第2章 正投影的基本原理

null第2章作业第2章作业习题集 P13\14\15\16\19\20 本章课上完以后交第2章 物体几何要素的投影第2章 物体几何要素的投影2.1 投影法的基本知识 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5直线与平面、两平面的相对位置2.1 投影法的基本知识 2.1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法的概念 投影法： 投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。 投射中心 投射线 投影面 投影SP投影面aA投射线投射中心null投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法单面投影多面投影2.1.2 投影法的分类null中心投影法：投射线汇交与一点的投影法。缺点： 1.投影的大小随投射中心与物体距离变化而变化。 2.度量性差，作图复杂。 优点： 立体感强 nullnull正投影法：平行的投射线垂直于投影面的投影法。斜投影法：平行的投射线倾斜于投影面的投影法。平行投影法：投射线相互平行的投影法。null单面投影与多面投影2.1.3 三投影面体系的建立2.1.3 三投影面体系的建立HYXOVZW三投影面体系的建立： V面：正立的投影面(正面)； H面：水平的投影面(水平面)； W面：侧立的投影面(侧面)； X轴——V与H面的交线，代表长度方向； Y轴——H与W面的交线，代表宽度方向； Z轴——V与W面的交线，代表高度方向； 三根投影轴互相垂直，其交点称为原点O。 O2.2 点的投影 2.2 点的投影 侧立投影面正立投影面水平投影面注意：A 、 a 、a’ 、a’’的含义nullW面向右后转90°H面向下 后转90°投影面的名称、框线可以省略nullA点的X坐标Xa = A点到W面的距离Aa " A点的Y坐标Ya = A点到V面的距离Aa ' A点的Z坐标Za = A点到H面的距离Aa a a ⊥OX轴; a a ⊥OZ轴 a到OX轴的距离 = a到OZ轴的距离（45度角分线） XVYOWZaa″a′H2.2.1点的三面投影规律: null例题2-1：已知点A的 正面投影a′ 和侧面投影a″ 求作其水平投影a XOZYHYWa′a″aZnull●●aaaxazaz解法一:解法二:通过作45°线使aaz=aax用圆规直接量取aaz=aaxnull例题2-2：已知点A的坐标（20，10，18），作出点A 的三面投影，并画出其立体图 YHXOYHYWXOZZYHaXYWOYWZaYHaYWaZaXaXaXa′a′aa″X=20Y=10Z =18Y=10null画出立体图(直观图)2.2.2 特殊位置点的投影 2.2.2 特殊位置点的投影 1 在投影面上的点 例如:在V面上的点A在V面上（X，0，Z）nullB ?D ?null2 在投影轴上的点（有两个坐标为0） 例如在OZ轴上的点A null3 在原点上的空间点（有三个坐标都为0） 它的三个投影必定都在原点上 2.2.3 两点的相对位置 2.2.3 两点的相对位置 两点的相对位置：两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 判断方法： X坐标大的在左；Y坐标大的在前；Z坐标大的在上。B点在A点的右、后、上方。 null2.2.4 重影点及其可见性 （不可见的加“括号”）nullA---B空间关系？nullnull例nullnull例null2.3 直线的投影 2.3 直线的投影 2.3.1 直线的投影图 作图方法： 2.3.2 直线对于一个投影面的投影特性2.3.2 直线对于一个投影面的投影特性 空间直线相对于一个投影面的位置: 平行、垂直、倾斜三种，三种位置有不同的投影特性。 1、真实性:当直线与投影面平行时,则直线的投影为实长。 2、积聚性:当直线与投影面垂直时,则直线的投影积聚为一点。 3、类似性:当直线与投影面倾斜时,则直线的投影仍为直线，且小于直线的实长。 HaAa(b)baBBAAbBnull1. 一般位置直线 对三个投影面都倾斜的直线为一般位置直线。 其投影特性： （1）一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜。 （2）一般位置直线的各面投影长度都小于实长。2.3.3 各种位置直线的投影 null注意：线与面、轴的夹角null(1) 投影面平行线:只平行于一投影面而与另两投影面倾斜的直线。 水平线（∥H面） 、正平线（∥V面） 、侧平线（∥W面） (2) 投影面垂直线:垂直于某一投影面的直线。 铅垂线（⊥H面） 、正垂线（⊥V面） 、侧垂线（⊥W面） 2. 特殊位置直线投影面平行线的投影特性： 在所平行的投影面上的投影反映实长；**** 其它投影平行于相应的投影轴；**** 3）反映实长的投影与投影轴所夹的角度等于空间直线对相应投影面的倾角。投影面垂直线的投影特性： 在所垂直的投影面上的投影有积聚性；*** 其他投影反映实长，且垂直于相应的投影轴。 ***nullab与OX和OYH的夹角β、γ等于 AB对V、W面的倾角水平线 ab=ABa′b′∥OX、a″b″∥OYW 都不反映实长nullcd ∥OX、c″d″∥OZ 都不反映实长c′d′与OX和OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角 正平线 c′d′=CDnull 侧平线 e″f″=EF ef∥OYH、 e′f′∥OZ 都不反映实长e″f″与OYW和OZ的夹角α、β等于EF对H、V面倾角nullnulla′b′= a″b″=AB,且 a′b′⊥OX、a″b″⊥OYW铅垂线:水平投影 a（b）积聚一点 null正垂线:正面投影 c′（d′）积聚一点cd=c″d″=CD,且 cd⊥OX、c″d″⊥OZnull侧垂线:侧面投影 e″（f″）积聚一点ef=e′f′ =EF,且 ef ⊥OYH、 e′f′⊥ OZnull例：判断下列直线的空间位置例：判断下列直线的空间位置AB为?线CD为?线null 例题: 如图，已知空间点A，试作线段AB，长度为15，并使其平行V面，与H面倾角α＝30°null 例题： 如图，已知正垂线AB的点A的投影，直线AB长度为10毫米，试作直线AB的三面投影 2.3.4 直线上点的投影 2.3.4 直线上点的投影 2.3.4.1直线上点的投影 点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。 直线投影的定比性 点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。直线投影具有定比性，即AC：CB = ac：c b = a′ c′：c′ b′ = a″ c″：c″ b″ 。null例题: 如图，已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k 。 （a）题目 （b） 解法1:补投影法 （c）解法2： 定比法null例：判断点K是否在线段AB上。ab因k不在a b上， 故点K不在AB上。应用定比定理另一判断法是因ak:kb≠ ak:kb 故点K不在AB上。2.3.5 两直线的相对位置2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。 2.3.5.1 两直线平行 1、特性:若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。如图由于AB∥CD，则必定ab∥cd、 a′ b′∥c′ d′、a″b″∥c″d″ 。反之，若两直线的各同面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。 null2、判定两直线是否平行 如果两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否互相平行即可判定。 当两平行直线平行于某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行才能确定。 null例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CDnullbdca 对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。结论:AB与CD不平行例：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断null 2.3.5.2两直线相交 1、特性：若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影规律。如图两直线AB、CD相交于K点，因为K点是两直线的共有点，则此两直线的各组同面投影的交点 k、 k′、k″ 必定是空间交点K的投影。 null2、判定两直线是否相交 如果两直线均为一般位置线时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可判定。 当两直线中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。 null例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影null例：判定两直线是否相交 定比法补投影法null 2.3.5.3 两直线交叉 两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。 1、特性：若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。null2、判定空间交叉两直线的相对位置 空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。 交点是一对重影点的投影。2.3.6 直角投影定理 2.3.6 直角投影定理 直角投影定理: 空间垂直相交的两直线，若其中的一直线平行于某投影面时，则在该投影面的投影仍为直角。反之，若相交两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面时，则该两直线在空间必互相垂直。 如图已知AB⊥BC，且AB为水平线，所以ab必垂直于bc 。 null2.4.1 平面的表示法不在同一直线上的三点一直线上和直线外一点相交两直线 用几何元素表示平面2.4平面的投影null平行两直线任意平面图形null2.4.2 各种位置平面的投影特性 平面在三投影面体系中，按其对投影面的相对 位置可分为三类：null1. 一般位置平面 与三个投影面都倾斜的平面 投影特性： △ABC的各面投影仍然是三角形，但都不反映实形，而是原形的类似形。null（1）投影面平行面：平行于某一投影面的平面。 水平面（∥H面）、正平面（∥V面） 、侧平面（∥W面） 投影特性： 如图所示（2）投影面垂直面：垂直于某一投影面且与另两投 影面倾斜的平面。 铅垂面（⊥H面） 、正垂面（⊥V面） 、侧垂面（⊥W面） 特殊位置平面投影特性： 如图所示nullnull（另：注意角度）null1. 平面上的直线 面上取线法（判定条件）： （1）一直线必通过属于平面上的两点。 （2）一直线必通过属于平面上的一点，且平行于属于该平面的另一直线。2. 属于平面的点 面上取点法（判定条件）：若点在平面内的任意直线上，则此点一定在该平面上。3.平面上的投影面平行线 在平面上且平行于某一投影面的直线。 这样的直线，不仅具有平面上直线的投影特性，而且具有投影面平行线的投影特性。2.4.3 平面上的直线和点null 例：已知平面△ABC，试作出属于该平面的任意一直线。null例：取属于平面ABC的点 null例：在平面ABC上作投影面平行线null相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行⒈ 直线与平面平行2.5 直线与平面、两平面的相对位置null●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解ddnull正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c●●bamabcmnddnull⒉ 两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两面垂直于投影面且相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。null 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。二、相交问题⒈ 直线与平面相交要讨论的问题：● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。null例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法1(2)●null1(2)km(n)b●mncbaac⑵ 直线为特殊位置空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。① 求交点② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。作图用面上取点法●null⒉ 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：⑴ 求两平面的交线方法：① 确定两平面的两个共有点。② 确定一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。⑵ 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。null可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfd beam(n)空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。① 求交线② 判别可见性作图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。●能!如何判别？例：求两平面的交线 MN并判别可见性。⑴OXnullabcdefcfd beam(n)●例：求两平面的交线 MN并判别可见性。⑴① 求交线 ② 判别可见性作图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。OXnull空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。① 求交线② 判别可见性 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。作图⑵●nullabd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。① 求交线② 判别可见性 点Ⅰ在MC上, 点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故mc 可见。作图⑵