5年高考题_3年模拟题_分类汇编__解三角形部分

第五章 平面向量、解三角形 第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.(2009年广东卷文)已知 中， 的对边分别为 若 且 ，则 ( ) A.2 B．4＋ C．4— D． 答案 A 解析 由 可知, ,所以 , 由正弦定理得 ,故选A 2.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中， ，则 ( ) A． B. C. D. 答案 D 解析 本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA= 知A为钝角，cosA<0排 除A和B，再由 . 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知 中， ， 则 ( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 已知 中， ， . 故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角 中， 则 的值等于 ， 的取值范围为 . 答案  2 解析 设 由正弦定理得 由锐角 得 ， 又 ，故 ， 5.（2009全国卷Ⅰ理）在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 . 解法二:由余弦定理得: .又 , . 所以 ① 又 ， ，即 由正弦定理得 ，故 ② 由①，②解得 . 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 了解就行，不必强化训练。 6.（2009浙江理）（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ． （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值． 解 （1）因为 ， ，又由 得 ， （2）对于 ，又 ， 或 ，由余弦定理得 ， 7.（2009浙江文）（本题满分14分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， ． （I）求 的面积； （II）若 ，求 的值． 解（Ⅰ） 又 ， ，而 ，所以 ，所以 的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，而 ，所以 所以 8.（2009北京理） 在 中，角 的对边分别为 ， 。 （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的面积. 【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力． 解（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且 ， ∴ ， ∴ . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 又∵ ，∴在△ABC中，由正弦定理，得 ∴ . ∴△ABC的面积 . 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x. (1)​ 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2)​ 设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.= 所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 . （2） = =－ , 所以 , 因为C为锐角, 所以 , 又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , 所以 . 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2 在 处取最小值. （1）求 .的值; （2）在 ABC中, 分别是角A,B,C的对边,已知 , 求角C. 解 （1） 因为函数f(x)在 处取最小值，所以 ,由诱导公式知 ,因为 ,所以 .所以 （2）因为 ,所以 ,因为角A为 ABC的内角,所以 .又因为 所以由正弦定理,得 ,也就是 , 因为 ,所以 或 . 当 时, ;当 时, . 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c， , ，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB= (负值舍掉)，从而求出B= 。 解：由 cos（A C）+cosB= 及B=π （A+C）得 cos（A C） cos（A+C）= ， cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= , sinAsinC= . 又由 =ac及正弦定理得 故 ， 或 （舍去）， 于是 B= 或 B= . 又由 知 或 所以 B= 。 11.（2009安徽卷理）在 ABC中， , sinB= . （I）求sinA的值； (II)设AC= ，求 ABC的面积. 解：（Ⅰ）由 ，且 ，∴ ，∴ ， ∴ ，又 ，∴ （Ⅱ）如图，由正弦定理得 ∴ ，又 ∴ 12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在 ABC中，C-A= ， sinB= 。 （I）求sinA的值；(II)设AC= ，求 ABC的面积。 【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于 的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出 . 解（1）∵ ∴ ∴ ∴ 又 ∴ （2）如图，由正弦定理得 ∴ ∴ . 13.（2009江西卷文）在△ 中， 所对的边分别为 ， ， ． （1）求 ； （2）若 ，求 , ， ． 解：（1）由 得 则有 = 得 即 . （2） 由 推出 ；而 , 即得 , 则有 解得 14.（2009江西卷理）△ 中， 所对的边分别为 ， , . （1）求 ； （2）若 ,求 . 解：(1) 因为 ，即 ， 所以 ， 即 ， 得 . 所以 ,或 (不成立). 即 , 得 ，所以. 又因为 ，则 ，或 （舍去） 得 (2) ， 又 , 即 ， 得 15.（2009天津卷文）在 中， （Ⅰ）求AB的值。 （Ⅱ）求 的值。 （1）解：在 中，根据正弦定理， ，于是 （2）解：在 中，根据余弦定理，得 于是 = ， 从而 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。 16.（2009四川卷文）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且 （I）求 的值； （II）若 ，求 的值。 解（I）∵ 为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知 ，∴ 由 得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 17.（2009全国卷Ⅱ理）设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 分析：由 ，易想到先将 代入 得 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。 也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。 18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC＝0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449） 解：在 中， ＝30°， ＝60°－ ＝30°， 所以CD＝AC＝0.1 又 ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB是 底边AD的中垂线，所以BD＝BA 5分 在 中， ， 即AB＝ 因此， 故B、D的距离约为0.33km。 12分 19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， 1.414， 2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，         在△ABC中， 即AB= 因此，BD= 故B，D的距离约为0.33km。   20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一个 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，包括：①指出需要测量的数据（用字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。 解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M， N的俯角 ；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理 　； 第二步：计算AN . 由正弦定理 　； 第三步：计算MN. 由余弦定理 . 方案二：①需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角 ， ；B点到M，N点的府角 ， ；A，B的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算BM . 由正弦定理 　； 第二步：计算BN . 由正弦定理 　； 第三步：计算MN . 由余弦定理 21.（2009四川卷文）在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且 （I）求 的值； （II）若 ，求 的值。 解（I）∵ 为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知 ，∴ 由 得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 (Ⅰ)确定角C的大小： （Ⅱ）若c＝ ,且△ABC的面积为 ,求a＋b的值。 解（1）由 及正弦定理得， 是锐角三角形， （2）解法1： 由面积公式得 由余弦定理得 由②变形得 解法2：前同解法1，联立①、②得 消去b并整理得 解得 所以 故 23.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造， 在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知 ， ，于A处测得水深 ，于B处测得水深 ，于C处测得水深 ，求∠DEF的余弦值。 解：作 交BE于N，交CF于M． ， ， ．　 在 中，由余弦定理， . 24.(2009湖南卷理). 在 ，已知 ，求角A，B，C的大小. 解 设 由 得 ，所以 又 因此 由 得 ，于是 所以 ， ，因此 ，既 由A= 知 ，所以 ， ，从而 或 ，既 或 故 或 。 25..（2009天津卷理）（在⊿ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin 的值 （Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， 于是AB= （Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= 于是 sinA= 从而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin = 26.（2009四川卷理）在 中， 为锐角，角 所对应的边分别为 ，且 （I）求 的值； （II）若 ，求 的值。 解：（Ⅰ） 、 为锐角， ， 又 ， ， ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , . 由正弦定理 得 ，即 ， ， ， 27.（2009上海卷文） 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量 ， 　　 ， . （1）​ 若 // ，求证：ΔABC为等腰三角形； （2）​ 若 ⊥ ，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 . 证明：（1） 即 ，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形 解 （2）由题意可知 由余弦定理可知， 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008福建)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= , 则角B的值为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 答案 D 2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 答案 D 3.（2008陕西） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ， 则 等于 （ ） A． B．2 C． D． 答案 D 4.（2007重庆）在 中， ， ， ，则 （ 　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案 Ａ 5.(2007山东)在直角 中， 是斜边 上的高，则下列等式不成立的是（　　） A. B. C. D. 答案 C 6.（2006年全卷I） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列， 且c=2a，则cosB= ( ) A． B． C． D． 答案 B 二、填空题 7.（2005福建）在△ABC中，∠A=90°， 的值是 . 答案 8.（2008浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 、b、c ，若 ，则 _________. 答案 9.(2008湖北)在△ 中，三个角 的对边边长分别为 ,则 的值为 . 答案 10.（2007北京）在 中，若 ， ， ，则 . 答案 11.（2007湖南）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，b= ， ，则 ． 答案 12.（2007重庆）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ . 答案 三、解答题 14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 且与点A相距40 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 + (其中sin = ， )且与点A相距10 海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=40 ，AC=10 ， 由于 ,所以cos = 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为 （海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐 标系， 设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）, BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1= AB=40, x2=ACcos , y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k= ,直线l的方程为y=2x-40. 又点E（0，-55）到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理得， = = . 从而 在 中，由正弦定理得， AQ= 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt 中，PE=QE·sin = 所以船会进入警戒水域. 14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高 时， 可以选与塔底 在同一水平面内 的两个侧点 与 ．现测得 ， 并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ． 解 在 中， ． 由正弦定理得 ． 所以 ． 在Rt△ABC中， ． 15．（2007福建）在 中， ， ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长． 解 （Ⅰ） ， ．又 ， ． （Ⅱ） ， 边最大，即 ． 又∵tanA＜tanB，A、B 角 最小， 边为最小边． 由 且 ， 得 ．由 得：BC=AB· ． 16．（2007浙江）已知 的周长为 ，且 ． （I）求边 的长； （II）若 的面积为 ，求角 的度数． 解 （I）由题意及正弦定理，得 ， ， 两式相减，得 ． （II）由 的面积 ，得 ， 由余弦定理，得cosC= = ， 所以 ． 17．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时 海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 处 时,乙船位于甲船的北偏西 的方向 处,此时两船相距20海里.当甲 船航行20分钟到达 处时,乙船航行到甲船的北偏西 方 向的 处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里? 解 方法一 如图所示，连结A1B2，由已知A2B2= ， A1A2= ，∴A1A2=A2B2， 又∠A1A2B2=180°-120°=60° ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2=A1A2= . 由已知，A1B1=20，∠B1A1B2=105°-60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理， = + - ·A1B2·cos45° =202+( )2-2×20× × =200. ∴B1B2= . 因此，乙船的速度的大小为 ×60= （海里/小时）. 答 乙船每小时航行 海里. 19.（2007全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若 ， ，求b． 解：（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ． （Ⅱ）根据余弦定理，得 ． 所以， 20.（2007全国Ⅱ）在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ． （1）求函数 的解析式和定义域； （2）求 的最大值． 解：（1） 的内角和 ，由 得 ． 应用正弦定理，知 ， ． 因为 ， 所以 ， （2）因为 ， 所以，当 ，即 时， 取得最大值 第二部分 三年联考题汇编 2009年联考题 一、选择题 1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ 中， ， ， ， ， ，则 （ ） A.． B ． C． D． 或 答案 C 2.（2009河北区一模）在 中， 则 （ ） A．-9 B．0 C．9 D．15 答案 C 3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知a，b，c为△ABC的三内角A，B，C的对边，向量 ，若 ，且 的大小分别为 （ ） A． B． C． D． 答案 C 二、填空题 4.（2009长郡中学第六次月考）△ABC的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ，若 ，则角 的大小为 答案 三、解答题 5.（2009宜春）已知向量 ， ， ，且 、 、 分别为 的三边 、 、 所对的角。 （1）​ 求角C的大小； （1）​ 若 ， ， 成等差数列，且 ，求 边的长。 解：（1） 对于 ， 又 ， （2）由 ， 由正弦定理得 ， 即 由余弦弦定理 ， ， 6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）在△ABC中，设A、B、C的对 边分别为a、b、c向量 （1）求角A的大小； （2）若 的面积. 解（1） 又 （2） 为等腰三角形， 7.（2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考）在锐角 中，已知内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，向量 ，且向量 , 共线。 （1）求角 的大小； （Ⅱ）如果 ，求 的面积 的最大值。 解：（1）由向量 共线有： 即 ， 2分 又 ，所以 ， 则 = ，即 4分 （Ⅱ）由余弦定理得 则 ， 所以 当且仅当 时等号成立 9分 所以 。 10分 8.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2， cosB= ． (1)若b=4，求sinA的值； (2) 若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值． 解：(1) ∵cosB= >0，且01，∴t=1时， 取最大值. 依题意得，－2+4k+1=5，∴k= 5. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 （Ⅰ）判断△ABC的形状； （Ⅱ）若 的值. 解：（I） 即 为等腰三角形. （II） 由（I）知