GA2 + GB 2 + GC2 = 13
( a2 + b2 + c2 ) ,
HA2 + HB 2 + HC2 = 12R2 - ( a2 + b2 + c2 ) 1
推论 3 四面体 ABCD的欧拉球球心 [5 ]为 E,外
接球半径为 R,则
EA2 + EB 2 + EC2 + ED2 = 4R2 1
当四面体四条高相交于一点 H,即四面体存在
垂心 H时 ,易知 H便是四面体的欧拉球球心 ,故有 1
推论 4 四面体 ABCD若存在垂心 H,外接球半
径为 R,则
HA2 + HB 2 + HC2 + HD2 = 4R2 1
推论 5 四面体 ABCD的伪垂心为 H [6 ] ,外接球
半径为 R,六条棱长分别为 a、b、c、d、e、f,则
HA2 + HB 2 + HC2 + HD2
= 36R2 - 2 ( a2 + b2 + c2 + d2 + d2 + f 2 ) 1
推论 6 四面体 ABCD的重心为 G,六条棱长分
别为 a, b, c, d, e, f,则
GA2 + GB 2 + GC2 + GD2
=
1
4
( a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 ) 1
参考文献
1 [美 ]R·A约翰逊 (单 译 ) 1近代欧氏几何学 1上海
教育出版社 11999, 8
2 熊曾润 1三角形欧拉圆心一个性质的推广 1中学数
学 , 2007, (6)
3 段惠民 1圆内接闭折线垂心的一个性质的推广 1福
建中学数学 , 2004, (4)
4 段惠民 1“杜洛斯 —凡利 ”(D roz - Farny)圆的成因探
究与推广 1中学教研 (数学 ) , 2006, (5)
5 段惠民 1四面体的外 P号心及其性质 1数学通讯 ,
2003, (11)
6 熊曾润 1球内接多面体的伪垂心及其性质 1福建中
学数学 , 2005, (4)
(收稿日期 : 20070708)
一个美丽不等式的推广
330047 南昌大学附属中学 宋 庆
本刊文 [ 1 ]
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
了这样一个美丽不等式 :
若 a、b、c为正数 ,则 a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
>2.
将其推广 ,笔者得到
定理 若 a、b、c为正数 , n为不小于 2的正整
数 ,则
n
a
b + c
+
n
b
c + a
+
n
c
a + b
> 2.
证明 :不妨设 a≤b, a≤c则
bn - 1 ( c + a) ≥bn - 2 a ( b + c) ≥an - 1 ( b + c) ,
n
a + b -
n
b
=
a + b - b
( n a + b) n - 1 + ⋯ + ( n b) n - 1
≤ a
n
n
bn - 1
. [ 1 ]
[ 1 ]这式子的分母
= ( n a + b) n - 1 + ( n a + b) n - 2 n b + ⋯
+
n
a + b ( n b) n - 2 + ( n b) n - 1 1
于是 ,
n
a + b -
n
b
n
c + a
<
a
n
n
bn - 1 ( c + a)
≤ a
n
n
a
n - 1 ( b + c)
=
1
n
n
a
b + c
,
所以
n
a + b -
n
b
n
c + a
<
1
n
n
a
b + c
,
同理可得
n
c + a -
n
c
n
a + b
<
1
n
n
a
b + c
,
以上两式相加 ,可得
n
a + b -
n
b
n
c + a
+
n
c + a -
n
c
n
a + b
<
2
n
n
a
b + c
≤
n
a
b + c
,
从而 ,我们得到
n
a
b + c
+
n
b
c + a
+
n
c
a + b
>
n
c + a
a + b
+
n
a + b
c + a
≥2
n
c + a
a + b
·
n
a + b
c + a
= 2.
因此 ,定理获证.
参考文献 :
1 宋 庆 1一个不等式的简洁证明 1中学数学 11999, 111
2 宋 庆 1两个优美不等式的推广 1中学数学 12007, 4
(收稿日期 : 20070718)
93·初数研究 · (2007年第 10期 )
浙公网安备 33021202002483