nullnull二元函数的偏导数反映的是函数在点P0处沿x轴(或y轴)方向的变化率。如何描述函数在点P0处沿任何方向的变化率？方向导数null方向导数概念梯度定义和方向导数的计算小结 思考题 作业第七节 方向导数与梯度数量场与向量场问题的提出问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．null1. 方向导数的定义设L是平面上以为起点，以l为方向的一条射线。P是射线L上的一个动点.如果当点P沿射线L趋于P0时,的极限存在,则称此极限值为函数f在点P0沿l方向的方向导数,一、方向导数概念null函数在点记为即由解析几何知道L的参数方程为其中,是由l的方向余弦组成的单位向量.null这样点的距离为因此,方向导数还可以定义为null 一定为正!是函数在某点沿半直线方向的变化率.方向导数偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.null事实上,的方向导数存在,事实上,同理,的方向导数存在,存在时,null反之,存在时,是否一定存在null反之,存在时,是否一定存在例如,函数沿方向的方向导数但不存在.即z在(0, 0)点的偏导数不存在.null函数沿什么方向的方向导数为最大问题null二、梯度概念与计算定义设二元函数f(x,y)在点P0可微，则称向量为f在P0的梯度，记作即(gradient)同理，如果三元函数f(x,y,z)在点P0可微,f在P0的梯度为null定理 如果多元函数f在点P0处可微分，则f在点P0处沿任一方向l的方向导数存在，且证明见课本第45页定理7-10，同学自己课后看。null注 (1)计算方向导数只需知道l的方向余弦及函数的偏导数.(2) 关系方向导数存在偏导数存在可微null例 考虑函数 定点P0(3,1), P1(2,3).求
函数在 P0沿 方向的方向导数. 解 null求函数 在点P( 2, 3 )沿曲线朝x增大方向的方向导数.用参数方程
表
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示为它在点P 的切向量为解将已知曲线null解(1) 最大值;(2) 最小值;(3) 等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例null故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于和(1) 最大值;(2) 最小值;(3) 等于零?问在怎样的方向上此方向导数有null问题已知方向导数
公式
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方向一致时,方向导数取最大值函数沿什么方向的方向导数为最大函数沿梯度方向的方向导数最大，且最大的方向导数就是梯度的模。null例 设函数 (1) 求出沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率. (2) 最大增长率为多少?解 (1) null沿什么方向具有最大的增长率,(2) 最大增长率为多少?解 方向具有最大的增长率,最大的增长率为:即为梯度方向.null结论函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为null在几何上曲面被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等高线梯度为等高线上的法向量表示一个曲面,所截得如图: 法向量为:由于等高线上任一点null函数数量场 (数量值函数)场向量场(向量值函数)可微函数梯度场(势函数)( 有势场 )如: 温度场,电位场,密度场等如: 力场,速度场等三、数量场与向量场注: 并不是每一个向量场都是有势场。向量场null例 求数量场的梯度场，其中G，m均为正的常数。解由对称性原理有所以，null方向导数的概念与计算梯度的概念方向导数与梯度的关系(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别)(注意梯度是一个向量)梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向.四、小结数量场与向量场的概念与梯度垂直的方向就是函数在这点增长最慢的方向.null思考题在点(是非题)非函数沿梯度方向的方向导数最大.因此,在(1, 1)处最大的方向导数为因为方向导数是数量,而梯度是向量.两者不能相等.方向导数与梯度的关系是:沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值.数值上等于梯度的模.null作业习题7-7(48页) 1. 2. 4. 5. 7.
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