第3章 插值方法与曲线拟合

null第三章 插值 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 与曲线拟合第三章 插值方法与曲线拟合 3.1 引言 3.2 插值方法 3.2.1 拉格朗日（Lagrange）插值 3.2.2 分段插值方法 3.2.3 牛顿（Newton）插值法 3.3 曲线拟合 3.3.1 直线拟合 3.3.2 多项式曲线拟合3.1 引言（应用背景）3.1 引言（应用背景）已知函数 y = f (x) 在 [ a , b ] 上若干点处的函数(导数)值,如何求出 y = f (x) 在[ a , b ]上任一点x*处函数值的近似值？解决思路： 根据 f (x)在已知点的值，构造一个比较简单的函数 g(x) 去逼近或近似替代函数 f (x) ，然后计算 g(x) 在[a, b] 上点 x*处的函数值作为原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。—— 数值逼近方法问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的提出：g(x)称为逼近函数(代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数)； f(x)称为被逼近函数如何构造逼近函数g(x)？ 插值法和曲线拟合法引言3.1.1 插值方法3.1.1 插值方法则称 为插值多项式，这种插值方法称为多项式插值方法。一般地，插值方法适用于观测数据的准确度和可靠性较高的场合严格满足！ 简单的做法之一：构造一个(相对简单的)函数通过全部节点,再用计算插值，即p(x)插值：就是在所给函数表中再“插”进一些所需要的函数值 （几何意义见图）引言（插值示例）（插值示例）引言3.1.2 曲线拟合方法3.1.2 曲线拟合方法解决思路： 构造一个（拟合）函数 ，使其尽可能靠近实验或观察的采样点。 “靠近”的准则：要求所构造的函数 g(x) 和采样点 之间满足某种误差准则，如,使得 总偏差 为最小即可 。 如果观测数据的误差较大，不可能也没有必要将它作为准确值来处理按照上述要求构造函数的方法，就是曲线拟合方法，函数g(x) 称为拟合函数。曲线拟合方法只要求所构造的函数尽可能靠近这些采样点,而不要求通过这些采样点,所以适用于观测数据误差较大的场合。 引言拟合示例拟合示例引言3.2. Lagrange（拉格朗日）插值3.2. Lagrange（拉格朗日）插值 Lagrange插值几种情形： (两点采样)线性插值 (三点采样)抛物插值 (n+1点采样)拉格朗日插值 Lagrange插值是一种多项式插值方法。已知定义在某个区间　　　上的函数 在已知点 处的值， ， Lagrange插值方法就是要找出一个多项式函数　　　 使之满足条件（插值条件）3.2.1 两点插值3.2.1 两点插值通过两个采样点(x0, y0 )和(x1, y1 )作直线 p1 (x)  f (x), 满足BAxy1y0x0x1y=p1(x)y=f(x)0点斜式对称式称 为 x0点和x1点的插值基函数。有如下性质：记又称 线性插值（或一次插值）三点插值null满足插值条件 的一次插值多项式 ，可 用两个插值基函数 和 进行线性组合构造出来且唯一。即有如下重要结论: 当 很小时，线性插值是经常使用的。如程控铣床加工曲线，就是把曲线分成很多小段直线，对每一小段都是直线走刀。例3.1 已知 的两个采样点（100,10）和（121,11）,求 。两点插值3.2.2 三点插值通过三个样点(x0,y0)、(x1, y1)和(x2, y2)构造一个二次多项式 来近似替代 f(x) , 使之满足插值条件 二次多项式中各个系数的确定方法： 1. 待定系数法（解方程组）。 2. 基函数构造法 用三个插值基函数 、 和 进行线性组合构造 ，即：3.2.2 三点插值又称抛物插值或二次插值三点插值null三个基函数在节点 x0 ， x1 和 x2 处应满足 抛物插值公式由三个二次插值基函数线性组合而成 三点插值null例3.3 已知 在节点100、121 和 144处的值为 10、11 、和12，试构造一个二次插值多项式，求 的近似值，并与线性插值的结果进行比较。 抛物插值要比线性插值精确 推广：多点（N+1)点插值问题 Lagrange插值小结: 两点构成线性插值,插值结果为一次多项式（唯一） 三点构成抛物插值, 插值结果为二次多项式（唯一）不大于N次多项式？ 唯一性？三点插值3.2.3 Lagrange插值3.2.3 Lagrange插值证明：由插值条件一、存在性和唯一性Lagrange插值null基函数 li(x)的确定过程由于li(x)是n次式，可设即Lagrange插值公式 Lagrange插值null三、Lagrange插值公式的特点特点：Lagrange插值null程序名称 lagrange.m 调用格式 y=lagrange(x0,y0,x) 程序功能 求插值点处的函数值。 输入变量：数组 x0，y0为已知的采样值，x为插值节点（可以是多个） 输出变量y：插值节点对应的函数值 程序代码 function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end四、Lagrange插值法 MATLAB编程 (P176）算法很简单，在计算机上只需要通过内、外两重循环即可迅速得到给定点x的函数值y。例 3.4 已知采样值为： x: 1.1 2.3 3.9 5.1 y: 3.887 4.276 4.651 2.117 用MATLAB函数计算在2.101和4.234两处的Lagrange插值函数值。 x=[1.2,2.3,3.9,5.1] y=[3.887,4.276,4.651,2.117] plot(x,y,'o') hold on xx=[2.101,4.234]; z=lagrange(x,y,xx) plot(xx,z,'ro')Lagrange插值null例 若用线性插值（两点插值） 程序： clear format long x = [0.5, 0.6]; y = [-0.693147, -0.510826]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为： yi = -0.620218600000002.若用抛物线插值（三点插值） 程序： clear format long x = [0.4, 0.5, 0.6]; y = [-0.916291, -0.693147, -0.510826]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为： yi = -0.61531984000000f(x)=ln(x)二--2.若用五点插值 程序： clear format long x = [0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8]; y = [-0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.356675, -0.223144]; xi = [0.54]; yi = lagrange(x, y, xi) 其结果为：yi = -0.61614271520000准确值 ln0.54=-0.6161861394238插值误差与插值次数有关！Lagrange插值3.2.4 lagrange插值余项3.2.4 lagrange插值余项Lagrange插值的误差误差能否预报?讲解证明过程：P43Lagrange插值nullLagrange 插值余项计算实例解 （1）一次插值多项式误差：误差：（2）二次插值多项式（外插）（内插）一般地，内插要比外插精度高，二次插值要比一次插值精度高。 Lagrange插值null根据公式 计算插值余项，前提条件是必须已知函数 阶导数。实际情况是，我们仅仅知道离散的插值节点和对应的函数值。那么，怎样保证插值的计算精度呢？ 问 题解 决 方 法n+1这种利用相关两次的插值计算结果来估计误差大小的方法，称为事后误差估计方法。Lagrange插值3.2.5 Runge（龙格）现象3.2.5 Runge（龙格）现象问 题运用Lagrange插值公式进行插值，插值节点数越多，插值多项式的次数越高，插值函数和被插值函数重合的点（在插值节点上）也越多，插值计算结果的精度是否也越高呢？ clear xn=[-5:0.05:5]; %插值点（多个） fn=1./(1+xn.^2); %函数的准确值 x1=linspace(-5,5,11) ; y1=1./(1+x1.^2); %11个样本点 x1=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5]； L10=lagrange (x1,y1,xn); % 用11个样本点的Lagrange插值结果 x2= linspace(-5,5,7) ; y2=1./(1+x2.^2); %用7个样本点 L6=lagrange (x2,y2,xn); % 用7个样本点的Lagrange插值结果 plot(xn,L10,'r',xn,L6, '*g',xn,fn,'-b',x1,y1,'o', x2,y2,'o')Runge现象null减少插值误差的建议 （1）在插值区间内，只能在一定范围n<=7内依靠增加插值节点的方法提高插值精度，应该尽量避免使用高次插值，以防止出现Runge现象； （2）减小插值区间或将插值区间分成若干小段，在每一小段上使用低次插值，即采用分段插值。 （3）修改插值条件，如要求插值函数和被插值函数在某些节点具有相同导数，即采用Hermite（埃尔米特）插值等； 但在其它插值点处这种对于等距插值节点进行高次插值时所发生的不收敛现象称为Runge现象。 插值多项式的次数越高并不一定能提高计算精度！利用插值余项公式 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 该例题中Runge现象产生的原因课后作业：Runge现象 3.3 分段插值方法（与教材中顺序不一样） 3.3 分段插值方法（与教材中顺序不一样） 为避免高次多项式插值带来的龙格现象;实际应用中常采用低次的分段插值方法. 1. 分段线性插值--每个小区间采用线性插值线性插值的公式为 分段线性插值的误差:？如何编程实现分段插值null分段插值null2. 分段抛物插值。插值的公式为： 1，方法简单，可保证收敛性； 2，只要节点间的间距足够小，就能满足精度要求； 3，如果重新选择插值点，其插值函数只需在相关的局部采样区间内重新计算，不影响全局； 4，分段线性插值函数是一条折线；分段抛物插值函数曲线不一定光滑。分段插值方法的特点根据课程进度补充样条函数的内容！！为提高曲线的光滑度样条函数分段插值3.4 插值算法的改进3.4 插值算法的改进当插值计算精度不够时，可以增加节点来提高插值精度（当然插值多项式的次数一般不宜超过6~8次）。这种方法就是所谓的逐次插值法。 运用Lagrange插值方法存在一个明显的缺点，就是当插值节点变化和增加时，Lagrange插值公式中的所有基函数都得重新计算，计算量大。 思考：能否在前面计算结果的基础上继续进行计算，而不必重新开始计算？？ 分析：取节点 x0, x1进行一次插值取节点 x0和新增节点x2进行一次插值取节点 x0, x1,x2进行二次插值用两个一次插值的结果进行线性插值，可得到二次插值的结果。 类推可发现，用两个2次插值的结果进行线性插值，可得到3次插值的结果； 用两个k-1次插值的结果进行线性插值，可得到k+1次插值的结果。该递推规律可用表格形式表达一、Aitken 逐次线性插值法（教材中3.3.1）Aitken逐次插值null这种逐步提高插值次数以获得更高精度插值结果的插值方法称为Aitken逐次插值方法。 样本点 1次插值 2次插值 3次插值 4次插值 例如已有2点1次插值结果若增加节点x2，为提高精度做二次插值两个1次式作线性插值若又增加节点x3，为提高精度做三次插值先求先求 再求………………两个2次式作线性插值Aitken逐次插值null（1）将一个高次插值过程归结为线性插值的多次重复； （2）插值表中的每个数据均为插值结果，从这些数据的一致程度可判断插值结果的精度，如果未达到精度要求，则再增加一个节点进行插值，直至满意为止。 Aitken逐次插值法的特点Aitken逐次插值null二、牛顿插值法（教材中3.4）（Aitken逐次插值法虽然具有承袭性的特点，但其插值公式是递推型的，不便于进行理论分析。） 把n次插值多项式改写成升幂的形式如何?根据插值条件Newton插值null差商的定义与性质记为 f [x0,xk]显然，f [x0,xk]=f [xk,x0]二阶差商 称一阶差商 称记为 f [x0;x1,xk]三阶差商 称k阶差商 第一种格式的差商 第二种格式的差商 另外一种格式：Newton插值null差商的性质：各阶差商的计算具有递推规律，因此，将各阶差商排列在一起，组成差商表。 Newton插值null引进差商后，可以方便地求出Newton插值公式了 求系数Ci的过程Newton插值公式用Newton插值法构造插值多项式时，只需计算各个节点间的各阶差商即可； 因为各阶差商的计算具有递推规律，所以计算量比Lagrange插值要小。Newton插值null例3.7 依据下列函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式 Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。（1）Newton插值多项式根据差商表，计算差商值回代如果将插值节点的顺序改变为2，4，1，0，其Newton插值的结果还一样吗？为什么？?(2) Lagrange插值多项式 基函数 用Lagrange插值法和Newton插值法对同一插值问题的结果是一致的（插值多项式的唯一性）Newton插值nullNewton插值公式的误差 ?+误差Newton插值null解：根据差商表，计算差商值Newton插值null在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在节点处的函数值相同，而且还要求插值函数与被插值函数在某些节点处的导数值、甚至高阶导数值也相同。 Hermite插值3.5 Hermite 插值nullHermite插值Hermite插值基函数3.5.1 Hermite插值多项式nullHermite插值1. 先确定则可令2. 再确定根据Lagrange基函数 的定义，由null计算出基函数后，可组合得出Hermite插值多项式：Hermite插值解应用最广泛的是三次Hermite插值多项式，即n=1时的情况。null证明：Hermite插值nullHermite插值3.5.2 Hermite插值余项例 计算例题3.9中Hermite插值余项解：null总结并比较本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中介绍的几种插值方法的应用场合及其误差Hermite插值nullMATLAB内置的插值函数 （见课件 “MATLAB内置函数-插值.ppt)3.6 曲线拟合3.6 曲线拟合插值方法要求插值曲线严格通过所给的每一个数据点（样点），数据本身存在的不可避免的误差会反映到插值结果中。如果数据误差很大，用插值方法显然就不恰当了，可以用曲线拟合方法。 曲线拟合法: 设法构造一条曲线反映所给数据点的总趋势(不一定过点），以消除其局部的波动 直线拟合 多项式曲线拟合 指数曲线拟合本节介绍几种简单的拟合方法注意：PPT内容的顺序与教材稍微不同3.6.1 直线拟合 3.6.1 直线拟合 即构造一条直线： ，使采样点数据（ ）之间的函数关系由下式近似比拟： 采样数据点的数目远大于待定系数（a与b）的数目，因此，拟合直线的构造,本质上是一个解超定（矛盾）方程组的代数问题。直线拟合拟合准则： 在这三种准则中，常用准则3，用此准则所导出的曲线拟合方法就称为最小二乘法。 最小二乘直线拟合法 最小二乘直线拟合法 如何求系数a,b?当 时，残差Q最小即可确定拟合直线 采用直线拟合方法的前提条件是，数据之间的函数关系大致为直线关系，如果数据之间的函数关系根本不符合直线规律，就应该采用多项式拟合方法和其他拟合方法如指数拟合等。直线拟合null直线拟合null3.6.2 多项式曲线拟合 正规方程组 可用Gauss消去法解此方程组，求得系数ai，得到拟合多项式。但在实际问题中，当多项式的次数较高时，正规方程组的系数行列式会出现“病态”，因此，常采用正交多项式作为拟合曲线。多项式曲线拟合null3.6.3 指数曲线拟合法指数曲线拟合nullnullMATLAB内置的拟合函数 （见课件 “MATLAB内置函数-拟合.ppt)本章小结本章小结插值方法和曲线拟合方法的应用场合； 拉格朗日插值多项式的构成方法、插值基函数和插值余项； 插值过程中的龙格现象和防止 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 ； 各种插值公式的特点和应用问题； 判断离散数据插值计算精度的方法； 线性最小二乘拟合原理和直线拟合的方法。本章主要掌握的内容是：上机练习