第9章_圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计

1 第第 99 章章 圆圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力变变形形分分析析与与 强强度度刚刚度度设设计计 2 工程力学学习指导 第第 99 章章 圆圆轴轴扭扭转转时时的的应应力力变变形形分分析析 与与强强度度刚刚度度设设计计 9.1 教学要求与学习目标 1. 正确理解关于切应力的基本概念： 1) 切应力与切应变的定义； 2) 弹性范围内的切应力与切应变之间的关系——广义胡克定律； 3) 切应力互等定理。 1. 正确理解圆轴扭转时受力与变形的特点；掌握分析圆轴扭 转时横截面上的切应力分析方法；正确理解和应用圆轴扭转时横 截面上的切应力公式与相对扭转角公式，注意公式的应用条件。 3. 正确理解圆轴扭转的强度设计准则与刚度设计准则，并能 正确应用其解决圆轴的强度与刚度问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 4. 会解决简单的扭转超静定问题。 8.2 理 论 要 点 8.2.1圆轴扭转时的应力变形计算公式 根据平衡条件，只能求得截面上的扭矩 Mx，它是截面上切应力分布力系的 合力。因此，只知道 Mx 还不能确定截面上各点切应力的大小。这就是应力分析 的超静定性质。为了确定截面上的切应力计算公式，必须应用变形协调、物性 关系、静力学方程等三方面的条件。 1. 扭转时的变形几何关系 圆轴受扭时，其 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面的正方形网格发生剪切变形，但不发生轴向的伸长或 缩短。且圆周线亦保持不变。根据表面的变形情况，作出圆轴扭转时的“平面 假定”，即：横截面变形前为平面，变形后仍保持平面，只是相对转过一角度。 由此，得到自表面至中心切应变的变化规律 3 ( ) x ϕγ ρ ρ d＝ d 上式表明切应变γ与到截面中心的距离ρ成正比。 2. 切应力与切应变之间的物性理关系 在弹性范围内，根据剪切胡克定律，到截面中心距离为ρ处的切应力与切 应变之间存在正比关系，即 Gτ γ＝ 3. 圆轴扭转时横截面上的切应力分布 由上述二式得到 ( ) G x ϕτ ρ ρ d＝ d 这表明切应力亦与到截面中心的距离成正比。即截面上的切应力沿半径方向线 性分布，截面中心处为零；截面外沿最大。 4. 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式 因为横截面上切应力分布力系的合力即为该截面上的扭矩，所以有静力学 方程 ( ) x A A Mτ ρ ρ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ d ＝ 综合应用上述三方面的结果，得到圆轴扭转时的应力、变形公式 P xM x GI ϕd ＝d ( ) P xM I ρτ ρ ＝ 式中，Mx 为圆轴截横面上的扭矩，由平衡条件求得；ρ为截面上要求切应力的 点到截面中心的距离；IP为横截面的极惯性矩；G 为圆轴材料的切变模量；G IP 为圆轴的扭转刚度。 5. 圆轴扭转时横截面上的最大切应力计算式 max P xM W τ ＝ 式中，WP为扭转截面模量。 8.2.2与圆轴扭转应力、变形公式有关的几何性质 1. 实心圆截面的极惯性矩与扭转截面模量 4 3 P P π π 32 16 ,d dI W＝ ＝ 4 2. 空心圆截面的极惯性矩与扭转截面模量 ( ) ( )4 34 4P Pπ π1 132 16,D DI Wα α＝ － ＝ － 8.2.3圆轴扭转时的强度设计准则与刚度设计准则 1. 扭转强度设计 与弯曲强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根据扭矩图和横截面的 尺寸判断可能的危险截面；然后根据危险截面上的应力分布确定危险点（即最 大切应力作用点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。 圆轴扭转时的强度设计准则为 [ ]ττ ≤max 式中， [ ]τ 为许用切应力。 对于脆性材料， [ ] b b n ττ＝ 对于韧性材料， [ ] s s n ττ＝ 上述各式中，许用切应力与许用正应力之间存在一定的关系。 对于脆性材料， [ ]τ ＝ [ ]σ 对于韧性材料 [ ]τ ＝(0.5∼0.577) [ ]σ 如果设计中不能提供 [ ]τ 值时，可根据上述关系由 [ ]σ 值求得 [ ]τ 值。 2. 扭转刚度设计 扭转刚度计算是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使 构件满足刚度设计准则： [ ]d dx ϕθ θ≤＝ 其中单位长度上的相对扭转角 P d d xM x GI ϕθ＝ ＝ 5 式中的 [ ]θ 称为单位长度上的许用相对扭转角，其数值视轴的工作条件而定：用 于精密机械的轴 [ ]θ ＝(0.25~0.5) (°)／m；一般传动轴 [ ]θ ＝(0.5~1.0) (°)／m；刚度 要求不高的轴 [ ]θ ＝2 °／m。 刚度设计中要注意单位的一致性。刚度条件中不等号左边 Pd d GI M x x＝＝ ϕθ 的单 位为 rad/m；而右边通常所用的单位为(°)／m。因此，在实际设计中，若不等式 两边均采用 rad／m，则必须在不等式右边乘以（π／180）；若两边均采用(°)／ m，则必须在左边乘以（180／π）。 9.3 学 习 建 议 1. 注意扭转切应力公式中各项的含义以及确定方法；注意 公式的应用条件。 2. 计算圆轴扭转应力、变形时以及进行强度和刚度计算需 要注意的几个问题 ● 必须注意应力和变形公式的应用条件 上述应力、变形公式都只适用圆轴在弹性范围内的扭转。对于非圆截面以 及超过弹性范围的扭转，横截面的切应力均为非线性分布，因而应力、变形计 算公式都因此而异。 ● 正确确定扭矩 Mx和极惯性矩 IP的数值 上述公式中的 IP 是整个截面对其中心的极惯性矩，而与所求应力的点的位 置无关。Mx 是截面上的扭矩，它是内力而不是外力。当轴上只在两端承受外力 偶时，扭矩与其大小相等；当轴上有两个以上外力偶作用时，则必须应用截面 法和平衡条件确定所要求的截面上的扭矩，切不可将外力偶矩直接代入应力公 式进行计算。 ● 正确判断扭转切应力的方向 圆轴扭横转时截面上的切应力分布力系的合力即为其上的扭矩，因此，根 据平衡条件可以由外力矩的方向确定扭矩的方向（方向相反），再根据力系与其 合力的关系，即可由扭矩方向判断切应力的方向（方向相同）。 ● 刚度计算时需要注意刚度条件中不等号两侧的计量单位保持 一致 6 9.4 例 题 示 范 1. 应力与变形计算 【例题 9-1】图 9-1a 所示圆轴的直径 d＝100 mm，长度为 2l，l＝500 mm。 B、C 两处承受外力偶分别为 Me1＝7000 N·m，Me2＝5000 N·m。若材料之剪切 弹性模量为 G＝82 GPa。 求：1．试作轴的扭矩图。 2．求轴的最大剪应力，并指出其所在位置。 3．求 C 截面对 A 截面的相对扭转角。 解：1．画扭矩图 根据上例中所述之方法可画出扭矩图如图 9-1b 所示。从图中可以看出，最 大扭矩发生在 BC 段的各个截面上，其数值为 5000 N·m（正负号只决定扭矩方 向）。 2．确定最大剪应力 最大剪应力发生在 BC 段各截面的周边上，如图 9-1c 所示。其值为 6maxmax 3 p 5000 16 25.5 10 Pa=25.5 MPa 0.1 xM W τ π ×= = = ×× 3．计算相对扭转角 根据 pd d xx M GJϕ =/ / ，这是单位长度的扭转角，相距 dx 的两个截面的扭 转角为 pd dxM x GJϕ = / 。在 AB 和 BC 中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截 面（A 和 B，B 和 C）的相对扭转角为 pxM l GJϕ = / 。但二者是反向的。于是 C 截面相对于 A 截面的相对扭转角为 图 9-1 例题 9-1 图 7 ( )( ) ( ) ( ) ( ) p p p = =x CB x BAC A C B B A x CB x BA M l M l l M M GJ GJ GJ ϕ ϕ ϕ− − −= + + + ( )10 4 3 3 0.5 32= 5000 2000 8.2 10 0.1 180= 1.86 10 1.86 10 π = 0.107 π − − × − +× × × − × = − × × − D D 弧度 负号表示 C Aϕ − 的方向与 Mx (C－B)的方向一致。 【例题 9-2】图 9-2a 所示之钢制空心圆轴，其外径 D＝80mm，内径 d＝62.5 mm，两端承受外力矩 Me＝1000 N·m。若已知材料之 G＝82 GPa。 求：1．试作横截面上的剪应力分布图。 2．求最大剪应力及单位长度上的相对扭转角。 解：1．应力分布图 空心轴与实心轴相似，截面上的剪应力沿半径方向也是线性分布的，且在截 面中心为零，边界上为最大值。由此，作出剪应力分布图如图 9-2b 所示。 2．最大剪应力与单位长度相对扭转角 e e max 3 4 p 16 (1 ) M M W D τ π α ×= = − 4 3 6 1000 16 = 62.5 π 0.08 1 80 =15.9 10 Pa=15.9MPa × ⎡ ⎤⎛ ⎞× −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ × e e 4 4 p 32d d π [1 ] M M x GJ G D ϕθ α= = = − a) b) 图 9-2 例题 9-2 图 8 4 10 4 32 1000 62.5 π 8.2 10 0.08 1 80 ×= ⎡ ⎤⎛ ⎞× × × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 1800.483 10 / m 0.483 10 0.277 / m π − −= × = × × = D D弧度 【例题 9-3】图 9-3 所示为一镗孔装置，刀杆端部装有两把镗刀。若已知满 负荷下消耗功率为 6 kW，转速为 60 r／min 。 求：满负荷时镗刀杆内的最大剪应力。 解：根据功率和转速可以算得镗刀杆上所承受的外力矩 e 69549 9549 954.9 N m 60 PM n = = × = ⋅ 根据平衡条件，镗刀杆横截面上的扭矩为 e 954.9 N mxM M= = ⋅ 于是，杆内最大剪应力 3 max 3 p 954.9 16 22.52 10 Pa=22.52 kPa π 0.6 xM W τ ×= = = ×× 【例题 9-4】 圆轴直径 d＝50 mm，转速 n＝120 r／min。若该轴的最大剪 应力等于 60 MPa。 求：该轴所传递的功率是多大（用千瓦表示）。 解：在已知条件下，轴的横截面上的扭矩等于轴上所承受的外力矩，即 e 9549x PM M n = = 由此，得 9549 xnMP = 式中，Mx由 max pxM Wτ = / 求得，即 max pxM Wτ= 图 9-3 例题 9-3 图 9 于是 7 3 max p 120 6 10 π 0.05 18.5 9549 16 9549 n W P τ × × × ×= = =× kW 2. 强度计算与刚度计算 【例题 9-5】钢制空心圆轴的外径 D＝100 mm，内径 d＝50mm。若要求轴 在 2m 内的最大扭转角不超过 1.5o，材料剪切弹性模量 G＝82 GPa。 求：1．该轴所能承受的最大扭矩。 2．此时轴内的最大剪应力。 解：1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据 [ ] p xM GI θ θ= ≤ 由已知条件知，允许的θ 值为 1.5 π1.5 / 2m rad / m 180 2 θ ×= = × D 于是 p 1.5π 180 2 xM GI ≤ × 由于 4 4π (1 ) 1.5π 32 180 2x G DM α−= × × 4 2 4 10 3 501.5 π 0.1 1 8.2 10 100 32 180 2 9.87 10 N m ⎡ ⎤⎛ ⎞× × − × ×⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= × × = × ⋅ 2．最大剪应力 3 6 max 3 4 p 9.87 10 16 53.6 10 Pa=53.6 MPa π 0.1 (1 0.5 ) xM W τ × ×= = = ×× − 【例题 9-6】 图 9-4 所示之传动机构中，AB 轴的转速 n1＝120 r／min，从 B 轮上输入功率 P＝14 kW，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴 C，另一半 传给水平轴 H。若锥齿轮 A 和 D 的齿数分别为 36 和 12。各轴的直径分别为 d1 ＝70 mm，d2＝35 mm，d3＝50 mm。轴之许用剪应力[ ]τ ＝30 MPa。试对各轴 进行强度校核。 10 解：1．首先计算各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为 1 2 314 kW 14 / 2 7 kWP P P= = = =， 各轴的转速分别为 n1=n2=120 r/min 1 2 12 1 2 1 2 36, 120 360 r/min 12 n z zn n n z z = = = × = 于是各轴所受的扭矩分别为 11 1 1 149549 9549 1114N m 120x e PM M n = = = × = ⋅ 22 2 2 79549 9549 186N m 360x e PM M n = = = × = ⋅ 33 3 3 79549 9549 557N m 120x e PM M n = = = × = ⋅ 2．强度校核 第一轴，即 AB 轴 [ ] 1 61 max 3 p 16 1114 16.5 10 Pa 16.5 MPa π 0.07 xM W τ τ×= = = × = <× 第二轴，即 C 轴 [ ] 2 62 max 3 p 16 186 22.1 10 Pa 22.1 MPa π 0.035 xM W τ τ×= = = × = <× 第三轴，即 H 轴 [ ] 3 63 max 3 p 16 557 22.7 10 Pa 22.7 MPa π 0.05 xM W τ τ×= = = × = <× 所以各轴的强度都是满足的。 图 9-4 例题 9-6 图 11 【例题 9-7】机械设计中，在初步估算转轴直径时，常采用扭转时的强度和 刚度条件得到下式 3 Pd A n ≥ ， 4 Pd B n ≥ 其中 P 为转轴传递的功率（kW），n 为轴之转速（r／min）。 1．试推证上述公式，并写出 A、B 的表达式。 2．对于 45 号钢，若已知 A＝110 mm，B＝109 mm，材料之 G＝81GPa， 求[ ]τ 与［θ ］。 解：1．根据强度条件 [ ]max 3 p 16 9549 π x P M n W d τ τ × = = ≤ 由此解得 [ ] 3 33 16 9549 π P Pd A n nτ ×≥ = 其中 [ ]3 16 9549 π A τ ×= 式中若［τ ］之单位为 Pa，则 A 之单位为 m。 根据刚度条件 [ ]4 p 32 9549 π x P M n GI G d θ θ × = = ≤× 解得 [ ] 4 44 32 9549 π P Pd B G n nθ ×≥ =× × 其中 [ ]4 32 9549 π B G θ ×= × × 式中 G 之单位为 Pa，［θ ］的单位为弧度/m，则 B 之单位为 m。 2．确定［τ ］和［θ ］的值 将 A＝110 mm＝0.11m，和 B＝109 mm＝0.109 m，分别代入上述之 A、B 表达式，便得到到［τ ］和［θ ］的值。 由 A 之表达式，得 12 [ ]3 3 16 9549 0.11A π τ ×= = 解之得 [ ] 6616 9549 36.6 10 Pa 36.6 MPaπ 1330 10τ − ×= = × =× × 由 B 之表达式，得 [ ]4 4 32 9549 0.109 π B G θ ×= = 解之得 [ ] 310 4 3 32 9549 8.5 10 rad/m 8.1 10 π 0.109 180 =8.5 10 0.5 / m π θ − − ×= = ×× × × × × = D 【例题 9-8】 图 9-5 所示为钻探机钻杆。已知钻杆的外径 D＝60 mm，内径 d＝50 mm，功率 P＝10 马力，转速 n＝180 r／min。钻杆钻人地层深度 l＝40 m， G＝81 GPa，［τ ］＝40 MPa。假定地层对钻杆的阻力矩沿长度均匀分布。试求： 1．地层对钻杆单位长度上的阻力矩 Me。 2．作钻杆之扭矩图，井进行强度校核。 3．求 A、B 两截面之相对扭转角。 解：1．计算钻杆单位长度上受到地层的阻力矩 钻杆上所承受的总外力矩为 e 107024 7024 390 N m 180 PM n = × = × = ⋅ 因为地层对钻杆的阻力矩沿杆长方向均匀分布，所以地层对钻杆单位长度上 的扭力矩为 a) b) 图 9-5 例题 9-8 图 13 e e 390 9.756 N m/m 40 Mm l = = = ⋅ 2．强度校核 因为自 B 至 A 外力矩均匀分布，因此距 B 端 x 处任意截面上的扭矩为 ( )e eM x m x= − 由此，可以作出钻杆之扭矩图如图 9-6b 所示。钻杆内最大扭矩 max 400 N meM = ⋅ 于是杆内的最大剪应力 ( ) emax max 433p 3 3 6 390 16 50 10 π 60 10 1 60 10 =17.75 10 Pa=17.75 MPa M W τ − − − ×= = ⎡ ⎤⎛ ⎞×× × −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ × 所以钻杆的强度是满足的。 3．计算 A、B两端的相对扭转角 根据 e p d d M x GI ϕ = 现在 e e e( )M M x m x= = − 于是将上式积分得到 ( ) 2 e e e p p p0 4349 3 3 d 2 2 400 40 32 = 0.146 rad 50 102 81 10 π 60 10 1 60 10 180 = 0.146 8.37 π l AB m x m l M lx GI GI GI ϕ − − − = = = × × =⎡ ⎤⎛ ⎞×× × × × × −⎢ ⎥⎜ ⎟×⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ − × = − ∫ D D 【例题 9-9】实心轴（图 9-6a）与空心轴（图 9-6b）通过牙嵌离合器相联， 已知轴的转速 n＝100 r/min，传递的功率 P＝7.5 kW，材料之[ ]τ ＝40 MPa。若 实心轴直径为 d1，空心轴内径与外径之比 d2/D2=0.5。 14 求：d2 与 D2，并比较实心轴与空心轴的横截面积之比。 解：实心轴与空心轴所承受的扭矩相等，其大小为 e 7.59549 9549 716 N m 100x PM M n = = = × = ⋅ 对于实心轴，其强度条件为 e max 3 1 [ ] π 16 M d τ τ= ≤ 解得 -3e 331 6 16 16 716 45 10 m 45mm π[ ] π 40 10 Md τ × ×≥ = = × =× × 对于空心轴，其强度条件为 e max 3 4 2 [ ] π (1 ) 16 M D τ τα= ≤− 由此得 3e3 32 4 4 6 16 16 716 =46 10 m=46mm π(1 )[ ] π (1 0.5 ) 40 10 MD α τ −× ×≥ = ×− × − × × 2 20.5 23 mmd D= = 实心轴与空心轴之横截面积比为 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.785 0.785 (1 ) (1 ) 45 1 = 1.28 46 (1 0.5 ) A d d A D Dα α= =− − ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ 可见采用空心轴所用的材料要比实心轴少一些。 a) b) 图 9-6 例题 9-9 图 15 3. 扭转超静定问题 【例题 9-10】 图 9-7a 所示之两端（A、B）固定的圆杆，直径 d＝80 mm， C 处承受外力偶 Me＝12000 N·m。试求：固定端截面上的扭矩与杆内最大剪应 力。 解：设 A、B 两端所受的约束扭力矩分别为 MeA和 MeB,（图 9-7b），则根据 平衡条件 0xM =∑ 得到 e e eA BM M M+ = (a) 这一个平衡方程无法确定两个未知量，故为超静定问题。为了解出 MeA 和 MeB 还必须借助于变形和物理条件建立补充方程。 因为两端固定，所以 A、B 两个截面的相对扭转角为零，即 0AB AC CBϕ ϕ ϕ= + = (b) 这就是变形条件。其中 e p p e p p , 2 2 xAC A AC xCB B CB M a M a GJ GJ M a M a GJ GJ ϕ ϕ ⎫= = ⎪⎪⎬⋅ ⋅ ⎪= = − ⎪⎭ (c) 此即物理条件。 将式（c）代入式（b），得 e e p p 2 0A BM a M a GJ GJ ⋅ ⋅− = 由此解得 e e2A BM M= (d) 将其代入平衡方程（a），即可解得 a) b) 图 9-7 例题 9-10 图 16 e e e e 2 8000 N m 3 4000 N m 3 A B MM MM = = ⋅ = = ⋅ 于是，杆内最大扭矩发生在 AC 段，其值为 e e 2 3xAC A M M M= − = − 负号表示扭矩方向。杆内的最大剪应力 ( ) e max 3 p 6 33 2 16 3 π 2 12000 16 79 6 10 Pa 79 6 MPa 3 π 80 10 xABM M W d τ − ×= = × × ×= = × = × × × . . 【例题 9-11】两个长度相等的钢管松套在一起(图 9-8a)。外管外径与内径分 别为 D1＝100mm，d1＝90 mm；内管之外径与内径分别为 D2＝90 mm，d2＝80 mm。当内管承受扭矩 Mx＝2000 N·m 作用时，将两管的端部焊在一起，然后 去掉扭矩。问：此时管内将产生什么样的应力，画出组合管横截面上的应力分 布图，并计算最大应力的数值，说明其作用位置。 解：1. 分析： 当内管承受扭矩 Me 时，它的两个端截面要产生相对扭转角ϕ，若假定一端 不动，另一端截面则转过ϕ角。 如果内外管不焊在一起，当 Me除去时，则ϕ角亦因弹性变形而返回零。 当二者焊在一起后，再除去扭矩 Me，ϕ角也要返回一些，但因外管的约束， 它不能返回零，而处在某个位置，如图 9-8a 所示。这时不仅内管上有扭转变形 iϕ ， a) b) 图 9-8 例题 9-11 图 1—内管受扭前位置。2—内管受扭、焊接后位置。3—卸载后位置。 17 外管也因受到内管的作用而产生相反方向的扭转变形 oϕ 。 这样在内、外管截面上便产生大小相等而方向的扭矩 Mxi和 Mxo。因而在截 面将产生剪应力。因为是弹性范围内加载，所以剪应力依然遵循沿径向线性分 布的规律。由此可以作出组合管截面上的剪应力分布图，如图 9-8b 所示。 2. 计算 根据以上分析，这也是一种超静定问题。其平衡方程为 Mxi＝Mxo (a) Mxi与 Mxo 分别为内管和外管截面上的扭矩。 由图 9-8a 可以得到内外管变形关系为 ϕ ϕ ϕ+ =i o (b) 此即变形条件，其中ϕi 、ϕo 、ϕ均取绝对值，即 p xM l GI ϕ = ii i ， p xM l GI ϕ = oo o ， p x i M l GI ϕ = (c) 将式（a）、式（c）代入式（b）并消去 G、l 后，得到 i pi pi pi 1 1 x x MM I I I ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 等式两边同乘以 Ipn，得到 o i pi po 1 x x MM I I = + 其中 4 44 42 2 2 2 2 2pi 4 44po 41 1 1 1 1 1 π 1 1 32 π 1 1 32 D d dD D DI I D d dD D D ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 4 4 4 89 1 9 0 717 910 1 10 . ⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 代入上式，得 i o 2000 1164 8 N m 1.717 1 717 . . x x x MM M= = = = ⋅ 18 内外管所受之扭矩相等，内、外管内的最大剪应力分别为 6i maxi 4 pi 3 1164 8 16 21 7 10 Pa 21 7 MPa 8 π 0 09 1 9 . . . . xM W τ ×= = = × =⎡ ⎤⎛ ⎞× −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 6o maxo 4 po 3 1164 8 16 17 2 10 Pa 17 2 MPa 9 π 0 1 1 10 . . . . xM W τ ×= = = × =⎡ ⎤⎛ ⎞× −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. 非圆截面杆扭转时的应力变形计算 【例题 9-12】 图 9-9 所示之矩形截面杆承受扭矩 Me＝3000N·m。若已知材 料之 G＝82 GPa。 求：1．杆内最大剪应力的大小和方向并指出其作用位置。 2．单位长度的扭转角。 解：根据矩形截面杆的扭转应力和变形公式 1 max 2 xC M ab τ = 1 3 xC M ab G θ ′= 现在 e 3000N mxM M= = ⋅ ； 90mm 60mm,a b= = ；G＝82 GPa； 1 1C C ′、 可 查得，当 9 6 1 5/ / .a b = = 时 1 14 33 5 10. , .C C ′= = 将上述数据代入 maxτ 与θ 公式，算得 7 2 max 2 4 33 3000 4 0 10 N/m 0 09 0 06 . . . . τ ×= = ×× 最大剪应力发生在矩形长边中点，方向如图 9-9 所示。 图 9-9 例题 9-12 图 19 2 3 10 2 5 1 3000 0 96 10 rad/m 0 09 0 06 8 2 10 180 =0.96 10 0 55 /m π . . . . . . θ − − ×= = ×× × × × × = D 上一章 返回总目录 下一章