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高数题库高等数学题库 吐血推荐:高数题库10高等数学题库(1) 函数 1、​ 填空题: 1.​ 函数 y=arcsin 定义域是: 2.设y= (x)的定义域是[0,1],则复合函数 (sinx)的定义域是: . 3.函数 的值域是 0y + . 4.函数 的反函数是: . 5.函数 在区间 内是单调增加的.在区间 内是单调减少. 6.设 ,(x>o),则 = . 7.设 ,则 = , = x . 8.函数 的反函数y= . 二.选择题: 1.​ 在同一直角坐标系中,函数 与它的反函数说代表的曲线具有的性质是(D) (A)...

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高等数学 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 库 吐血推荐:高数题库10高等数学题库(1) 函数 1、​ 填空题: 1.​ 函数 y=arcsin 定义域是: 2.设y= (x)的定义域是[0,1],则复合函数 (sinx)的定义域是: . 3.函数 的值域是 0y + . 4.函数 的反函数是: . 5.函数 在区间 内是单调增加的.在区间 内是单调减少. 6.设 ,(x>o),则 = . 7.设 ,则 = , = x . 8.函数 的反函数y= . 二.选择题: 1.​ 在同一直角坐标系中,函数 与它的反函数说代 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的曲线具有的性质是(D) (A)​ 关于y轴对称; (B) 关于x轴对称; (C)重合; (D) 关于直线y=x对称. 2.下列几对函数中, 与 相同的是(C). (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与 3.已知的定义域为则的定义域是(C) (A)[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4.如果 ,那么 的表达式是(B) (A) x-1 (B)1-x (C) (D) 都不是 三.设函数 是线性函数,已知 求此函数. 解:设f(x)=ax+b, 则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1. 四.证明函数 在它的整个定义域内是有界. 证明:f(x)的定义域为R. 因为 所以: 函数 在它的整个定义域内是有界 五.试讨论函数 的奇偶性. 解: 所以 偶函数. 高等数学题库(2) 数列的极限 一.判断题: 1.如果数列{ }以A为极限,那么在数列{ }增加或去掉有限项之后,说形成的新数 列{ }仍以阿A为极限. ( T ) 2.如果  ,则有  或 ( F ) 3.如果 ,且存在自然数N,当n>N时恒有 <0,则必有a<0. ( F ) 4.如果 , 均不存在,则有 必不存在. ( F ) 二.观察下列数列变化趋势写出它们的极限,并加以证明( —N说法): 1. 解: =1. 证明: 为了使 ,只要 即可. 所以 有 . =1 2. 解: =0 证明: 要使 即可. 所以 有 =0 三.根据数列极限定义证明: =1. = 要使 只要 即可. 所以 有 =1 。 四.若 ,证明: . 证明: 即: 有 而 所以对 有 即 高等数学题库(3) 函数的极限,无穷大,无穷小 一.​ 选择题: 下列题中其条件对其结论来说是 (A)充分但非必要条件; (B)必要但非充分条件; (C)充分必要条件:  (D)既非充分又非必要条件; 1.条件 , . 结论                   (A) 2.条件 和 都存在.     结论 存在           (B)  3.条件 和 都存在. 结论  存在.           (A)  4.条件f(x)在a的某个邻域内单调有界. 结论 存在.           (D) 二.根据极限定义证明:  . 证明: = 为了使 只要 . 所以 ,当x>X 时,有 成立. 故 三.求 时的左右极限,并说明它们在x 0时的极限是否 存在? 解: =1,所以 . 所以 , 显然 ,故 不存在. 四.根据定义证明:当x 0时,函数 是无穷大,问x应满足什么条件,能使 出 ? 证明:设M是任意给定的正数. 要使 > M, 只要 M+2 ( ) 或 M-2 ( ) 即:0〈 M+2 或 2-M〈 0 所以,取 ,则对于适合 的一切x, 就有 > M, 所以有: . 取M= ,由上知x在下列条件下: 0 < x < 或 < x < 0 有: . 五.证明:函数  在区间(0,1]上无界,但当x +0时,这函数不是 无穷大. 证明:1. 取 时, = 所以 在区间(0,1]上无界. 2.取 , = =0 即在0的任何邻域都不可能有 (M>0)成立. 所以当x +0时,这函数不是无穷大. 高等数学题库(4) 极限的求法 一.​ 判断题: 下列运算是否正确:      (F)                   (F)      (F) 二.计算下列极限:  1. 解: = = 2. 解: = =2 3. 解:设 ,则 因为 =0, 所以 即: 4. 解: = = = = 5. 解:因为 所以arctgx为有界函数. 而 =0, 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知. =0 6. 解: = = = = = 7. 解: = = = 三.已知 解: = =0, = =3+a, 存在,即: = 所以. . 高等数学题库(5) 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 1、​ 判断题: 1.​ 因为 时,tgx~x,sinx~x,所以 (F) 2.​  (T) 3.​  (F) 二、计算下列极限 1.​  解: = = = 2.​  解: = = = =1 3.​  解: = = = =2 4.​  解: = = =1. 5.​  解: = = = 6.​  解: = = = = = . 2、​ 证明:当x 0时,下列各对无穷小量是等价的 1. 证明:设A=arctgx,则 x=tgA, 当 时, . = =1 2.1-cosx ~ 证明: = = = =1. 四、证明: 用两边夹法则:(解法一) 设F(n)= >0 则 设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n). 显然 , ; 由极限存在准则I知: .证毕. (解法二):设F(n)= >0 因为 (n为自然数), 所以有F(n)< = 设 g(n)=0, h(n)= , 则g(n)=0 < F(n) < h(n). 显然 , ; 由极限存在准则I知: .证毕. 另解: 设F(n)= ( 00 即: 所以 为单调有界数列,由极限存在准则II知 有极限. , 则有 , A=2A-- ,解得:A=1 或A=0(舍去,因为 为递增数列且 .) 所以 高等数学题库(6) 函数的连续性 1.​ 判断题 1. ( T ) 2.设 在 点连续,则 ( T ) 3.如果函数 在 上有定义,在 上连续,且 0,则在 内 至少存在一点 ,使得 = 0 ( T ) 4.若 连续,则 必连续. ( T ) 5.若函数 在 上连续且恒为正,则 在 上必连续. ( T ) 6.若 ,且 ,则在 的某一邻域内恒有 . ( F ) 7. 是函数 的振荡间断点. ( F ) 2.​ 填空题: 1. ( ) 2. ( 0 ) 3. ( ) 4. 是 的第(二)类间断点. 3.​ 求 解: = 4.​ 求函数 在 内的间断点,并判断其类型. 解: 在 内的间断点有: , , , 因为 不存在, 所以 , 是 的第一类(可去)间断点; , 是 的第二类间断点. 5.​ 设 ,(1)求 ;(2)当 连续时,求 的值. 解:(1) (2) 连续 . 高等数学题库(7) 连续函数的性质 一.计算下列极限: 1. 解:原式= = = 2. 解:原式= = = 3. 解:原式= = 4. 解:原式= = = 5. 解:原式= = = 6. 解:令 ,得 ,当 原式= = = = 二.证明方程 至少有一个不超过 的正根(其中 ). 证明:设 ,则 在 上连续. 又 , . 若 ,则结论成立. 若 ,则由零点定理 . 三.设 在 上连续,且 ,证明:至少存在一点 ,使得 . 证明:设 ,则 在 上连续. 又 , 若 ,则结论成立. 若 ,则由零点定理 . 四.设 在 上连续,且 ,又存在 使 .证明 在 上有最大值. 证明:取 , 当 时, . 即 当 时, . , 当 时, . 即 当 时, . 若 , 为最大值 . 若 , 在 上连续,必有最大值. , . 在 上 取得最大值 . 高等数学题库(8) 导数的概念 1.​ 选择题: 1.​ 设f′ (x)存在,a为常数,则 等于(C). (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) ; (D) . 2. 在抛物线 上,与抛物线上横坐标 和 的两点连线平行的切线方程 是(B). (A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0. 3. 将一个物体铅直上抛,设经过时间t秒后,物体上升的高度为 ,则物体 在3秒时的瞬时速度为(B). (A) ; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) . 4. 若函数 在x=0处 (B). (A) 连续且可导; (B)连续,不可导; (C)不连续; (D)都不是. 二.设函数 在处x=1可导,求a和b. 解: 在x=1处可导 在x=1处连续,可得 即 (1) 又 在x=1处可导, 可得 即 (2) 由(1),(2)得 , . 三.设 ,求 . 解: , 由幂函数的导数公式可得 . 四.已知 ,求 .(提示:分段点x=0处的导数用导数的定义求) 解: 当x=0时, 令 , ; . 所以 五.设f(x)在 上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是: 为奇函数(充分性的证明用到不定积分的概念,只证必要性). 证明: 对于 则有 依题意 令 有 ; ; 为偶函数 高等数学题库(9) 求导法与复合函数求导 1.​ 填空题: 1.​ 曲线 与x轴交点的切线方程是 . 2.​ 曲线 在横坐标x=0点处的切线方程是 ,法线方程是 . 3.​ 设 ,则 . 4.​ 设 ,则 . 5.​ 设 ,则 . 2.​ 求下列函数的导数. 1.​  . 解: . 2.​  . 解: . 3.​  . 解: . 4.​  . 解: . 5.​  . 解: . 三.求导数: 1.​  ,求 . 解: . 2.​  ,求 . 解: . 3.​  ,求 . 解: . 四.已知 , ,求 . 解: 令 ,则 . 高等数学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数 1.​ 求下列函数的导数: 1.​  . 解: . 2. . 解: . 3. . 解: . 4. . 解: . 5. . 解: . 1.​ 求下列函数的二阶导数: 2.​  . 解: , . 3.​  . 解: , . 4.​  . 解: , . 2.​ 求函数 的n阶导数. 解: , , , , 一般地,可得 . 3.​ 设 ,其中 在点a的邻域内连续,求 . 解: . 在点a的邻域内连续 . . 高等数学题库(11) 隐函数求导法 1.​ 求由下列方程所确定的隐函数y的导数 . 1.​  . 解: , 即 其中y是由方程 所确定的隐函数. 2.​  . 解: , 即 . 其中y是由方程 所确定的隐函数. 3.​  . 解: , 即 . 其中y是由方程 所确定的隐函数. 2.​ 用对数函数求导法求下列函数的导数 : 1.​  . 解: 先两边取对数(假定 . ) 得 . 则 . . 当 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2.​  . 解: 先两边取对数(假定 ) 得 . 对上式两边对 求导,得 . 即 . 当 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 3.​ 求下列函数的二阶导数 . 1.​  . 解: , . 2.​ 已知 这里 存在且不为零. 解: 存在且不为零 , . 4.​ 设 ,证明y=y(x)在t=0时 存在,并求其值. 证明: 原方程可化为 . 当 时 , 高等数学题库(12) 微分 1.​ 选择题: 1.​ 已知 ,则dy等于(C). (A) 2tgxdx ; (B) ; (C) ; (D) . 2.​ 一元函数连续是可导的(A);一元函数可导是可微的(C). (A)必要条件; (B)充分条件; (C)充要条件; (D)既非充分条件又非必要条件. 2.​ 函数 不可微点的个数是(B). (A) 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二.填空题: 1.​ 已知函数 在点x处的自变量的增量 ,对应的函数增量 的线性主部是 ,那末自变量的始值为 . 2.​  ,则 . 3. ; ; ; . 3.​ 利用微分求近似值: . 解: . 这里 较小应用(p150)(2)式,得 . 4.​ 已知测量球的直径D时有1%的相对误差,问用公式 计算球的体积时,相对误差有多少? 解: 我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量 ,那么,利用公式 来计算V时所产生的误差就是函数V的对应增量 .当 很小时,可以利用微分 近似地代替增量 ,即 . 其相对误差 . 5.​ 求由方程 所确定的隐函数s在t=0处的微分 . 解: 对方程两边关于t求导,得 . 当 t=0时, 得 . 又对原方程, 当 t=0时, 得 即 s=1. 高等数学题库(13)中值定理 一.选择题: 1.下列函数中,满足罗尔定理条件的是(B). (A) (B) (C) (D) 2.对于函数 ,在区间 上满足拉格朗日中值定理的点 是(A). (A) ; (B) ; (C) ; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式: .(注意:对 处的讨论) 证:令 当 时, (C为常数). 特别地,取 ,则求得 当 时, 当 时, 当 时, 三. 设 ,证明: . 证:设 ,在 上利用拉格朗日中值定理,有: . 四. 证明:不论b取何值,方程 在区间 上至多有一个实根. 证:反证法.设 ,且在区间 上有两个以上实根,其中两个分别记为 ,不妨设 ,则 ,由罗尔定理,在 内至少有一点 ,使 . 而 在 内恒小于0,矛盾.命题成立. 五. 构造辅助函数,证明不等式 . 证:设 ,则在区间 上, , 根据拉格朗日中值定理,在 内至少存在一点 使 即 又 即 六. 设函数 和 在 上存在二阶导数,且 ,证明 (1)​ 在(a,b)内 ; (2)​ 在(a,b)内至少存在一点 ,使 . 证:(1)反证法.设(a,b)内存在一点 使 ,则在 上有g(a)=g(x1)=0,由罗尔定理知在(a,x1)内至少存在一点ξ1使 (ξ1)=0. 同理在(x1,b)内也至少存在一点ξ2使 (ξ2)=0. ∵ (ξ1)= (ξ2)=0 ∴由罗尔定理,在(ξ1,ξ2)内至少存在一点 使 ,这与 矛盾,故在 内 . (3)​ 令 由题设条件可知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知,存在 使得 即 由于 ,故 . 高等数学题库(14)罗必塔法则 泰勒公式 一. 求下列极限: 1. 解:原式= 2. 解:原式= = = 3. 解:原式= =1 4. 解:令 ,则 ∴ y=e0=1 5. 解:原式= 二. 求函数f(x)=xex的n阶麦克劳林公式. 解:f(0)=0,f’(x)=(x+1)ex,f’’(x)=(x+2)ex,…,f(n)(x)=(x+n)ex. ∴ 三.利用泰勒公式求极限 并指出下列做法的错误之处. 解:当 时, 利用等价无穷小代换有: 原式= . 更正:上述解法的错误在于:分母为三阶无穷小量,而分子只保留了一阶无穷小量. sinx、tgx分别在x0=0处的三阶泰勒公式为: 四.应用三阶泰勒公式求 的近似值. 解: 在 处的三阶泰勒公式为: 五.证明:当 时, . 证:将tgx在x0=0处展开三阶泰勒公式,得: 而 ∴命题得证. 六.设 在 上二次可微,且对任意 ,有 又 = .证 明: . 证:对 分别将 在 处展开一阶泰勒公式: 两式相减得: = 当 时, ∴ 当 时, 因此, . 高等数学题库(15)函数的单调性 一. 填空题: 1.函数y=(x-1)(x+1)3在区间 内单调减少,在区间 内单调增加. 2.函数 (a>0)在区间 内单调增加,在区间 内单 调减少. 3.函数 在区间 内单调增加,在区间(-1, 3)内单调减少. 4. 函数 在区间(0.5,1)内单调增加,在区间 内单调减少. 二. 证明下列不等式: 1. 当 时, . 证:令 ,则 . , ,显然,当 时, 在区间 内单调增加. 又 在区间 内恒大于零. 又 在区间 内大于零. 即当 时, 即 . 2. 当 时, . 证:令 显然,当 时, 在 内单调增加.又 =0 在 内大于零. 在 内单调增加.而 =0 在 内恒大于零. 即当 时, 即 3. 当 时, 证:令 ,则 . 令 ,则 . 在此区间内单调减少. 在此区间内也单调减少. 而 在 内小于0. 在 内单调减少. ∴ 在区间的两端取得极大极小值. 即 三. 证明方程sinx=x只有一个根. 证:令 ,则 . 在 内单调减少. ∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 有且只有一个根. 即方程sinx=x只有一个根. 高等数学题库(16)函数的极值 一. 填空题: 1. 函数 在 处取得极小值. 2. 已知函数 当 -1或5时,y=0为极小值;当x=0.5时, y= 为极大值. 3.已知 在x=1处有极值-2,则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2; 极小值为-2. 二. 求下列函数的极值: 1. 解: 令 得三驻点: . 当 时, ,当 时, . 处为非极值点. 当 时, 取得极大值,其值为0. 当 时, ,取得极小值,其值为-13.5. 2. 解: ,令 ,得驻点 (k为整数). ∴当 时, x在该处取得极大值,其值为 当 时, x在该处取得极小值,其值为 三. 试问a为何值时,函数 在 处取得极值?它是极 大值还是极小值?并求出此极值. 解: ,令 ,则 即 时 取得极值. 在 处取得极大值,其值为 . 四. 设 , 为实数,且 (1) 求函数的极值. (2) 求方程 有三个实根的条件. 解:(1) ,令 得 ,而 处取得极小值,其值为 处取得极大值,其值为 (2)由上述的讨论我们可以看出, 仅有 三个单调区间,由介值定理及区间 单调性知:方程要有三个实根,必须满足在这三个单调区间上各 有一个实根,也就是说,极小值应小于或等于0同时极大值应大 于或等于0(等于0时含重根).即 即当 时,方程有三个实根. 五. 一个无盖的圆柱形大桶,已规定体积为V,要使其表面积为最小,问圆 柱的底半径及高应是多少? 解:设圆柱的底半径为R,高为h,则 , 则 六. 设 在 上二阶可微, ,且 .证明存在 ,使得 . 证:将 在x取得极大值处展开一阶泰勒公式(设此时 ) , , ,两式相加得: 令 ,则 高等数学题库 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐点 一、求下列函数的最大值和最小值: 1. 函数在所给区间内可导,因此可令 解得 而 所以函数在区间 上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. 函数在所给区间内可导,因此可令 解得 而 所以函数在区间 上的最大值、最小值分别为-47和-15. 二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成怎样的长 方形才能使这间小屋的面积最大? 解: 设宽为 米,则长为 米,因此,面积为 显然,当 时,面积取最大值50 . 三、求数项 中的最大项. 解: 令 则 解得唯一驻点, ,并且 在区间 上单调递增,在区间 上单 调递减,而 所以数项 中的最大项为 . 四、求下列函数的凹凸区间与拐点: 1. 解: 函数在定义域 内阶导数存在,并且 因此,当 时, ,曲线为凸的,当 时, ,曲 线为凹的,点 是曲线的拐点. 2. 解: 函数在定义域 内阶导数存在,并且 因此,当 时, ,曲线为凸的,当 时, ,曲线 为凹的,当 时, ,曲线为凸的,点 是曲线的拐点. 五、证明 有三个拐点位于同一直线上. 证明:用Mathematic画图(命令为 ) 函数在定义域 内二阶导数存在,并且 令 ,解得, 因此,当 时, ,曲线为凸的,当 时, , 曲线为凹的,当 时, ,曲线为凸的,当 时, ,曲线为凹的,所以曲线有三个拐点 . 并且 所以三个拐点在同一条直线上. 高等数学题库 (18) 函数图形的描绘 曲率 一、作下列函数的图形(要求列表之后再画图): 1. 解:函数在定义域 内二阶导数存在,并且 令 ,解得, 0 1 - - - 0 + + + 0 - - - - 0 + + + 0 - - - 0 + 图形 ↘ 拐点 极大 拐点 ↗ 极小 ↘ 拐点 2. 解:函数在定义域 内二阶导数存在,并且 令 ,解得, 1 - 0 + + + 0 + + + + 0 - 0 + 图形 极小 拐点 ↗ 拐点,不是极值点 二、求抛物线 在顶点处的曲率和曲率半径. 解: 顶点处 ,所以 三、求一条抛物线使之与曲线 在 处相切,且在切点处有相同的曲率和凹向. 解:设抛物线的方程为 ,则 函数 和 在 处有相同的函数值、一阶和二阶导数,因此 , , 即抛物线的方程为 四、求曲线 的一条切线 ,使该曲线与切线 及直线 所围成的平面图 形的面积最小. 解: 设切点的坐标为 ,则切线的斜率为 ,所以切线方程为 当 时, 当 时, , 所以,三角形的面积为 令 解得 即当 时,三角形的面积最小,从而该曲线与切线 及直线 所围成的 平面图形的面积最小,此时切线方程为: 高等数学题库(19)不定积分 一.是非题: 1. ( F ) 2. ( F ) 3. 已知 则 ( F ) 4. 是同一个函数的原函数 ( T ). 二.填空: 1. . 2. . 3. . 4. 5. . 6. 设 ,则 . 7. 已知曲线通过点(e,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,则曲线方程为. 三.求下列不定积分 1. 解: 2. . 解: . 3. . 解: 4. . 解: 5. 解: . 四.已知 且f(0)=0求f(x). 解: 又由于 在x=0可导,则f(x)在x=0连续, 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得: 高等数学题库(20)换元积分 一.填空: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 二.计算不定积分: 1. . 解: . 2. 解: 6. 解: . 7. 解: 8. 解: . 高等数学题库(21) 分部积分法 一.填空题: 1.设 则 . 2. . 3.若 的原函数为 ,则 . 二.求下列不定积分: 1. 解: = ] = .所以, 原式= . 2. . 解: = . 3. . 解: = = = . 4. . 解: = = = = 5. . 解: = = = . 6. . 解: = = = . 高等数学题库(22) 几种特殊类型函数的积分 一.​ 求下列有理函数的不定积分: 1. . 解: = = . 2. . 解: , 比较系数得: = = = = . 二.求下列三角有理式的不定积分: 1. . 解:令 则 = = . 2. . 解: = = = = . 3. . 解: = = = = = = 所以,2 = = 即: = 三.求下列无理函数的不定积分: 1. . 解: = 令 , 则 ; . 于是 = 故 = = = . 2. . 解:令 则: = = 四.计算积分 . 解法一: = = = = = . 解法二: = = = = = 注:解法二中积分 亦可用万能代换法(令: 求取. 五.计算积分 . 解: = + = = = = 或: = = 所以: = 高等数学题库(23)定积分 1.​ 判断题: 1.​ 若 在 上可积,则 在 上必连续. (F) 2.​ 若 在 连续,则 必定存在. (F) 3.​ 若 包含于 ,则必有 ≥ (F) 二.填空:(用≥号或≤号) 1. ≥ . 2. ≤ . 3. ≤ . 4. ≤ . 三.估计下列定积分的值: 1. 解: ≤ ≤ ≤ ≤ . 2. 解:设 显然 在 单调减, ≤ ≤ , 因此 ≤ ≤ . 四.利用定积分的几何意义及其性质,求定积分 的值(要说明理由). 解:上述定积分表示曲线 ,两直线 ,与 轴所围曲边梯形的面 积,而曲边梯形的以原点为圆心,半径为2 的圆在第一象限的部分,其面积 故定积分的值等于 五.已知 求 ]. 解: ≤ ≤ 由于 同理 六.已知 在[ 上连续,且 .求 解:设 由条件知 存在 所以 原式 高等数学题库(24)广义积分 1.​ 填空题: 1. 0 2. 3. 4.已知 > ,则 5. 6. 7. 2.​ 计算题: 1.​ 求 解:原式 2.​ 设 求 解: 3.​ 求 解: 时 ≥0, 0≤ ≤ ≤ ≤ 由于 故 注:利用介值定理或定积分中值定理也可求得结果. 4.​ 设 在 上连续,且单调增加,证明 ≥ 证:令 由于 单调增,当 < < 时, > >0, 在 单调增,故 > 即 ≥ 高等数学题库(25)定积分的换元法 一.下列定积分所使用的变量代换是否正确? 1. (no) 2. (no) 3. (yes) 二.下列等式是否正确? 1. (yes) 2. (yes) 3. (yes) 三.计算下列定积分: 1. . 解:原式= ( ) 令 2. . 解:令 则 且 当 时 当 时 于是 3. . 4. 解:设 且 当 时 当 时 于是 四.证明:设 是以 为周期的连续函数,则 的值与 无关 五.设 )连续.求 高等数学题库(26)定积分的分部积分法 一.填空题: 1.设 则 2.已知 则 二.计算下列定积分: 1. 解:设 则 由分部积分公式,得 2. 解:设 则 由分部积分公式,得 3. 解:设 则 由分部积分公式,得 4. 解:原式= 5. 三.设 在 上连续,且对一切 有 求 解:由题设: 则 又 高等数学题库(29) 运用定积分求体积及平面曲线的弧长 一、用定积分表示下列各题中的体积: 1.​ 把抛物线 及直线 所围成的图形绕轴旋转,所得旋转体的体积V= 2.​ 由 所围成图形 a)​ 绕x轴旋转,所得旋转体的体积 b)​ 绕y轴旋转,所得旋转体的体积 3.​ 把星形线 绕X轴旋转,所得旋转体的体积 二、用定积分表示下列各题中的弧长: 1.​ 曲线 上相应与 的一段弧长s= 2.​ 曲线 自 至 的一段弧长s= 三、求曲线所围成的图形绕轴旋转所生成的旋转题的体积. 解: 四、求心形线的全长 解: 五、计算底面时半径为的圆,而垂直与底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体的体积. 解:设直径在X轴上有 高等数学题库(30)定积分在物理、力学上的应用 一、填空(用定积分表示下列各题中的量): 1.由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力F(单位:公斤)与伸长量S(单位:厘米) 成正比,即F=kS(k为比例常数).如果把弹簧由原长拉伸6厘米,所作的功W= 2. 把质量为m的物体从地球表面升高到h处,所作的功W= (R为地球半径,k 为引力常数,M为地球质量) 3.一物体以速度 (米/秒)作直线运动,它在t=o到t=3秒一段时间内的平均 速度 二、直径为20厘米,高为80厘米的圆柱体内充满了压强为10公斤/平方厘米的蒸汽,设 温度保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功? 解:由W= (公斤.厘米) 在[0,40]内,任取[x,dx] 因为 所以 (焦耳) 三、设一锥形贮水池,深15米,口径20米,盛满水.今以唧筒将水吸尽,问要作多少功? 解:如图… 又: 则 (千焦) 四、一底为8厘米,高为6厘米的等腰三角形片,铅直地沉没在水中,顶在上,底在下且 与水面平行,而顶面离水面3厘米,试求它每面所受的压力. 解:在[3,9]上任取 ,压强为 又
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页数:62
分类:理学
上传时间:2011-04-13
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