复矩阵的Jordan
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形的性质及应用 复矩阵的Jordan标准形的性质及应用 严剑龙 数本042 410401206 摘要：任意一个矩阵并非都与对角矩阵相似，当一个矩阵不能与对角矩阵相似时，可以找到一个比较简单的类似于对角矩阵的矩阵与它相似。本文主要介绍相似于一个简单的类似对角矩阵的性质和应用，对于今后的学习有很大的帮助。 关键词：对角矩阵 若当标准形 幂零矩阵 相似 正文 1、 定义 形如 的方阵称为 阶的Jordan块, ,通常记为 . 2、 定义若当形 由若干个Jordan块组成的准对角阵 称为Jordan标准形。 定理1 复数域 上两个 阶矩阵 和 相似 等价 证明 若 和 相似,存在可逆矩阵 ,使得 ,所以 ,因而 等价. 等价,则有相同的不变因子,相同的初等因子,则可推得 和 相似. 定理2 (Jordan标准形定理) 每个 阶的复矩阵 都与一个Jordan标准形相似,这个Jordan标准形除了其中Jordan块的排列次序外被 唯一决定，记为 . 证明 设 阶的矩阵 的特征矩阵 的 初等因子为 (2.1) 令 并令 ，则 的全部初等因子也为（2.1）式 则 和 相似 推论1 复矩阵 与对角矩阵相似 的初等因子都是一次的。 定义3 设 为一个非零的 阶幂零矩阵，即存在正整数 ，使得 ，但 ，则 为 的幂零指标，则 的最小多项式为 性质1 为一个幂零矩阵 的特征值全为零 证明 存在可逆矩阵 ，使得 ， 设 ，所以 所以 也即 的特征值全为零 存在可逆矩阵 ,使得 ，则 ，也即 ， 即 为一个幂零矩阵 定理3 设 阶幂零矩阵 的Jordan标准形为 ， 幂零指标为 则（1） （2） 的零度等于 中Jordan块的个数 （3） 记 中 阶Jordan块的个数 , 的零度为 ， ，则 ， 证明 （1）由于 与 相似,所以 因此 且 所以 的幂零指标为 且存在 使 (2)设 的零度为 ,则 (3.1) (3)根据 的零度等于 的零度等于 的零度之和( ) 使 的零度= (3.2) 由(3.2)我们有 = 的零度= (3.3) (3.4) (3.5) 由(3.3)和(3.4)可以推出(3.1),而(3.2)可由(3.5)推出 例1 求矩阵的Jordan标准形 解: 先求 的初等因子 所以 的初等因子是 , 因而 的Jordan标准形为 例2 求 ，使得 解 等价于 ，令 可得 则有 即有 是特征向量，而 是广义特征向量 则 要使方程组 有解，向量 要满足 ， 解方程组 得 这两个向量都满足 的相关性条件，解 即 得 解 即 得 因此 例3求下列矩阵的Jordan标准形 ，并求变换矩阵 ，使得 解 因此 的Jordan标准形 中只有对角线为1的Jordan块，因此可设 ，其中 , , 为1或0.因 ,所以 故至少有一个 ,因此 由于 所以 的零度为2(故 的零度为2 ,因此 , 有一个且仅有一个为零)于是 中有两个Jordan块，又 因此 故至少有一个Jordan块的阶大于2,所以 即 设 ，则有 ，令 ，则有 于是得到四个方程组 即 作如下的初等变换： 因此使方程组 有解，向量 必须满足 ，解方程组 ，即 得 即 得 解方程组 得 得 因此 参考文献 [1]史荣昌,魏丰编著 矩阵
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[M]（第二版）,北京:北京理工大学出版社. [2]北京大学
数学
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系几何与代数教研室代数小组高等代数[M].(第二版)高等教育出版社. [3]苏有才,姜翠波,张跃辉编著,矩阵理论 科学出版社 [4] 蒋忠樟著,高等代数典型问题研究,高等教育出版社 [5] 徐仲,张凯院编著 矩阵论简明教程 科学出版社 [6]罗家洪,方卫东编著 矩阵分析引论 华南理工大学出版社
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