第PAGE1页共NUMPAGES1页§2.2 等差数列(二)课时目标1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式．2．熟练运用等差数列的常用性质．1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．已知在公差为d的等差数列{an}中的第m项am和第n项an(m≠n)，则eq\f(am－an,m－n)＝d.3．对于任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q.则在等差数列{an}中，am＋an与ap＋aq之间的关系为am＋an＝ap＋aq. 一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－eq\f(1,2)a8的值为( )A．4B．6C．8D．10答案 C解析 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，∴a7－eq\f(1,2)a8＝eq\f(1,2)(2a7－a8)＝eq\f(1,2)(a6＋a8－a8)＝eq\f(1,2)a6＝8.2．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为( )A.eq\r(3)B．±eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3)D．－eq\r(3)答案 D解析 由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝eq\f(4π,3).∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝taneq\f(8π,3)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3).3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )A．12B．8C．6D．4答案 B解析 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.4．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7等于( )A．14B．21C．28D．35答案 C解析 ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.5．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )A．－182B．－78C．－148D．－82答案 D解析 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33＝50＋2×(－2)×33＝－82.6．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q为( )A．p＋qB．0C．－(p＋q)D.eq\f(p＋q,2)答案 B解析 ∵d＝eq\f(ap－aq,p－q)＝eq\f(q－p,p－q)＝－1，∴ap＋q＝ap＋qd＝q＋q×(－1)＝0.二、填空题7．若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.答案 24解析 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.答案 1解析 ∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.∴a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.9．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.答案 eq\f(12,5)解析 eq\f(1,a6)－eq\f(1,a4)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝2d，即d＝eq\f(1,24).所以eq\f(1,a10)＝eq\f(1,a6)＋4d＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，所以a10＝eq\f(12,5).10．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为eq\f(1,4)的等差数列，则|m－n|＝________.答案 eq\f(1,2)解析 由题意设这4个根为eq\f(1,4)，eq\f(1,4)＋d，eq\f(1,4)＋2d，eq\f(1,4)＋3d.则eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋3d))＝2，∴d＝eq\f(1,2)，∴这4个根依次为eq\f(1,4)，eq\f(3,4)，eq\f(5,4)，eq\f(7,4)，∴n＝eq\f(1,4)×eq\f(7,4)＝eq\f(7,16)，m＝eq\f(3,4)×eq\f(5,4)＝eq\f(15,16)或n＝eq\f(15,16)，m＝eq\f(7,16)，∴|m－n|＝eq\f(1,2).三、解答题11．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．解 设an＝a1＋(n－1)d，则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)＝(aeq\o\al(2,1)＋11a1d＋24d2)－(aeq\o\al(2,1)＋11a1d＋30d2)＝－6d2<0，所以a4a9
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