导数学习易错点剖析

导数学习易错点剖析 315192 � 浙江省宁波华茂外国语学校 � 戴宏照 � � 导数知识引入高中 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 ,丰富了函数内容, 为解决函数问题提供了有力工具; 也为今后学 习高等数学打下了基础. 但是,在教学过程中, 发现学生对导数的应用很感兴趣, 而对相关概 念不求甚解,经常出现这样或那样的错误,从而 影响了对导数的理解和运用,归纳起来, 有以下 几个方面. 一、导数的几何意义 函数 y= f ( x )在 x= x0 处的导数的几何意 义,就是曲线 y= f ( x)在点 P( x 0 , f ( x0 ) )处的切 线的斜率.由于对导数的几何意义理解不透彻, 经常出现这样的错误: 曲线的切线与曲线有且 仅有一个公共点; 函数 y= f ( x )在 x= x 0 处不 可导,则曲线在该点没有切线;求过点M( x 0 , y0 ) 的曲线的切线方程直接用 k= f �( x 0 )作切线的 斜率. 根据曲线的切线定义,曲线 y= f ( x )在点 P( x0 , f ( x0 ) )处是否有切线取决于曲线在该点 的割线是否有极限位置, 而不取决于直线与曲 线的公共点个数.如直线 x= 1与曲线 y= 2x2+ 1有且仅有一个公共点 ( 1, 3) , 但它不是曲线的 切线;而直线 3x- y- 2= 0 与曲线 y= x 3 交于 点( 1, 1) , ( - 2, - 8) , 它仍是曲线 y = x3 的切 线.因此,有且仅有一个公共点的直线不一定是 曲线的切线,曲线的切线与曲线可有若干个公共 点. 函数 y= f ( x)在 x= x 0 处可导!,是 曲线 y = f ( x)在点 P( x 0, f ( x0 ) )处有切线!的充分不必 要条件.如函数 y= 3 x在 x= 0处不可导,但 y轴 是它在该点的切线. 求曲线的切线方程,一要分清点是否在曲 线上,二要分清是求曲线在 x= x 0 处的切线还 是曲线过点M( x0 , y 0 )的切线. 例 1. 已知 f ( x ) = x 3 - x + 2, 求过点 P( 1, 2)的切线方程. 解: 设切点M( x0, y0) ,则 y0= x30- x0+ 2 � ∀ f�( x) = 3x2- 1 � k= f �( x 0 ) = 3x20- 1 � 过点 P在点M 处 的切线 l 满足 # y0- 2= ( 3x 20- 1)( x0- 1) � ∃ � M( 1, 2)或 M - 1 2 , 19 8 . 所求的切线方 程为 l #2x- y= 0或 l # x+ 4y- 9= 0. 学生常见的错误是: 直接求导得斜率 k= f�( 1) = 2,写出切线方程 2x- y= 0, 从而漏 掉一解. 二、函数 y= f( x)的单调性与y�% 0或y�&0 的关系 � � 函数 y= f (x )在某个区间内可导, f �( x ) > 0 � f ( x )为增函数; f�( x) < 0 � f ( x)为减函数. 函 数 y= f ( x)是单调函数!是 y� % 0或 y� &0!的既 不充分也不必要条件, 如 y= 3 x在( - ∋ ,+ ∋ ) 是增函数, y�| x= 0不存在; 函数 y= - x 3 + 2x 2 + 1( x % 0) 1( 0< x< 2) - x 2 + 4x- 3( x &2) 在 R上y� % 0, 可它不是减函数. 但是, 可 导函数y= f ( x )是单调函数!是 y� % 0 或 y� & 0!的充分不必要条件; 且若可导函数 y= f ( x ) 在区间( a, b)有 y�% 0 或 y�&0中使 y�= 0的点 是离散的,则可导函数 y= f ( x )在区间 ( a, b)是 单调函数. 三、可导与连续的关系 利用极限的定义容易证明: 如果函数 y = f ( x )在点 x= x0 处可导,那么函数在点 x 0 处连 续.其逆命题为假命题. 函数 y= f ( x )在点 x= x 0 处可导的充要条件是该点的左导数等于右导 数,即 f�- ( x0 ) = f �+ ( x 0 ) ,而函数在点 x0 处连 续是其可导的必要条件.在利用导数处理数列 问题时应特别注意这一点. 例 2. 已知数列{ an} , an = 9 10 n ( n+ 1) , 问 数列中是否有最大项? 若有,求出最大项;若没 有,请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由. ( ln9= 2. 1972, ln10= 2. 3026) 错 解: 因 an > 0, 对 an 取 对 数 得: lnan= n( ln9- ln10) + ln( n+ 1) . 等式两边同时对 n求导得: 1 an ( a�n= ln9- ln10+ 1 n+ 1 . 28 上海中学数学 ( 2007年第 3期 即 a�n= 9 10 n ( n+ 1) ln9- ln10+ 1 n+ 1 . 令a�n= 0得 n= 1+ ln9- ln10 ln10- ln9 = 8.4877 � 又 n ) N* 故 n= 8 或 n = 9 时, an 最大, a8 = a9 = 9 9 10 8 . 剖析: 因为数列是一种特殊的函数关系,是 离散的, 不能直接求导. 必须先设辅助函数 y= 9 10 x ( x+ 1) ( x> 0 ), 同时取对数后求导得 y�= 9 10 x ( x+ 1) ln9- ln10+ 1 x+ 1 令 y�= 0 得 x = 8. 4877,当 0< x< 8. 4877 时, y�> 0;当 x> 8. 4877 时, y�< 0, 且只有唯一 解, x= 8. 4877时 y 最大. 故n= 8或 n= 9时 an 最大, a8= a9= 9 9 10 8 . 四、求导公式和法则的运用 对函数求导时,要分清函数的类型, 先求定 义域,再化简,后求导. 而学生经常忽视了函数 的定义域,或者把幂函数和指数函数的求导公 式用错,或者对可化简的复杂函数式也不化简 致使难以求导或求导错误.再如含绝对值的函 数和分段函数要分段求导且要考虑临界点处的 导数是否存在,如 y= | 3x 2- 2x- 1|的导数应该 是 y�= 6x- 2 x< 1 3 或 x> 1 - 6x+ 2 - 1 3 < x< 1 , 而不是 y�= | 6x- 2|或 y�= 6x- 2 x % 1 3 或 x &1 - 6x+ 2 - 1 3 < x< 1 . 五. 驻点和极值点. 把导数 y�= 0的点叫做函数 y= f ( x )的驻 点,把函数取得极值的点叫做函数 y= f ( x )的 极值点.因为函数在驻点处一定可导, 导数为 0 的点处不一定有极值,且极值点处导数可能为 0 或不存在,所以, 驻点不一定是极值点, 极值点 也不一定是驻点,在求函数的单调区间或极值 时应列出驻点和导数不存在的点. � � 例3. 求函数y= 3 x(1- x)2的单调区间和极值. 解: y�= 1- 3x3 x2 ( 1- x ) ,令 y�= 0 得 x= 1 3 或 y�不存在时x = 0, x= 1. x ( - ∋ , 0) 0 0, 1 3 1 3 1 3 ,1 1 (1,+ ∋ ) y� + 不存在 + 0 - 不存在 + y 递增 无极值 递增 极大3 4 3 递减 极小 0 递增 � � ∗ 函数的单调递增区间为 ( - ∋ , 1 3 ) , ( 1, + ∋ ) ;单调递减区间为( 1 3 , 1) . 当 x= 1 3 时, y极大= 3 4 3 ;当 x= 1时, y极小= 0. 六、极值和最值 极值是函数的局部性质, 函数 y= f ( x )在 点 x 0 附近有定义, 对 x 0 附近的所有点都有 f ( x )< f ( x 0 )或 f ( x ) > f ( x0 ) , 则称 f ( x 0 )为极 大值或极小值, 点 x0 附近指 x0 的 �邻域 ( x 0- �, x 0+ �) ( �> 0) , 不论邻域多大, 只要存 在即可,故极小值可能大于或等于极大值.而最 值是函数的整体性质,与给定的区间关系密切, 闭区间上的连续函数的最值在其极值和区间的 端点值中产生,开区间上的连续函数的最值也 不一定是极值.因此,极值不一定是最值,最值 也不一定是极值.在利用导数求最值时,有些函 数还应该结合函数的图像或性质. 例 4. 求函数 y= x- 1 ( x- 2)2 - 3的最值. 错解: y�= - x ( x- 2) 3 ,令 y�= 0 得 x= 0或 y� 不存在时 x= 2. x 0 2 y� - 0 + 不存在 - y 递减 极小- 13 4 递增 不存在 递减 � � ∗ 函数 y= x- 1 ( x- 2) 2 - 3 既没有最小值也没 有最大值. 剖析: 只单纯地利用导数,没有考虑函数的 性质,因为lim x + ∋ y= - 3> - 13 4 ,即 y= - 3 是该曲线 的一条渐近线( x= 2也是曲线的一条渐近线),故 原函数没有最大值,当 x= 0时, ymin= - 134 . 29思维元 维