c的取值范围． 14． （2010年上海市春季高考23)