导数学习的几个注意点

线 AB．而公共弦的直 线方程可以由两圆的标 准方程作差得到，即 圆 O的方程为: 2 2 9x y+ = ；① 圆 C的方程为: 2 2( 8) ( 2) 36x y− + − = ② 由①、②得直线 AB的方程为:16 4 41 0x y+ − = ． 2构造正四面体模型解决立体几何问题 例 2 如图，不共面的 三条射线 OA、OB、OC两 两所成的角均为 60º，求二 面角 A—OC—B的余弦值． 解析 本题知道的是三 条射线 OA、OB、OC两两 所成的角，由于射线 OA、 OB、OC的长度的不知， 所以在解题过程中给我们 带来很多困难．本题求的 是求二面角 A—OC—B的 余弦值，事实上，求的是面 OAC 与面 OBC 所成的 二面角，因此可以再具体点表示这两个面．所以不 妨在 OA、OB、OC 上分别取点 P、Q、R，使 OP=OQ=OR，此时所求的二面角就是 P—OR—Q．连 接 PQ、QR、PR，则得到正四面体 O—PQR(立刻转 化为学生熟悉的模型)．于是问题就转变为求正四面 体相邻两个面所成的角的余弦值 θ． 容易求得 cosθ= cos PSQ∠ =1/ 3． 变式训练 如图，不共面的三条射线 OA、OB、 OC两两所成的角均为 60º，求 OB与面 AOC所成的 角．(答案: cos(1/ 3)arc ) 3构造长方体模型解 决立体几何问题 例 3 若四面 体 P—ABC的棱 PA、PB、PC两 两互相垂直，PA =3，PB= 4，PC =12，求该四面 体的外接球的表 面积． 解析 求四面 体的外接球的表面 积，关键就是求球的半径，要知道球的半径，就必 须先弄清楚球心在哪里．考虑到四面体的三条共点 的棱两两互相垂直，所以可以把该四面体 P—ABC补 成长方体 PADB—CEFG，连接对角线 PF，取 PF中 点 O ， 则 O 为 所 找 的 球 心 ． 因 为 OP=OA=OB=OC= / 2PF ，所以外接球的半径为 2 2 2 / 2 13/ 2R PA PB PC= + + = ，所以外接球的表面 积为 24 169S Rπ π= = . 变式训练 1、球面上有四点 P、A、B、C，若 PA、PB、PC两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求该 球之表面积．( 23 aπ ) 2、在三棱锥 0 ABC− 中，三条棱 , ,OA OB OC两 两互相垂直，且 ,OA OB OC M= = 是 AB边的中点， 则OM 与平面 ABC 所成角的大小是____(用反三角 函数表示)( tan 2arc ) 4构造正方体模型解决立体几何问题 例 4 棱长为 a 的正四面体的顶点都在同一球面 上，则该球的表面积是( ) A. 23 aπ B. 23 2 aπ C. 24 3 aπ D. 22 3 aπ 解析 以正四面体棱长 为面对角线补成正方体(如 图)，则正方体与正四面体 有公共的外接球．由题设， 正四面体的棱长为 a，则 正方体的棱长为 2 / 2a ，于 是可得正方体对角线(即球的直径)为 6 / 2a ，故球的 半径为 6 / 4R a= ，∴ 2 24 3 / 2S R aπ π= = ．故选(B). 导数学习的几个注意点 福建省惠安第三中学 仇文波(362100) 随着高考改革的不断深入，导数部分的考查无 论从覆盖面还是从深度来看，都逐年呈上升趋势， 学生由于对其基本概念、基本方法理解缺失而造成 的失误屡见不鲜．下面通过实例分析，提出导数学 习的几个注意点． 1注意理解导数的几何意义 例 1 已知函数 ( )( ( 1/ 2y f x x= ∈ − , 3/ 2) )的图象 是一段圆弧(如图所示)，且导函数 ( )f x′ 在 [0x∈ , 1] O A B C O A C P R S Q B P A B C O G E F DP A B C y xO A B C 2007年第 12期 福建中学数学 27 上的取值范围是 [ 3 /3− , 3 / 3 ]，则圆弧所在圆的方 程是_______． 解析 由题意，设圆C方程 2 2( 1/ 2) ( )x y b− + − 2r= ，由数形及导数几何意义可知，当 [0x∈ ，1]时 切线斜率越变越小，故当切线以O为切点时切线斜 率最大，如图，作过O的切线，所以 030AOT∠ = ， 又 1/ 2OA = ,从而求得 1r = ，则圆弧所在圆的方程是 2 2( 1/ 2) ( 3 / 2) 1x y− + + = ． 评注 本题若对 ( )y f x= 直接求导则解题比较 繁杂，对导数的几何意义不仅懂得从式子思考，更 应多从形来思考，则有助于解题，从而达到事半功 倍的效果． 2注意可导函数奇偶性规律 两个结论的应用值得关注:(1)如果 ( )f x 可导且 为偶函数，那么 ( )f x′ 为奇函数．(2)如果 ( )f x 可导 且为奇函数，那么 ( )f x′ 为偶函数． 例 2 (2007年高考福建卷)已知对任意实数 x ， 有 ( ) ( )f x f x− = − ， ( ) ( )g x g x− = 且 0x > 时 ( )f x′ 0> ， ( ) 0g x′ > ，则 0x < 时( ) A． ( ) 0f x′ > , ( ) 0g x′ > B． ( ) 0f x′ > , ( ) 0g x′ < C． ( ) 0f x′ < , ( ) 0g x′ > D． ( ) 0f x′ < , ( ) 0g x′ < 解析 由题意知， ( )f x 为奇函数， ( )g x 为偶函 数，所以 ( )f x′ 为偶函数， ( )g x′ 为奇函数，由奇偶 函数的图象特征及已知可得当 0x < 时 ( ) 0f x′ > ， ( ) 0g x′ < ，故选 B，当然，本题若从导数几何意义结 合图象思考，也不难选 B. 3注意给定区间是单调区间全集还是子集 例 3 已知函数 3 2( ) 2f x x ax= − + ．(1)若 ( )f x 在 (0x∈ ，2)内单调递减，求 a的取值范围；(2)若 ( )f x 的单调递减区间为(0，2)，求 a的取值范围． 解析 第(1)问是指(0，2)为函数 ( )f x 的单调减区 间的子集， 2( ) 3 2f x x ax′ = − ，由 ( ) 0f x′ < 得 0 2 / 3x a< < ，所以 2 / 3 2a ≥ ，∴ 3a ≥ ； 第(2)问是指(0，2)为函数 ( )f x 递减区间的全集， 所以 3a = ，故不能把(1)、(2)混淆在一起． 4注意导数为 0的点不一定是极值点 例 4 函数 3 2 2( )f x x ax bx a= − − + 在 1x = 处有 极值 10，求 a、 b的值． 解析 2( ) 3 2f x x ax b′ = − − 由题意得 (1) 0f ′ = 且 (1) 10f = ， ∴ 2 3 2 0 1 10 a b a b a − − =⎧⎪⎨ − − + =⎪⎩ 解得 3 3 a b =⎧⎨ = −⎩ 或 4 11 a b = −⎧⎨ =⎩ ． 上面的解答是错 误的，其错误在于认 为导数为 0的点，就 是极值点，事实上导 数为 0点必须同时具 备两侧导数异号，才 为极值点．据此，经 检验只有 4,a = − 11b = 符合条件． 5注意导数不存在点，有可能是极值点 例 5求函数 2 2 23( ) ( )f x x a= − 在 R上的极值 ( 0)a > ． 解析 3 2 2 4( ) 3 xf x x a ′ = − 令 ( )f x ′ =0，得 0x = ． 此外该函数定义域为 R，而在 x a= ± 处不可导， 因此列表时应将 x a= ± 点考虑进去． x 变化时， 'y ， y的变化情况如下表 由表知， ( )f x 在 x a= ± 处取得极小值 0，在 0x = 处 取得极大值 3 4a ． 评注 函数在某点 0x 不可导，但 0x 点有可能是 该函数的极值点，由此可见“有极值但不一定可 导”．如 | |y x= 在 0x = 处不可导，但 0x = 是 | |y x= 的 极小值点． 6 注意给定点不一定是切点 例 6 求过曲线 3 2y x x= − 上的点(1， 1− )的切线 方程． 解析 设 0(p x , 0 )y 为切点，则切线斜率为 2 0 0| 3 2y x x x′ = = − ， ∴切线方程为 20 0 0(3 2)( )y y x x x− = − − ， 即 3 20 0 0 0( 2 ) (3 2)( )y x x x x x− − = − − ． 又知切线过点(1， 1− )，把它代入上述方程得 3 3 0 0 0 01 ( 2 ) (3 2)(1 )x x x x− − − = − − ， 整理得 20 0( 1) (2 1) 0x x− + = ， ∴ 0 1x = 或 0 1/ 2x = − ．故所求切线方程为 2 0x y− − = 或 5 4 1 0x y+ − = ． 评注 可以发现直线5 4 1 0x y− − = 并不以(1， 1− ) 为切点，它是经过了点(1， 1− )且以 ( 1/ 2− , 7 /8 )为切 点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是 切点，若该定点不在曲线上，则更谈不上为切点． x (−∞ , a− ) a− ( a− , 0) 0 (0, a ) a ( a , + )∞ 'y － + 0 － ＋ y ↘ 0 ↗ 3 4a ↘ 0 ↗ y x O A C T 1 28 福建中学数学 2007年第 12期